基于PDSIPE的微積分課程知識點總結(jié)與梳理

［摘 要］隨著教育信息化的發(fā)展，項目驅(qū)動、數(shù)據(jù)驅(qū)動和系統(tǒng)集成（PDSIPE）的理念逐漸被廣泛應(yīng)用于微積分課程教學(xué)中。將PDSIPE教學(xué)模式引入微積分教學(xué)中，能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提升學(xué)生的合作能力和計算機應(yīng)用能力。本文通過對PDSIPE理念進(jìn)行解讀，提出一種以知識點梳理為基礎(chǔ)、項目驅(qū)動為導(dǎo)向、數(shù)據(jù)分析為手段的微積分課程教學(xué)方法，旨在探索基于PDSIPE理念下的微積分課程教學(xué)，從而提高學(xué)生的實際操作能力和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，以期為提高微積分課程教學(xué)質(zhì)量提供參考。

［關(guān)鍵詞］PDSIPE；微積分課程；教學(xué)流程；項目型教學(xué)

［中圖分類號］F23文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

在職業(yè)場景項目行動教學(xué)理念（PDSIPE）影響下的課堂教學(xué)規(guī)劃和傳統(tǒng)課堂教學(xué)規(guī)劃有所不同。首先，教學(xué)規(guī)劃是以實用型精英培育為基礎(chǔ)設(shè)置教學(xué)的方案，需要落實到真正的教學(xué)場景中。當(dāng)前，關(guān)于“微積分”以及“高等數(shù)學(xué)”的課程現(xiàn)已普及至各大高校中的非數(shù)學(xué)專業(yè)中，并且對于此類課程的知識系統(tǒng)現(xiàn)已發(fā)展得非常完備，除了需要按照不同專業(yè)的知識系統(tǒng)對課程內(nèi)容稍作調(diào)整以外，已經(jīng)無法進(jìn)行改動。其次，現(xiàn)如今社會信息化、自動化、網(wǎng)絡(luò)化等方面飛速發(fā)展，微積分在不同范疇中的應(yīng)用也逐漸加深。與此同時，對學(xué)生的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)、對實際問題的抽象建模技能、剖析處理問題的水平的要求也更加嚴(yán)格，對于微積分教學(xué)改革的限制也更加嚴(yán)謹(jǐn)。在進(jìn)行微積分教學(xué)時，史迪沃特（J.Stewart）對于微積分概念的解析需要從幾何、數(shù)值、代數(shù)以及語言這四個方面并按照其特定的方式進(jìn)行展示。筆者通過對微積分教學(xué)過程的探究，把項目研究法運用至微積分教學(xué)過程之中，并且經(jīng)過實踐證明，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性明顯提高，也豐富了原有的傳統(tǒng)教學(xué)方式。

1 PDSIPE理念下的課程教學(xué)基本流程

對于PDSIPE（職業(yè)場景項目行動教學(xué)理念）課堂基礎(chǔ)教學(xué)環(huán)節(jié)大致分為職業(yè)含義認(rèn)識、項目創(chuàng)建、設(shè)置項目場景、項目開展、項目產(chǎn)品以及項目測評這六個層面，如圖1所示。

第一，教師和學(xué)生是相輔相成、密不可分的。教師在教學(xué)過程中主要扮演了項目的領(lǐng)導(dǎo)者和引路人的角色，課堂教學(xué)設(shè)計的過程不僅包含教師的教，還需要加入學(xué)生的學(xué)，因為對于課堂教學(xué)活動來說，其實質(zhì)就是教和學(xué)的雙邊行為的綜合，教師所實施的每個教學(xué)行為都指向的是學(xué)生的學(xué)，并且都會使學(xué)生做出學(xué)的行為，而學(xué)生的學(xué)又都會對教師教的行為產(chǎn)生反作用。因此，教學(xué)行為就是將教師的教和學(xué)生的學(xué)融合到一起的過程，并且二者總是同步的。第二，教師和學(xué)生之間的關(guān)系能夠表現(xiàn)出主體間性的存在。

上述六個層面將現(xiàn)實的職場作為背景，將開始、實施、結(jié)果三個階段融合成一個系統(tǒng)。職業(yè)含義認(rèn)識的開始階段為項目實施階段指引方向；實施階段屬于開始階段的進(jìn)一步發(fā)展；項目的創(chuàng)建、創(chuàng)建項目場景、項目的開展以及項目產(chǎn)品都需要借助相應(yīng)的學(xué)科知識作為理論基礎(chǔ)來幫助項目得以實施；結(jié)果階段屬于對上述兩個階段成果的檢驗，培育學(xué)生的專業(yè)技能以及非專業(yè)技能。

2 基于PDSIPE的微積分課程教學(xué)探索

基于PDSIPE理念的課堂教學(xué)，需要按照課程培育宗旨以及課程計劃，挑選適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材來實施應(yīng)用型的教學(xué)行為，開展能夠帶來實際效應(yīng)的課堂教學(xué)活動。

2.1 職業(yè)意義認(rèn)知環(huán)節(jié)

即使自身已經(jīng)擁有了優(yōu)異的自我發(fā)展技能，但是脫離了地區(qū)發(fā)展的需要，個人發(fā)展也會被禁錮。所以，在職業(yè)含義的認(rèn)識過程中，教師不僅要教授和個人未來發(fā)展有關(guān)的職業(yè)技能，還應(yīng)該重視所在地區(qū)的實際需要。愛好、優(yōu)勢、個性、知識、能力、智力、情感、思考的方式方法、道德標(biāo)準(zhǔn)等都屬于職業(yè)含義認(rèn)識過程中非常重要的一部分。另外，對于真實職場狀況的認(rèn)識也十分關(guān)鍵。

2.2 項目創(chuàng)設(shè)和項目情景創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)

在項目創(chuàng)建以及項目情景創(chuàng)建過程中，教師處在中心位置，所需要擔(dān)任的職責(zé)也是十分關(guān)鍵的，其挑戰(zhàn)和壓力都是比較大的，教師需要經(jīng)歷此教學(xué)理論形式的整體化的練習(xí)，還需要具備專業(yè)范疇內(nèi)的真實工作閱歷。需要教師斟酌所選項目的標(biāo)題并且創(chuàng)建真正的職業(yè)情景，找到真正的項目并設(shè)置項目的一些細(xì)節(jié)，同時還要斟酌課程系統(tǒng)能否幫助學(xué)生提高自身的學(xué)習(xí)技能等問題。在項目創(chuàng)建以及項目情景創(chuàng)建過程中，教師還應(yīng)該重視文化環(huán)境的養(yǎng)成，此處所提到的文化環(huán)境指的是物質(zhì)以及人文文化環(huán)境在內(nèi)的文化環(huán)境的總和［1］。在物質(zhì)文化環(huán)境中，項目標(biāo)題、項目情景都是根據(jù)現(xiàn)實的職場環(huán)境設(shè)置的，應(yīng)該顧及學(xué)校環(huán)境以及地點、企業(yè)環(huán)境等相關(guān)的物質(zhì)環(huán)境，這些物質(zhì)環(huán)境是否貼合項目自身，以及物質(zhì)文化環(huán)境是否可以促進(jìn)項目制定和項目發(fā)展。

2.3 項目實施環(huán)節(jié)

項目的開展程序和上一程序的相似之處在于，二者都屬于項目教學(xué)過程中至關(guān)重要的一部分，并且都需要在真正的職場情景中實施，教師和學(xué)生在兩個流程中所扮演的角色以及所處的位置有所區(qū)別。二者的不同之處是前者更為細(xì)致，比較重視的是知識的存儲和利用、計劃的擇優(yōu)使用、項目實踐過程的監(jiān)管制度，以上流程都可以被稱為知識的匯總使用過程。

在項目開展過程中，不僅要關(guān)注知識的匯總使用，還需要關(guān)注學(xué)生在開展項目時對于精神層面的升華，比如在項目開展時使用自主和小組協(xié)作的方法培養(yǎng)學(xué)生的外化能力。外化指教育人員幫助及指引受教育者將思想道德觀念轉(zhuǎn)變?yōu)樾袆樱谋举|(zhì)就是受教育者對于思想道德標(biāo)準(zhǔn)的實踐。學(xué)生使用自主以及小組協(xié)作的方法，按照項目開展流程，借助在項目開展過程中形成的團隊協(xié)作、分享資料、互相尊重、平等交流、誠信友愛等精神品質(zhì)在實際場景中的運用，來促進(jìn)自身的全面發(fā)展。

2.4 項目產(chǎn)品和評估環(huán)節(jié)

項目產(chǎn)品的展示和測評程序?qū)儆赑DSIPE教學(xué)理論最終的流程［2］。以上兩個環(huán)節(jié)能夠同時開展，項目產(chǎn)品的展示歷程也就是開展項目測評的歷程。關(guān)于PDSIPE的“評定”具體指的是對于項目的產(chǎn)品、開展流程、戰(zhàn)略和方式、專業(yè)技能、態(tài)度的養(yǎng)成及改變、教學(xué)目標(biāo)等多種因素的價值判定。

在美國著名高等教育家克拉克·科爾（Clark kern）看來，在一個社會之中最少要存在三種高等教育學(xué)校。一種是X形式，學(xué)校的辦學(xué)宗旨就是學(xué)問，主要職責(zé)就是培育研究生、進(jìn)行科學(xué)探究，達(dá)到國家或者是國際水準(zhǔn)的層次。另一種是Y形式，學(xué)校的只要職責(zé)就是按照社會職業(yè)的需求對本科生實施相應(yīng)的技能培訓(xùn)以及一般的教育素養(yǎng)的形成，達(dá)到國家和地區(qū)的水準(zhǔn)即可。還有一種就是Z形式，學(xué)校的主要職責(zé)就是按照社會的所有需求及客戶的需要，培育實用型學(xué)生，只需達(dá)到地區(qū)以及地方水準(zhǔn)就可以。根據(jù)克拉克·科爾的課題研究能夠得出，PDSIPE注重的是Y形式，利用真正的職場項目工作，按照社會的需要以及客戶的需求，培育實用型學(xué)生，只需達(dá)到地區(qū)以及地方水準(zhǔn)就可以。

2.5 實際教育環(huán)節(jié)

第一，在眾多學(xué)科中存在一門抽象學(xué)科那就是微積分，其重點展現(xiàn)在對直觀的抽象定義、條理化的符號語言以及嚴(yán)謹(jǐn)論證［3］。舉例說明，就像函數(shù)“ε-δ”的概念，所有針對微積分知識的學(xué)習(xí)都要將其當(dāng)作基礎(chǔ)，可是其中抽象的內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)的“絆腳石”。第二，微積分教學(xué)的實質(zhì)眾多，并且課時存在限制，同時在教學(xué)進(jìn)程中依然以教師的講授為主，師生以及生生之間交流極少，學(xué)生沒有參與感。第三，微積分的授課形式大多為大班式講授，因為學(xué)生較多，所以教師很少注意到學(xué)生對學(xué)習(xí)的個性化要求，造成教學(xué)成果不明顯。

從學(xué)習(xí)層面來講，在基礎(chǔ)教學(xué)時期，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容比較零碎，往往通過習(xí)題訓(xùn)練的方式來了解數(shù)學(xué)知識點，可是微積分作為一門比較系統(tǒng)的學(xué)科，其具備知識結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)并且邏輯性超強的特點。習(xí)題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必經(jīng)流程，可是一味地尋求難題以及反復(fù)練習(xí)不僅會使浪費時間，還會對知識結(jié)構(gòu)的整體掌握極其不利。所以，引起學(xué)生對微積分的興趣，提高學(xué)生對微積分知識結(jié)構(gòu)的掌握程度，在微積分的教學(xué)進(jìn)程中特別關(guān)鍵。

本文根據(jù)筆者幾年以來微積分教學(xué)的現(xiàn)實經(jīng)驗，從而引進(jìn)項目教學(xué)，其目的是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)生分析問題、構(gòu)建模型以及應(yīng)用微積分的能力，進(jìn)而為之后的學(xué)科學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

3 基于PDSIPE的微積分課程項目型教學(xué)知識點梳理

項目的類型可以劃分為三類，即運用型、研究型以及實驗型。以下對這三類項目進(jìn)行介紹。

3.1 應(yīng)用型項目

應(yīng)用型項目的目的是激發(fā)學(xué)生的想象力，從而鞏固知識，讓學(xué)生意識到微積分的關(guān)鍵性，掌握它的直觀背景，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。如果導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)展到“高階導(dǎo)數(shù)”階段，那么學(xué)生需要完成下列學(xué)習(xí)任務(wù)。

項目1 設(shè)計最佳的過山車。假設(shè)你要為一個新的過山車設(shè)計第一個升降，通過研究你最喜歡的過山車的照片，你決定讓上升道的斜率為0.8，下降道的斜率為-1.6。你決定使用一條拋物線y=f（x）=ax2+bx+c來連接上升和下降道。為了讓軌道做到平滑，不可以有突然的方向改變，以此你需要線性軌道L1和L2與拋物線軌道f（x）分別在轉(zhuǎn)接點P和Q相切（如圖2所示）。假設(shè)點P和Q的水平距離為30米。為簡化問題，可假設(shè)點P為原點。

（a）為了能夠確保軌道在轉(zhuǎn)接點處的平滑度，明確拋物線f（x）；（b）利用計算機做出f（x），L1與L2的圖形，從而驗證轉(zhuǎn)接點是否平滑；（c）求P與Q的高程差。

問題1中的處理方案或許看起來平滑，可是它的體驗感并不完美，由于由L1，f和L2定義的分段函數(shù)并不存在連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。因此，應(yīng)當(dāng)改良你的設(shè)計：在10≤x≤90時使用二次函數(shù)q（x）=ax2+bx+c的公式，之后運用下列兩個三次函數(shù)把g（x）分別與L（x）和L，（x）連接一起：

g（x）=kx³+lx²+mx+n 0≤x<10

h（x）=px³+qx²+rx+s 90

（a）寫出一個涵蓋11個未知數(shù)的方程組，保證上述函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)在轉(zhuǎn)接點相同；（b）求解（a）中的方程組，求出函數(shù)q（x），g（x）和h（x）：（c）運用計算機做出L1，g（x），q（x），h（x）和L2的圖形，與1（b）的圖形進(jìn)行對比。

和普通的習(xí)題存在差異，項目1需要運用計算機軟件制作函數(shù)圖像，以及求解涵蓋11個未知數(shù)的線性方程組。這對大一首次學(xué)習(xí)微積分科目的學(xué)生而言存在較大難度，所以團隊之間共同合作具有必要性。項目1不但能夠使學(xué)生夯實導(dǎo)數(shù)的概念，還可以更加深入地了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。為了能夠進(jìn)一步完善此模型，使其變得更為“平滑”，進(jìn)而增添了兩個三次函數(shù)銜接拋物線和兩條直線，并且使其擁有一個連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。通過對比完善前后的差別，學(xué)生需要思考下面兩個問題：連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)為什么會使軌道變得更為平滑？為什么通過添加兩個三次函數(shù)的方式讓軌道存在連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)？學(xué)生思考并解決諸多問題可以為之后的微積分學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

3.2 探索型項目

探索型項目通常會涉及沒有開始講授的內(nèi)容，激勵學(xué)生探索現(xiàn)實情況，從而發(fā)現(xiàn)其中的定律并且歸納匯總，這順應(yīng)科學(xué)探究的普通工序。比如，在學(xué)習(xí)微積分基礎(chǔ)定義之前，下列項目能夠協(xié)作學(xué)生更好地掌握變上限積分。

項目2面積函數(shù)。（a）畫出直線y=2t+1，計算這條直線和t軸，垂線t=1和t=3圍成區(qū)域的面積；（b）當(dāng)x>1時，設(shè)A（x）是由直線v=2t+1，t=1和t=x圍成區(qū)域的面積。畫出這個區(qū)域并寫出A（x）的表達(dá)式；（c）對A（x）求導(dǎo)，從中能夠發(fā)現(xiàn)一些問題。

馬克·范·多倫（Mark Van Doren）曾經(jīng)說過，教育的藝術(shù)是輔助學(xué)生發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)。變上限積分是微積分教學(xué)過程中的重難點之一。項目2的第一步是從單一的梯形面積著手，進(jìn)而研究變上限的梯形面積定理和梯形斜邊函數(shù)之間存在的聯(lián)系。這絕妙地銜接了微積分的概念以及幾何定義，學(xué)生在掌握了基礎(chǔ)定義的基礎(chǔ)上，可以發(fā)現(xiàn)微積分的概念和導(dǎo)數(shù)概念之間具有某種特定的聯(lián)系。

4 結(jié)語

PDSIPE課堂教學(xué)實際和技術(shù)微積分課程教學(xué)相互聯(lián)結(jié)，不僅需要吸收技術(shù)微積分的教學(xué)實質(zhì)與方法，以及知識技巧與定律，還需要和微積分教學(xué)目標(biāo)相切合。PDSIPE的微積分課程教學(xué)存在下面兩個方面的優(yōu)點：第一，能夠提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性；第二，能夠鍛煉學(xué)生的集體合作以及計算機使用能力。實踐證明，一旦學(xué)生對課程學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，便會主動查閱資料學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件的使用方法，并運用MathType等公式編輯器撰寫報告。

參考文獻(xiàn)

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［2］秦智，曲峰林. 基于GeoGebra的微積分可視化教學(xué)［J］. 高等數(shù)學(xué)研究，2022，25（6）：83-86.

［3］黨健，張宏偉. 加強微積分課程數(shù)學(xué)語言教學(xué)的思考與實踐［J］. 河南教育（高等教育），2022（10）：67-69.

［項目名稱］黑龍江財經(jīng)學(xué)院2023年校級科研課題“產(chǎn)教融合背景下基于PDSIPE的《微積分》課程教學(xué)范式的探索與研究”（項目編號：XJYB202341）。

［作者簡介］劉仁龍，男，黑龍江哈爾濱人，黑龍江財經(jīng)學(xué)院，助教，碩士，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計。