具有擴(kuò)散項(xiàng)和Lévy噪聲的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性

韓 婷,李國平?,馬維軍

(1.寧夏大學(xué)新華學(xué)院,寧夏銀川 750021;2.寧夏大學(xué)信息工程學(xué)院,寧夏銀川 750021)

1 引言

生物種群模型主要用于研究種群的密度和數(shù)量的發(fā)展規(guī)律,是當(dāng)今社會科學(xué)和自然科學(xué)研究中的重要課題.對種群模型的研究,有助于理解種群系統(tǒng)的動態(tài)特性,為短期和長期預(yù)測種群數(shù)量,發(fā)現(xiàn)種群控制規(guī)律和制定生物保護(hù)政策提供嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和新的計算方法.研究過程中不僅要考慮隨時間的變化規(guī)律,還需考慮種群的年齡、外界環(huán)境、空間分布等因素的影響.因此建立合適的種群系統(tǒng)具有重要的理論價值和現(xiàn)實(shí)意義.事實(shí)上,學(xué)者根據(jù)不同生物群體,已建立許多種群數(shù)學(xué)模型,包括確定性種群系統(tǒng)和隨機(jī)種群系統(tǒng).

常用的確定性模型有Malthus 模型和Logistc 模型[1].由于不同年齡的種群的生物學(xué)特征有著明顯差異,文獻(xiàn)[2]在上述模型基礎(chǔ)上給出了具有年齡結(jié)構(gòu)的種群模型

其中:a表示年齡,t表示時間,β(t,a)表示種群在年齡a時的生育率,μ(t,a)表示種群在年齡a時的死亡率,N(t,a)表示時刻t年齡為a的種群密度.種群在生長的過程中會出現(xiàn)遷徙現(xiàn)象.文獻(xiàn)[3-4]建立了具有擴(kuò)散項(xiàng)的年齡結(jié)構(gòu)的種群模型以刻畫該現(xiàn)象.

現(xiàn)實(shí)世界中,種群還受外界隨機(jī)因素的影響.一方面種群會經(jīng)常受環(huán)境噪聲的干擾.由Brown運(yùn)動驅(qū)動的具有擴(kuò)散的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)已受到廣泛關(guān)注.一個經(jīng)典的具有擴(kuò)散項(xiàng)的年齡結(jié)構(gòu)隨機(jī)種群系統(tǒng)可以表示為

其中:A>0,x∈X ?Rn(1≤n≤3),J=(0,A)×X,分別表示時刻t年齡為a的種群在空間x的密度、生育率和死亡率,?表示關(guān)于空間變量x的Laplace算子,k(t,a)>0是擴(kuò)散系數(shù),f(t,N)表示外部環(huán)境對種群系統(tǒng)的影響,g(t,N)表示Brown噪聲的密度.許多學(xué)者從不同角度討論了該系統(tǒng)的性質(zhì)[5-9].其中文獻(xiàn)[5]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的隨機(jī)種群系統(tǒng)解的存在性、唯一性與指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[7]考慮了具有年齡結(jié)構(gòu)隨機(jī)種群系統(tǒng)的半隱式Euler法的數(shù)值解的均方收斂性.

另一方面,種群可能會受到地震、颶風(fēng)、傳染病爆發(fā)、有毒污染物泄露等一些突發(fā)性大的隨機(jī)擾動,如COVID-19對人類造成的影響.為描述此類現(xiàn)象在系統(tǒng)(2)中引入Lévy噪聲更加符合實(shí)際情形.因此本文研究如下具有擴(kuò)散項(xiàng)和Lévy噪聲的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng):

其中:h(t,N,u)表示Lévy噪聲的強(qiáng)度,(dt,du)=P(dt,du)-ν(du)dt是與B(t)獨(dú)立的Poisson補(bǔ)償過程,P(dt,du)表示在可測集U上具有有限特征測度ν的Poisson計數(shù)測度.關(guān)于由Lévy過程驅(qū)動的隨機(jī)微分方程理論相對成熟[10-18].然而,將Lévy過程引入到隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)中的研究較少.文獻(xiàn)[10]討論了由Lévy過程驅(qū)動的隨機(jī)種群系統(tǒng)的解的存在性及漸近性質(zhì).

事實(shí)上,自然環(huán)境中各種隨機(jī)因素對種群系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響較大,而系統(tǒng)的穩(wěn)定性為種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制、數(shù)值解的收斂性等研究奠定了基礎(chǔ),對生物資源的可持續(xù)發(fā)展和利用也起著決定性作用.因此對系統(tǒng)(3)穩(wěn)定性的研究尤為重要.目前,穩(wěn)定性理論的內(nèi)容得到了不斷擴(kuò)大和完善.文獻(xiàn)[19]給出了混合隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性的充分條件.文獻(xiàn)[20]討論了具有大脈沖時滯的線性脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性.但關(guān)于隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究較少,且研究方法主要采用Lyapunov方法[7,9,21-22]和Coercivity條件[5,14]等.

基于以上討論,本文主要研究具有擴(kuò)散項(xiàng)和Lévy噪聲的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.本文的創(chuàng)新如下:

1)構(gòu)建了具有擴(kuò)散項(xiàng)和Lévy噪聲的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng).該系統(tǒng)對種群可能會受到如地震、颶風(fēng)、傳染病爆發(fā)、有毒污染物泄露等一些突發(fā)性的隨機(jī)現(xiàn)象的描述更具現(xiàn)實(shí)意義;

2)通過能量等式的方法,給出了新的解的指數(shù)穩(wěn)定性和幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.

2 預(yù)備知識

其中V ?是V的對偶空間.用‖·‖,|·|和‖·‖?分別表示空間V,H和V ?上的范數(shù),用〈·,·〉表示對偶空間V和V ?的內(nèi)積,(·,·)表示空間H上的內(nèi)積,l是正常數(shù)使得對任意x ∈V都有|x|2≤l‖x‖2.

令(?,F,P)是具有濾波{Ft}t≥0(滿足通常的條件:單調(diào)遞增且右連續(xù);F0包括所有P-零測集)的完備概率空間.B(t)是定義在該空間上的Wiener過程,在可分的Hilbert空間K中取值且具有增量協(xié)方差算子Q.G ∈L(K,H)是從K到H的所有有界線性算子構(gòu)成的空間,‖G‖2表示其Hilbert-Schmidt 范數(shù),即

由文獻(xiàn)[22],系統(tǒng)(3)的能量等式定義如下:

定義1設(shè)N(t)是定義在概率空間(?,F,P)上Ft適應(yīng)的隨機(jī)過程,若滿足以下條件,則N(t)稱為系統(tǒng)(3)的能量解:

1)N(t)∈I2([0,T];V)∩L2(?;C([0,T];H)),T>0;

2)對任意的t∈[0,T],下列方程在空間V ?上幾乎必然成立:

3)對任意的t∈[0,T],下列能量等式成立:

定義2如果系統(tǒng)(3)的能量解N(t)滿足下列不等式:

其中:α>0,C=C(N0)>0,則系統(tǒng)(3)的能量解N(t)當(dāng)t →∞時均方指數(shù)收斂于零.進(jìn)一步,如果任意一能量解當(dāng)t →∞時均方指數(shù)收斂于零,并且零是系統(tǒng)(3)的解,則該零解在均方意義下指數(shù)穩(wěn)定.

定義3如果存在正常數(shù)C=δ(?)>0,α>0和?0??,N(?0)=0,并且對于每個ω ∈?-?0,都存在正的隨機(jī)數(shù)T(ω)使得

則稱系統(tǒng)(3)的能量解N(t)當(dāng)t →∞時幾乎必然指數(shù)收斂于零.進(jìn)一步,如果任意一能量解當(dāng)t →∞時幾乎必然指數(shù)收斂于零,并且零是系統(tǒng)(3)的解,則該零解幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定.

引理1[23-24]令θ=1或2.假設(shè)h1:R+×U →H(R+=[0,∞))是可測函數(shù)且滿足

為了研究系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性,假設(shè)以下條件成立:

假設(shè)1f(t,0)=0,g(t,0)=0,h(t,0)=0.

假設(shè)2存在常數(shù)k1,k2,k3>0使得對任意N1,N2∈C,下列不等式成立:

假設(shè)3μ(t,a,x),β(t,a,x)在R+×連續(xù),k(t,a)在R+×(0,A)連續(xù),且

注1由假設(shè)1-3并應(yīng)用文獻(xiàn)[5]的方法,易證系統(tǒng)(3)存在唯一解.本文在系統(tǒng)(3)存在唯一解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

3 能量解的指數(shù)穩(wěn)定性

本節(jié)主要討論系統(tǒng)(3)能量解的均方指數(shù)穩(wěn)定性和幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性.下面,首先給出均方指數(shù)穩(wěn)定性的結(jié)果.

定理1若假設(shè)3-6成立,且

則對于系統(tǒng)(3)的任意能量解N(t),都存在α∈(0,ρ)和C=C(N0)>0使得

即系統(tǒng)(3)的能量解N(t)在均方意義下指數(shù)穩(wěn)定.

證取α∈(0,ρ)使得

將能量等式用于eαt|N(t)|2可得

根據(jù)文獻(xiàn)[14]的引理1有

由假設(shè)3和式(7)可得

由假設(shè)4-6和式(6)可得

下面分3種情形進(jìn)行討論:

情形1當(dāng)γ1(s)≤0,γ2(s)≤0或γ1(s)>0,γ2(s)<0時,則式(5)成立.

情形2當(dāng)γ1(s)<0,γ2(s)>0時,由Gronwall不等式則式(5)成立.

情形3當(dāng)γ1(s)>0,γ2(s)>0時,利 用Gronwall引理可得

綜上可得,存在正實(shí)數(shù)C=C(N0)>0使得

證畢.

注2定理1給出了隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)(3)均方指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.該結(jié)果表明,系統(tǒng)的穩(wěn)定性與種群系統(tǒng)的生育率β(t,a,x),死亡率μ(t,a,x)、擴(kuò)散系數(shù)k(t,a)、外界環(huán)境的影響f(t,N)、Brown噪聲的密度g(t,N)以及Lévy噪聲的強(qiáng)度h(t,N,u)有關(guān).即當(dāng)上述參數(shù)滿足假設(shè)3-6時隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)在均方意義下指數(shù)穩(wěn)定.

定理2假設(shè)定理1的條件成立,則存在T(ω)>0使得對所有t>T(ω),下式依概率1成立:

即系統(tǒng)(3)的能量解N(t)幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定.

證令m≥1是任意給定的自然數(shù),令

由于N(t)是系統(tǒng)(3)的能量解,因此對于任意t∈[m,m+1]都有

根據(jù)引理1、假設(shè)3和式(7)以及文獻(xiàn)[6]可知存在常數(shù)c1>0使得

根據(jù)Burkholder-Davis-Gundy不等式,可得

由引理1可知存在常數(shù)c2>0使得

由假設(shè)4-6易得

將式(9)-(11)代入式(8)并結(jié)合式(4)有

顯然,由假設(shè)3-6可知k(t)和l(t)是有界函數(shù),故存在常數(shù)C1>0使得

結(jié)合式(12)-(13)可得

由Chebyshev不等式,對于任意固定的正實(shí)數(shù)?m都有

最后,根據(jù)Borel-Cantelli引理,存在T(ω)>0對所有t>T(ω)幾乎必然有

證畢.

注3定理2應(yīng)用引理1、Burkholder-Davis-Gundy不等式、Chebyshev不等式并在定理1的條件下,從理論上給出了隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)(3)的能量解的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.

注4事實(shí)上,對于一般的隨機(jī)非線性系統(tǒng)很難構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性,尤其是隨機(jī)非線性偏微分方程.此外,文獻(xiàn)[5,14]中的Coercivity條件較強(qiáng).因此,如何選擇合適的方法來研究隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性尤為重要.定理1和定理2應(yīng)用了隨機(jī)能量等式的方法,即對系統(tǒng)(3)的能量等式的系數(shù)函數(shù)進(jìn)行估計,得到系統(tǒng)能量解的穩(wěn)定性的條件.該方法用于討論隨機(jī)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性較為有效.

4 例子

下面給出例子說明上述結(jié)論的有效性.

考慮如下具有擴(kuò)散項(xiàng)和Lévy噪聲的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng):

顯然,假設(shè)3-6以及式(4)滿足.因此,由定理1-2可得,系統(tǒng)(14)的能量解指數(shù)穩(wěn)定且?guī)缀醣厝恢笖?shù)穩(wěn)定.

對于一般的隨機(jī)微分方程很難求出其解析解,下面運(yùn)用Euler方法對上述例子的能量解進(jìn)行數(shù)值模擬.

在系統(tǒng)(14)中選取滿足條件的系數(shù)函數(shù)k(t,a)=a2,μ(t,a,x)=β(t,a,x)=1/2(1-a)2,f(t,N)=1/2tN+e-a2t,g(t,N)=(1+1/2t)N,h(t,N,u)=sinN,N0=e-1/(A-a).分別采用半隱式Euler法和隱式Euler法對能量解進(jìn)行數(shù)值模擬,結(jié)果如圖1-2所示.從圖中可看出,受Lévy噪聲的影響,種群密度的局部變化差異明顯.隨著種群年齡增長及時間變化,種群密度逐漸趨于平穩(wěn).

圖1 半隱式Euler數(shù)值模擬結(jié)果Fig.1 Semi-implicit Euler numerical simulation results

圖2 隱式Euler數(shù)值模擬結(jié)果Fig.1 Implicit Euler numerical simulation results

5 結(jié)論

為了研究隨機(jī)環(huán)境對生物種群的影響,本文討論了具有擴(kuò)散項(xiàng)和Lévy噪聲的年齡結(jié)構(gòu)隨機(jī)種群系統(tǒng).運(yùn)用Burkholder-Davis-Gundy不等式、Chebyshev不等式等分析工具對系統(tǒng)的能量等式中的系數(shù)函數(shù)進(jìn)行估計,給出了新的解的指數(shù)穩(wěn)定性和幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件,并結(jié)合具體例子及其數(shù)值模擬加以驗(yàn)證.該方法不僅有效解決了研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制問題中構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)時的困難,同時又避免使用較強(qiáng)的Coercivity條件,對于研究隨機(jī)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性較為有效.此外,本文的方法亦可用于討論隨機(jī)時滯年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性和數(shù)值解的穩(wěn)定性,為隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性問題的研究提供了理論依據(jù),對生物資源的可持續(xù)發(fā)展和利用具有指導(dǎo)意義.