數(shù)學(xué)核心問題的特性與應(yīng)用的研究

常麗華

［摘? 要］ 核心問題是導(dǎo)學(xué)引教、啟學(xué)引思的載體，核心問題具有引領(lǐng)性、開放性與發(fā)展性等特征。文章從核心問題的幾大特征出發(fā)，以“乘法分配律”的教學(xué)為例，具體從“核心問題的提煉”與“派生問題的梳理”兩方面，對核心問題在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用展開闡述。

［關(guān)鍵詞］ 核心問題；思維；教學(xué)

長期以來，傳統(tǒng)的教學(xué)模式讓部分教師形成“教學(xué)就是手把手地教”的思維定式。隨著新課改的推進(jìn)，“怎么教”成了教師們關(guān)注已久的問題。部分教師以為自己抓住了“教”的關(guān)鍵，卻依然呈現(xiàn)出“滿堂灌、注入式”的教學(xué)模式，這種忽略學(xué)生真正需求的教學(xué)方式與培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”的教育理念格格不入。

為什么課堂上會出現(xiàn)教師“講不完”的現(xiàn)象？究其主要原因還在于核心問題的設(shè)置不夠精準(zhǔn)，需要教師花費(fèi)大量的時間與精力去解釋。為此，筆者針對核心問題的主要特性與應(yīng)用進(jìn)行了大量的實(shí)踐與研究。

一、核心問題的特性

核心問題為一節(jié)課的中心問題，是文本的“文眼”，也是課堂的“課眼”與著力點(diǎn)。核心問題是基于教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)設(shè)計(jì)、指向知識本質(zhì)的問題，對一節(jié)課具有導(dǎo)向與推動作用［１］。

1. 引領(lǐng)性

從核心問題的作用來看，它具有統(tǒng)整、引領(lǐng)、揭示主題以及推動課堂進(jìn)程等作用。從字面上來看，核心問題與課堂中出現(xiàn)的眾多問題相比，又有著獨(dú)特性。核心問題以揭示知識本質(zhì)為主，具有整合教學(xué)要點(diǎn)的功能，由此它的引領(lǐng)性尤為突出。學(xué)生通過對核心問題的解決，能對知識本質(zhì)產(chǎn)生深刻理解。解決核心問題的過程是學(xué)生思維逐層遞進(jìn)、不斷深入的過程，此過程離不開情感的參與，并且具有一定的挑戰(zhàn)性。

案例1? “分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的教學(xué)

分?jǐn)?shù)的概念是指將一個量進(jìn)行平均分配后，將部分與整體的關(guān)系形成分?jǐn)?shù)。教學(xué)時，學(xué)生對“平均分”已經(jīng)有了一定的認(rèn)識。鑒于此，讓學(xué)生認(rèn)知分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵在于引導(dǎo)其感知平均分配的過程，體驗(yàn)平均分配之后的每一份與整體的關(guān)系。

比如，將1塊蛋糕平均分成2份，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法用整數(shù)進(jìn)行表達(dá)時，教師可因勢利導(dǎo)地提出“一半”這個詞，并通過數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生體驗(yàn)“一半”就是1/2，從而對1/2這個分?jǐn)?shù)形成形象化的認(rèn)識。

為了深化學(xué)生對1/2的理解，教師可帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行折紙活動。雖然學(xué)生呈現(xiàn)出不一樣的折紙過程，但是結(jié)論都指向1/2這個分?jǐn)?shù)。此時教師可以讓學(xué)生說一說為什么用不同的折法折1張紙都能獲得這張紙的1/2，并要求學(xué)生在解答的基礎(chǔ)上再折出這張紙的1/4。學(xué)生經(jīng)折疊后所獲得的形狀并不一樣，但每一份確實(shí)為原來紙張的1/4。

基于以上操作，教師提供解題訓(xùn)練：

練習(xí)1：觀察圖1，請?jiān)谕可糠譃?/4的圖形下的（? ）內(nèi)打“√”。

練習(xí)2：觀察圖2，在（? ）內(nèi)用分?jǐn)?shù)表示涂色部分。

在學(xué)生順利完成練習(xí)1后教師要求學(xué)生思考：為什么其他幾幅圖的涂色部分不是1/4呢？當(dāng)學(xué)生順利應(yīng)用1/3、1/6、1/9、1/8表示完圖2后，教師要求學(xué)生思考：為什么圖中涂色部分都能用分?jǐn)?shù)表示呢？為什么填寫的分?jǐn)?shù)分母不同，而分子都是1呢？

以上問題的提出均源自一個核心問題：為什么要用這個分?jǐn)?shù)表示涂色部分？類似于此的反思性問題提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，強(qiáng)化了學(xué)生對平均數(shù)的直觀體驗(yàn)。這些環(huán)環(huán)相扣的問題，成為本節(jié)課教學(xué)的“領(lǐng)頭雁”，不僅推進(jìn)了教學(xué)進(jìn)程，還將學(xué)生的思維過程淋漓盡致地展露出來。

2. 發(fā)展性

核心問題是基于學(xué)生原有生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)心理與學(xué)習(xí)障礙提出的，是處于學(xué)生認(rèn)知“最近發(fā)展區(qū)”的具有挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)生樂于嘗試解決此類問題。因?yàn)榉e極參與此類問題的探索，常常能給學(xué)生帶來較好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與成功的喜悅，利于學(xué)生思維的發(fā)展。

案例2? “小數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)

情境創(chuàng)設(shè)（小魔術(shù)）：在數(shù)字“1”的后面用紙折疊多個0，隨著教師逐一打開這些0，讓學(xué)生感知每打開一個0，數(shù)分別擴(kuò)大到它原來的10、100、1000、10000倍……接下來教師展示小數(shù)“0.1”，用同樣的方法在0.1后面添加“0”。提問：0.1的大小是否發(fā)生改變？

學(xué)生呈現(xiàn)出不同的結(jié)論，有的學(xué)生認(rèn)為0.1的大小發(fā)生了變化，有的學(xué)生認(rèn)為0.1的大小沒有發(fā)生變化。為了讓學(xué)生自主探索出真相，教師要求學(xué)生以小組合作的模式展開討論，并在班級內(nèi)匯報研究思路與方法。

方法1： 因?yàn)?.1m=1dm，0.10m=10cm=1dm，所以0.1m=0.10m，由此可知0.1=0.10；

方法2： 因?yàn)?.1元=1角，0.10元=10分=1角，因此0.1元=0.10元，也就是0.1=0.10；

方法3： 因?yàn)?.1代表有1個1/10，0.10代表有10個1/100，“10個1/100”與“1個1/10”相等，因此0.1=0.10；

……

理解并掌握小數(shù)的性質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，其核心問題即理解“為什么在小數(shù)末尾添加或減掉0后，小數(shù)的大小不發(fā)生變化”?；趯W(xué)生對小數(shù)的意義與計(jì)數(shù)單位的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，對于小數(shù)是否相等的情況已經(jīng)有一定的判斷力。因此，聯(lián)系生活實(shí)際，從幾何直觀出發(fā)，借助轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行問題的分析，對促進(jìn)學(xué)生個體的發(fā)展具有重要作用。

本環(huán)節(jié)，通過自主探究與合作交流的模式，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)并理解小數(shù)的基本性質(zhì)。因此，此環(huán)節(jié)的核心問題是“能否從不同的角度來闡釋自己的想法”。教師以這個核心問題為中心開展自主探究活動，讓全體學(xué)生都積極主動地參與到活動探究中，并從自身的角度來闡述一些想法，有效地促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提升。

3. 開放性

核心問題常常具備開放性的特征，此類問題的答案、解題方法、理解層次或表達(dá)方式等都有可能存在不唯一的情況。這就給學(xué)生的思維帶來了更廣闊的空間，讓不同水平層次的學(xué)生都能從核心問題中探索到自己感興趣或擅長的部分，思維從不同程度上獲得一定的發(fā)展［２］。因此，核心問題是實(shí)施差異化教學(xué)的基礎(chǔ)。

當(dāng)然，不唯一的答案或解題思路不僅能豐富學(xué)生對核心問題的理解，還能深化學(xué)生對問題背后知識本質(zhì)的認(rèn)識，為建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。

案例3? “解決問題的策略——一一列舉”的教學(xué)

本節(jié)課屬于策略教學(xué)，所需解決的問題主要有：該策略用于什么情況下？該怎么用？有什么應(yīng)用價值等？然而教學(xué)實(shí)踐中，這些待解決的問題不可能面面俱到，那務(wù)必有個側(cè)重點(diǎn)，這就是本節(jié)課的核心問題。

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)對一一列舉的策略有過接觸。當(dāng)學(xué)生碰到實(shí)際問題時，判斷是否需要應(yīng)用列舉策略并不困難，問題是該如何進(jìn)行列舉。有序性最值得關(guān)注，只有從“有序列舉”的角度出發(fā)，才能保證做到無重復(fù)與遺漏。怎樣才能有序列舉呢？這是學(xué)生亟待解決的問題。因此，本節(jié)課因?qū)ⅰ澳闶侨绾巫龅接行蛩伎嫉摹弊鳛楹诵膯栴}。

在例題出示后，教師先引導(dǎo)學(xué)生充分理解題意，然后嘗試列舉。在嘗試過程中，學(xué)生常常會采用畫圖、列表、列式等多種方法。在學(xué)生交流完自己的列舉方法之后，教師可以提問：“你們所呈現(xiàn)的列舉方法各不相同，通過交流后，有沒有發(fā)現(xiàn)其中的共同之處？”在這個問題的引領(lǐng)下，學(xué)生往往能總結(jié)出列舉的本質(zhì)，比如按照大小排序等。

每個問題的列舉形式不同，但思考的本質(zhì)都是“有序”二字。因此，核心問題的開放性特征，更利于學(xué)生從豐富的表象中抓住問題的本質(zhì)，突出思考的有序性與操作性。

二、核心問題的應(yīng)用實(shí)踐

核心問題對課堂具有引領(lǐng)的作用，有助于幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)習(xí)潛能。教學(xué)中，如何提煉出合乎情理的核心問題，并梳理好問題的序列呢？下面筆者以“乘法分配律”的教學(xué)為例，談一些具體的實(shí)施辦法。

1. 核心問題的提煉

每節(jié)課的問題雖然很多，但是能促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的問題不多。過散、過細(xì)、過窄、過淺、過深的問題都會讓學(xué)生變得膚淺、單一或浮躁，只有真正意義上的“核心問題”才能起到引領(lǐng)、促進(jìn)、啟發(fā)與推動作用。因此，核心問題的提出離不開“提煉”的過程，絕非簡單的“提問”。這就需要教師把握好新課標(biāo)的要求，深入理解教材，在精準(zhǔn)把握學(xué)情的基礎(chǔ)上精心提煉。

“乘法分配律”這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征，認(rèn)識并掌握乘法分配律。常規(guī)情況下，學(xué)生在學(xué)完本節(jié)課后，對于乘法分配律的外在結(jié)構(gòu)特征有所認(rèn)識，然后就依葫蘆畫瓢地進(jìn)行應(yīng)用，當(dāng)問題出現(xiàn)變化時就不知所措了。比如對9×56＋56這個式子，很多學(xué)生認(rèn)為不能應(yīng)用乘法分配律，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因在于學(xué)生并沒有從本質(zhì)上理解并掌握乘法分配律。

為了改變這個現(xiàn)狀，筆者在課前特分析了教材與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將“為什么能合并起來算與為什么能分別展開算”這個問題確定為本節(jié)課的核心問題。

一旦解決了這個核心問題，學(xué)生就能從本質(zhì)上理解乘法分配律，靈活應(yīng)用自然不存在問題。該核心問題的設(shè)置讓學(xué)生的目光從原來對算式外在特征的研究轉(zhuǎn)化到有深度、有挑戰(zhàn)性的知識內(nèi)涵中來。

2. 派生問題的梳理

核心問題提煉出來之后，就要考慮梳理核心問題的派生問題。派生問題的形成源自核心問題，同時又推動核心問題的解決，從一定程度上能夠深化學(xué)生對知識本質(zhì)的理解。多個派生問題是以核心問題為中心的相對完整的問題系統(tǒng)，需要教師加以梳理、組織，才能達(dá)到預(yù)期的應(yīng)用效果。

為了解決乘法分配律的核心問題，教師在梳理派生問題時可從以下問題出發(fā)，讓學(xué)生逐一思考。

問題1：育才小學(xué)一年級有10個班，每個班需要從體育器材室領(lǐng)取9只籃球；二年級也有10個班，每個班需從器材室領(lǐng)取8只籃球，那么兩個年級一共需要從器材室領(lǐng)取多少只籃球？

問題2：育才小學(xué)三年級有4個班，每個班需要從體育器材室領(lǐng)取24根跳繩；四年級有6個班，每個班需要領(lǐng)取24根跳繩，這兩個年級一共需要從器材室領(lǐng)取多少根跳繩？

問題3：育才小學(xué)五年級有7個班，每個班需要從體育器材室領(lǐng)取10副乒乓球拍；六年級有8個班，每個班需要從器材室領(lǐng)取5副乒乓球拍，求五、六年級一共需要領(lǐng)取多少副乒乓球拍？

以上3個問題，學(xué)生分別列式為：9×10+8×10=（9+8）×10；24×4+24×6=24×（4+6）；10×7+5×8。

師：為什么前兩題存在兩種算法，而第三題卻不能將式子合并再相乘呢？

學(xué)生一致認(rèn)為前兩題的乘法算式中都存在相同的乘數(shù)，所以可以合并后再相乘，而第三題卻不存在這種情況?；诖苏J(rèn)識，教師要求學(xué)生自主寫一些可以合并起來乘的式子，并總結(jié)其中蘊(yùn)含的規(guī)律。學(xué)生經(jīng)合作交流后，總結(jié)出以下結(jié)論：分別用a、b、c表示三個數(shù)，可將a×c+b×c轉(zhuǎn)化為（a+b）×c。

為了深化學(xué)生對式子a×c+b×c=（a+b）×c的理解，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度進(jìn)行分析。

如圖3，長方形甲的面積為a×c，乙的面積為b×c，甲、乙面積之和與大長方形面積一致，列式為a×c=b×c=（a+b）×c，由此可確定該等式成立。

此教學(xué)過程，教師通過簡單問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生主動思考“為什么能合并起來算與為什么能分別展開算”。隨著探究的深入，學(xué)生的思維經(jīng)歷了由淺入深的過程，對乘法分配律的認(rèn)識也從淺表的外部結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為深層次的理解。

合理的核心問題與問題序列對學(xué)生思維具有啟發(fā)和引導(dǎo)的作用，探究活動的開展可以讓學(xué)生經(jīng)歷更多的靜心思考，能夠從深層次提升學(xué)生的思維品質(zhì)［３］。

以上教學(xué)片段中，前兩個問題可以用兩種計(jì)算方法，但第三個問題卻不可以，這個思考直指乘法分配律的本質(zhì)。剛開始計(jì)算的時候?qū)W生有些迷茫，他們雖然會解題，但是沒有從深層次分析過具體原因，因此課堂出現(xiàn)了短暫的沉默。教師適時的點(diǎn)撥激活了學(xué)生的思維，隨著長方形面積的探索，學(xué)生對乘法分配律的理解則水到渠成。

“發(fā)明千千萬，起點(diǎn)是一問”是陶行知先生對問題作用的完美詮釋，課堂核心問題則是教學(xué)設(shè)計(jì)的中心，是學(xué)生思維的出發(fā)點(diǎn)與終點(diǎn)。因此，教師應(yīng)充分認(rèn)識核心問題的重要性，精心設(shè)計(jì)核心問題，讓課堂圍繞核心問題而開展，讓學(xué)生的思維朝向深刻、理性的方向發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 宋曉平，王建華. 數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)動力與“教學(xué)問題”研究［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，２００６，１５（０３）：１９－２３.

［２］ 方明. 陶行知教育名篇［Ｍ］. 北京：教育科學(xué)出版社，２００５.

［３］ 唐平，付天貴. 小學(xué)五年級學(xué)生問題解決中幾何直觀能力的水平研究［Ｊ］.小學(xué)教學(xué)參考，２０１８（０８）：１０－１２.