考點(diǎn)鏈接，題型歸納
——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

■江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 邵春燕

導(dǎo)數(shù)是近幾年高考中的必考知識(shí),通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)。在高考試題中,導(dǎo)數(shù)只不過(guò)是創(chuàng)設(shè)試題情境的一種取向,求導(dǎo)的過(guò)程并不難,它不是試題的最終落腳點(diǎn),它的最終落腳點(diǎn)應(yīng)是考查函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等重要的知識(shí),以及等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法。本文綜合2023 年高考中導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查及各方面的信息反饋,總結(jié)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的高考導(dǎo)向主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義問(wèn)題

對(duì)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有時(shí)直接考查相關(guān)的幾何意義,但經(jīng)常也通過(guò)幾何意義的變換來(lái)加以考查,注意這是一大導(dǎo)向。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可以求解曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率、切點(diǎn)、切線方程、參數(shù)等問(wèn)題。

故選擇答案:C。

點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)的幾何意義在高考中的考查方式往往是通過(guò)給定切線的方程、切線的斜率、切線與已經(jīng)直線的位置關(guān)系等,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、關(guān)系式的確定等來(lái)求解切線的相關(guān)問(wèn)題(斜率、方程)、參數(shù)問(wèn)題、切線的條數(shù)問(wèn)題等,是高考中比較常見(jiàn)的考點(diǎn)之一,也是我們平時(shí)要加以熟練掌握的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

二、函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律上的一個(gè)應(yīng)用,它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可以用來(lái)解決確定單調(diào)區(qū)間,判斷函數(shù)單調(diào)性,處理相應(yīng)的圖像與參數(shù)問(wèn)題,比較大小關(guān)系,以及證明不等式等,同時(shí)也是解決函數(shù)的極值與最值的基礎(chǔ)所在。

例2(2023 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科·16)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是_____。

解析：因?yàn)閒(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f'(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)＞0在(0,+∞)上恒成立。

令g(x)=axlna+(1+a)xln(1+a),則g'(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)＞0,故導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

所以f'(0)=lna+ln(1+a)≥0,即ln[a(1+a)]≥0,亦即a(1+a)≥1,結(jié)合a∈(0,1),解得≤a＜1,即a的取值范圍是。

點(diǎn)評(píng):判斷函數(shù)的單調(diào)性或利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解題,都是命題中比較常見(jiàn)的題型。這里借助函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增(或減),則其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)恒為正數(shù)(或負(fù)數(shù)),借助不等式的構(gòu)建,為參數(shù)值的求解或其他相關(guān)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。在實(shí)際解題過(guò)程中,經(jīng)常結(jié)合分類討論、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

三、函數(shù)的極值問(wèn)題

函數(shù)的極值是研究函數(shù)在某一很小區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)時(shí)給出的一個(gè)概念,是局部性的,它只是在與極值點(diǎn)近旁的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較為較大或較小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小。函數(shù)的極值問(wèn)題往往涉及極值的確定、參數(shù)的求解等問(wèn)題,往往與函數(shù)的單調(diào)性一起加以考查。

例3(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·11)(多選題)若函數(shù)f(x)=alnx+既有極大值也有極小值,則下列結(jié)論正確的是( )。

A.bc＞0 B.ab＞0

C.b2+8ac＞0 D.ac＜0

故選擇答案:BCD。

四、函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)是近幾年高考中的必考知識(shí),通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本性質(zhì),合理聯(lián)系起函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值,并與方程、不等式等方面進(jìn)行交匯,融合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)在解答題中的應(yīng)用。

例4(2023 年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·19)已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)a＞0時(shí),f(x)＞2lna+。

解析：(1)依題知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=aex-1。

若a≤0,則f'(x)＜0,故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減。

若a＞0,由f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna。則當(dāng)x∈(-∞,-lna)時(shí),f'(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-lna,+∞)時(shí),f'(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

綜上分析,當(dāng)a≤0 時(shí),函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知,當(dāng)a＞0 時(shí),f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna。

點(diǎn)評(píng):此類涉及函數(shù)的不等式恒成立或證明不等式問(wèn)題,解題思維與方向相對(duì)比較明確,關(guān)鍵就是構(gòu)造比較恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),把不等式恒成立問(wèn)題加以合理轉(zhuǎn)化,借助導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問(wèn)題。

涉及導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是理解與掌握導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,充分理解導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,并會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。這部分內(nèi)容主要考查:導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念及其運(yùn)算,以及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題等。一般概念與運(yùn)算問(wèn)題以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題以解答題的形式出現(xiàn)。