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    真假辨析,發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)*
    ——關(guān)于全等三角形中“SSA”的再思考

    2023-09-27 01:05:40安徽省太湖縣實驗中學(xué)周志寬
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年18期
    關(guān)鍵詞:延長線反例鈍角

    ? 安徽省太湖縣實驗中學(xué) 周志寬

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出:通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.筆者下面以一道初中幾何命題的真假辨析為例,結(jié)合“一般觀念”,談?wù)勔痪€數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中該如何貫徹新課程理念,在“三會”中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    1 問題呈現(xiàn)

    滬科版數(shù)學(xué)教材八年級(上)第14章,在三角形全等判定方法的探究中,“SSA”即兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等是假命題,可以舉如下反例:

    如圖1,在△ABC中,作BD=BA交AC于點D,但△ABC與△DBC不全等.

    圖1

    在什么情況下,兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形會全等呢?

    已知在△ABC與△A1B1C1中,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,試探究滿足什么條件△ABC與△A1B1C1全等?

    2 問題探究

    探究1:若∠C=∠C1=90°,△ABC與△A1B1C1一定全等嗎?

    方法一:通過平移,兩個三角形可拼成一個等腰三角形,可得一銳角相等,再運用“AAS”可證.說明這兩個三角形均為直角三角形時,它們一定全等.

    證明:在平面內(nèi)移動△ABC,使點B和點B1、點C和點C1重合,點A和點A1在B1C1的兩側(cè),如圖2.

    圖2

    由∠A1C1A=∠A1C1B1+∠ACB=90°+90°=180°,可知A1,C,A三點在同一條直線上.

    又B1A=B1A1,所以∠A=∠A1.

    方法二:根據(jù)勾股定理在直角三角形中由兩邊相等可證第三邊相等,再用“SSS”可證.

    結(jié)論1:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(“HL”).

    探究2:若∠C=∠C1<90°,△ABC與△A1B1C1全等嗎?

    類似于圖1,同樣可構(gòu)造不全等的兩個三角形作為反例,則△ABC與△A1B1C1不一定全等.

    探究3:若△ABC與△A1B1C1均為銳角三角形,兩三角形一定全等嗎?

    分析:如圖3,過點B,B1分別作BD⊥CA于點D,B1D1⊥C1A1于點D1,可證△BCD≌B1C1D1,得BD=B1D1;再證Rt△ABD≌Rt△A1B1D1,得∠A=∠A1,可證△ABC≌△A1B1C1.則兩三角形一定全等.

    圖3

    證明:過點B,B1分別作BD⊥CA于點D,B1D1⊥C1A1于點D1.則∠BDC=∠B1D1C1=90°.

    在△BDC與△B1D1C1中,

    ∴△BDC≌B1D1C1(AAS).

    ∴BD=B1D1.

    易證Rt△ABD≌Rt△A1B1D1(HL).

    ∴∠A=∠A1.

    在△ABC與△A1B1C1中,

    ∴△ABC≌△A1B1C1(AAS).

    結(jié)論2:兩邊及其中一邊的對角(對角是銳角)分別相等的兩個三角形不一定全等,但兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個銳角三角形一定全等.

    探究4:若△ABC與△A1B1C1均為鈍角三角形,兩個三角形一定全等嗎?

    不一定全等.反例:如圖4,△ABA1中,∠ABA1=90°,且BA=BA1,延長AA1至點C,連接BC.則△CBA與△C1B1A1均為鈍角三角形.

    圖4

    探究5:若∠C=∠C1>90°,△ABC與△A1B1C1一定全等嗎?

    如圖5,過點B,B1分別作BD⊥CA交AC的延長線于點D,B1D1⊥C1A1交A1C1的延長線于點D1,可證△BCD≌B1C1D1,得BD=B1D1.用“HL”再證Rt△ABD≌Rt△A1B1D1,得∠A=∠A1,即可證△ABC≌△A1B1C1.

    圖5

    結(jié)論3:兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個鈍角三角形不一定全等,但對角是鈍角時,對應(yīng)的兩個三角形一定全等.

    3 延伸應(yīng)用

    在△ABC中,過∠BAC角平分線上任意一點P,分別作PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,若BE=CF,試判斷AB一定等于AC嗎?并說明理由.

    分析:解決該問題的關(guān)鍵是畫圖.需考慮點E,F在AB,AC上的位置及點P與△ABC的位置關(guān)系.借助幾何畫板探究,當(dāng)點E,F同時在AB,AC上或同時在其延長線上,AB一定等于AC.如圖6,其中點P位于BC上(左一),通過兩次證全等即可,此種情況最特殊,證明最簡單;后三種情況連接PB,PC可以轉(zhuǎn)化,同理可證.

    圖6

    當(dāng)點E,F不同時在AB,AC上或不同時在其延長線上,AB一定不等于AC,如圖7.

    圖7

    綜上,AB不一定不等于AC.

    4 研究感悟

    4.1 會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界

    由探究可知,“兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題;若對角是直角或鈍角,則兩個三角形一定全等,若對角是銳角則不一定全等;若在直角三角形或銳角三角形中,則兩個三角形一定全等,若在鈍角三角形中則不一定全等.這幾個命題,真真假假,教學(xué)中只有讓學(xué)生親身體驗,經(jīng)歷分析和比較的過程,感悟共性,分辨差異,才能看清問題的本質(zhì),形成合適的類,通過幾何直觀提升抽象能力,會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界.

    4.2 會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界

    在解決問題的過程中,真命題的證明都運用了“一般觀念”中分類、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,充分利用已有元素探究兩個三角形中其他元素是否唯一確定.以上問題情境充分運用“一般觀念”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過程,感悟歸納推理和演繹推理的傳遞性,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界.

    4.3 會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界

    從問題呈現(xiàn)、猜想、證明、歸納體現(xiàn)出研究數(shù)學(xué)問題的基本套路.對于兩個假命題,均舉反例說明;對于真命題,運用演繹推理予以嚴密論證,體現(xiàn)了嚴謹?shù)目茖W(xué)精神.通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷針對圖形性質(zhì)、關(guān)系、變化確立幾何命題的過程,體會數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述,會借助圖形分析條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系,感悟數(shù)學(xué)表達的準確性和嚴謹性,發(fā)展模型觀念,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.

    中國科學(xué)院院士張景中在《走進教育數(shù)學(xué)》中指出,數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)致力于“把數(shù)學(xué)解題變?nèi)菀住钡难芯?因此,盡可能在教學(xué)中尋求更通用、更有力的解題方法,以“一般觀念”引領(lǐng),借助現(xiàn)代信息技術(shù),為學(xué)生提供有章可循的解決問題的途徑,“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住?真正實現(xiàn)減負增效.

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