高中數(shù)學(xué)函數(shù)易錯題分析

■河南省許昌高級中學(xué) 郭曼曼

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是難點(diǎn)。學(xué)好函數(shù)是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的前提,那么如何更好地學(xué)習(xí)函數(shù)知識呢? 對同學(xué)們的易錯題進(jìn)行分析是一個有效的途徑。本文結(jié)合實(shí)踐,分析同學(xué)們在解決函數(shù)問題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤,歸納了錯誤類型,并且就每種錯誤類型給出了相應(yīng)的例題、錯誤解法,重點(diǎn)分析了錯解原因,最后給出了正確解法。

易錯點(diǎn)一、判斷函數(shù)的奇偶性時忽視定義域而致錯

錯因分析：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,因此,在判斷函數(shù)的奇偶性時,一定要先研究函數(shù)的定義域。

易錯點(diǎn)二、求函數(shù)定義域時條件考慮不充分而致錯

例2求函數(shù)y=+(x+1)0的定義域。

錯解：由題意得3-2x-x2＞0,解得-3＜x＜1,所以原函數(shù)的定義域?yàn)閇-3,1]。

錯因分析：誤以為(x+1)0對任意實(shí)數(shù)成立。

易錯點(diǎn)三、忽視內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域而致錯

例3已知函數(shù)f(x)=log3x+2,x∈[1,9],求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域。

錯解：因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇2,4],所以函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)閇6,22]。

錯因分析：求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的定義域時,應(yīng)考慮

正解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇1,9],所以函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的定義域?yàn)閇1,3]。設(shè)t=log3x,因?yàn)閤∈[1,3],所以t∈[0,1],由于y=t2+6t+6,t∈[0,1],所以函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)閇6,13]。

易錯點(diǎn)四、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時忽視定義域而致錯

易錯點(diǎn)五、忽略含參函數(shù)的分類討論而致錯

例5若函數(shù)f(x)=ax2-x+1-a(a∈R)在[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

錯解：由函數(shù)f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則有＜0或≥2,解得0＜a≤或a＜0。

錯因分析：函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)a,求解時應(yīng)根據(jù)a是否等于0 分類討論,錯解中忽視對a=0 的討論。若a=0,則函數(shù)為y=-x+1,在R上是單調(diào)函數(shù),滿足題意。

正解：當(dāng)a=0 時,函數(shù)y=-x+1 在[0,2]上顯然是單調(diào)函數(shù);當(dāng)a≠0時,要使函數(shù)f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則有＜0或≥2,解得0＜a≤或a＜0。綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

易錯點(diǎn)六、忽略分段函數(shù)的分界點(diǎn)而致錯

錯因分析：上述錯解只考慮到使得每段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)的條件,實(shí)際上函數(shù)在R上為增函數(shù),還需要使得f(x)=(1-2a)x+3a在x≥-1上的最小值不小于f(x)=a-x在x＜-1上的最大值。多數(shù)同學(xué)由于漏掉這一限制條件而出錯。

本文從以上六個方面分析了同學(xué)們在解決函數(shù)問題過程中出錯的原因,那么我們?nèi)绾巫霾拍鼙苊饣蛘邷p少出錯呢?

(1)重視概念的理解。要深刻領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵和外延,熟悉函數(shù)的各種性質(zhì),注意函數(shù)性質(zhì)使用的限制條件。

(2)計(jì)算時要耐心,更要細(xì)心。一些問題需要較大的計(jì)算量,不可半途而廢,更不可望而卻步,要多加練習(xí)提升自己的熟練度。還有一些問題的計(jì)算量不大但是需要同學(xué)們細(xì)心,審清題意,不可操之過急。

(3)重視數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用。函數(shù)的很多問題可以通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成圖像問題,從而化繁為簡解決問題。

(4)建立并正確使用錯題集。對于錯題分類收錄,定期復(fù)習(xí),找類似題目重做,通過相互交流達(dá)到對題目更深刻的理解。

心理學(xué)家桑代克說:“學(xué)習(xí)的過程是一種漸進(jìn)式嘗試錯誤的過程?！睕]有錯誤就不可能有進(jìn)步,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,勇于面對數(shù)學(xué)中的錯誤,勇于解決數(shù)學(xué)中的錯誤,錯誤就是我們的財(cái)富。