對數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題變式探究

胡定躍

(濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

數(shù)學(xué)問題中通常用一個(gè)字母來表示參數(shù),參數(shù)的變化制約著表達(dá)式的變換.已知表達(dá)式所代表的數(shù)學(xué)量的性質(zhì),求參數(shù)的值或取值范圍,是常見的一類問題,破解這類問題的關(guān)鍵是應(yīng)用以往學(xué)過的知識,合理構(gòu)造含有這個(gè)參數(shù)的等式或不等式.那么,對數(shù)函數(shù)中常見的參數(shù)問題有哪些呢? 本文從一個(gè)引例談起.

1 一個(gè)引例

引例已知f(x)＝－lg(3－ax)(a≠1)在(0,4]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

解析當(dāng)x∈(0,4]時(shí),3－ax＞0恒成立,所以3－4a＞0,解得a＜,由此可得本題選A.以下分析a為何大于0.

設(shè)t＝3－ax,函數(shù)y＝lgt是增函數(shù),所以要使f(x)在(0,4]上是增函數(shù),則只需函數(shù)t＝3－ax是減函數(shù),可得a＞0.

點(diǎn)評本題是以一次函數(shù)為內(nèi)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為外函數(shù)的復(fù)合函數(shù)問題,已知函數(shù)的單調(diào)性以及外函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)確定,所以只需考慮內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)本身固有的定義域即可.

2 變式探究

變式1若函數(shù)y＝loga(3－ax)在[0,4]上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是_________.

解析顯然a＞0,且a≠1.令t＝3－ax(t＞0),則y＝logat.因?yàn)閥＝loga(3－ax)在[0,4]上單調(diào)遞增,t＝3－ax在[0,4]上單調(diào)遞減,所以0＜a＜1.

點(diǎn)評本題參數(shù)既出現(xiàn)在內(nèi)函數(shù)中,又出現(xiàn)在外函數(shù)中,看似要分別討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,但由于對數(shù)函數(shù)底數(shù)是正數(shù),所以內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)確定,因此只需考慮內(nèi)函數(shù)在給定的區(qū)間上恒為正即可.

解得－8≤a≤4,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－8,4].

點(diǎn)評本題中的外函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)確定,而內(nèi)函數(shù)是一個(gè)含有參數(shù)的二次函數(shù),所以解決問題的關(guān)鍵如下:一是確定二次函數(shù)的單調(diào)性,找出對稱軸的位置;二是保證該二次函數(shù)在所給出的區(qū)域內(nèi)恒為正.由于本題給出的區(qū)間是開區(qū)間,所以列不等式時(shí)等號不可忽視.

綜上,選C.

點(diǎn)評本題給出的是分段函數(shù),要求這個(gè)函數(shù)是R上的減函數(shù),應(yīng)保證函數(shù)的兩段都是減函數(shù),且二次函數(shù)部分的值應(yīng)大于或等于對數(shù)函數(shù)部分的值,由此可得到三個(gè)不等式所組成的不等式組.

變式4已知a＞0且a≠1,函數(shù)

滿足當(dāng)x1≠x2時(shí),恒有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

解析函 數(shù)f(x)滿足當(dāng)x1≠x2時(shí),恒 有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x2f(x1)＋x1f(x2)成立,即函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x1≠x2時(shí),恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0成立,所以函數(shù)f(x)在R 上單調(diào)遞增,且2－a＞0,a＞1,(2－a)－3a＋3≤0,解得a∈,2),故選D.

點(diǎn)評本題是變式3 的加強(qiáng)版,需先根據(jù)條件確定分段函數(shù)的單調(diào)性,再利用變式3的解法得出不等式組.

當(dāng)0＜a2－3＜1 時(shí),函數(shù)y＝log(a2－3)x在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,若x＞1,則

不滿足題意.

當(dāng)a2－3＞1時(shí),函數(shù)y＝log(a2－3)x在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,若x＞1,則

滿足題意,此時(shí)a2＞4,解得a＞2或a＜－2.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是

點(diǎn)評事實(shí)上,當(dāng)對數(shù)值大于0時(shí),真數(shù)與底數(shù)都大于1,或真數(shù)與底數(shù)都大于零且小于1.本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

點(diǎn)評要保證對數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽,只需保證真數(shù)能取到所有正數(shù).而本題中的真數(shù)是一次函數(shù)或二次函數(shù),所以必須保證真數(shù)部分包含的函數(shù)與x軸有交點(diǎn).本題有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn):一是忽視內(nèi)函數(shù)可能是一次函數(shù);二是把值域?yàn)镽 當(dāng)成定義域?yàn)镽 來處理.

縱觀上述對數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題,解決問題的關(guān)鍵是先分清復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外函數(shù),再去確定它們的單調(diào)性或取值范圍,最后列出含有參數(shù)的等式或不等式進(jìn)行求解.在求解過程中一般要用到分類討論思想,分類時(shí)需做到“不重不漏”,尤其是二次項(xiàng)系數(shù)出現(xiàn)參數(shù)時(shí),它也可能是一次函數(shù),此外還要看清給出的區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間,從而確定不等式的等號是否能取到.

(完)