巧同構(gòu)函數(shù),妙解決問題

■江蘇省江浦高級中學(xué) 經(jīng)中進(jìn)

在解決一些涉及函數(shù)或方程、代數(shù)式、不等式等相關(guān)問題時,經(jīng)常需要對相應(yīng)的函數(shù)或方程、代數(shù)式、不等式等進(jìn)行恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化,分析等式或不等式兩邊所涉及的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,合理尋找共性或同型,巧妙同構(gòu)函數(shù),借助新函數(shù)的構(gòu)建與基本性質(zhì)的應(yīng)用等來分析與解決問題。

一、函數(shù)值的確定

在函數(shù)值的確定等相關(guān)問題中,經(jīng)常借助同構(gòu)函數(shù),使得不同變量條件下相應(yīng)的函數(shù)值相等,利用函數(shù)的基本性質(zhì)得以確定相關(guān)的變量相等,為接下來函數(shù)值的確定提供條件與應(yīng)用。

例1已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對任意實數(shù)x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),那么的值是( )。

分析：根據(jù)題設(shè)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變形,通過同構(gòu)函數(shù)來確定新函數(shù)的周期性,進(jìn)而對函數(shù)的值進(jìn)行簡化處理,利用題設(shè)函數(shù)的奇偶性來轉(zhuǎn)化并確定相關(guān)函數(shù)的值,結(jié)合同構(gòu)函數(shù)的基本性質(zhì)來合理求值與應(yīng)用。

故選擇答案:A。

點評:借助函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行合理同構(gòu)函數(shù),往往可以創(chuàng)設(shè)具有特殊函數(shù)基本性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性或周期性等)的新函數(shù),借助同構(gòu)的新函數(shù)來進(jìn)行合理解決問題,特別是在解決一些抽象函數(shù)問題時,更具效力。

二、大小關(guān)系的判斷

在代數(shù)式的大小關(guān)系的判斷等相關(guān)問題中,經(jīng)常借助同構(gòu)函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性的確定與性質(zhì)應(yīng)用,巧妙確定對應(yīng)的變量的大小關(guān)系,是解決相關(guān)大小關(guān)系的判斷中比較常用的一種技巧方法。

例2(2023 年山東省濟南市章丘區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(5 月份))已知α,β∈,且3α-2sinβ=9β-α,則( )。

A.α＜2βB.α＞2β

C.α＞β2D.α＜β2

分析：根據(jù)題設(shè)條件,先證明不等式x＞sinx成立,進(jìn)而得以合理放縮題設(shè)條件中的不等式,合理配湊處理,巧妙同構(gòu)函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及其性質(zhì),得以確定相關(guān)代數(shù)式的大小關(guān)系問題。

解：設(shè)函數(shù)f(x)=x-sinx,x∈,求導(dǎo)得f'(x)=1-cosx＞0恒成立,即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,所以f(x)＞f(0)=0,故x＞sinx。由于3α-2sinβ=9β-α,可得3α+α=2sinβ+9β=2sinβ+32β＜2β+32β。同構(gòu)函數(shù)g(x)=3x+x,則知g(α)＜g(2β),結(jié)合指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的基本性質(zhì),易得函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,所以α＜2β。

故選擇答案:A。

點評:含有一定條件(等式或不等式)的大小關(guān)系的比較問題,日漸成為新高考數(shù)學(xué)考試命題的一個熱點。而多變量往往是這類問題中處理的一個難點,解決的途徑通常是首先分離變量,結(jié)合表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征,合理同構(gòu)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助函數(shù)的單調(diào)性與最值等相關(guān)問題來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

三、代數(shù)式子的求值

在一些代數(shù)式子的求值等相關(guān)問題中,經(jīng)常借助同構(gòu)函數(shù),結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系,得以轉(zhuǎn)化與變形對應(yīng)的變量關(guān)系,得以構(gòu)建相關(guān)的代數(shù)式子及對應(yīng)的求值問題。

例3(2023 年江蘇省南京師大附屬揚子中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷)已知實數(shù)a,b∈(0,2),且滿足a2-b2-4=-2a-4b,那么a+b的值為____。

分析：根據(jù)題意,通過對方程進(jìn)行合理的變形與配湊,使得等號兩邊具備同型的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)而合理同構(gòu)函數(shù),利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)確定相應(yīng)同構(gòu)函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性確定相關(guān)的變量相等,進(jìn)而得以解決相關(guān)的代數(shù)式子的求值與應(yīng)用問題。

解：由于a2-b2-4=-2a-4b,變形化簡為a2+2a=22-b+(b-2)2,配湊可得a2+2a=(2-b)2+22-b,同構(gòu)函數(shù)f(x)=x2+2x,結(jié)合冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),可知函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增。因為a,b∈(0,2),所以2-b∈(0,2),且f(a)=f(2-b),所以a=2-b,即a+b=2。

故填答案:2。

點評:在解決一些涉及指數(shù)、對數(shù)或冪函數(shù)等綜合應(yīng)用問題時,經(jīng)常借助等式或不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,合理同構(gòu)函數(shù),借助基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,在解決一些代數(shù)式之間的參數(shù)關(guān)系、代數(shù)式的求值,以及大小關(guān)系的判斷等方面,都可以達(dá)到巧妙切入與快速破解的目的。

四、參數(shù)范圍的求解

在一些涉及參數(shù)的取值范圍的求解等相關(guān)問題中,經(jīng)常借助同構(gòu)函數(shù),使得含參的不等式加以巧妙變形與轉(zhuǎn)化,利用分離參數(shù)及相關(guān)的技巧方法來進(jìn)一步處理并解決對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍問題。

例4若存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx＜alna成立,則實數(shù)a的取值范圍為_____。

分析：依據(jù)題設(shè)中不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,合理配湊不等式,使得不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征相似,進(jìn)而尋找同型,同構(gòu)函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性的判定與性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,結(jié)合參數(shù)的分離,以及函數(shù)的單調(diào)性與最值的確定,得以巧妙求解參數(shù)的取值范圍問題。

解：依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx＜alna成立,即ex＜alnx+alna=aln(ax)成立,亦即xex＜ax·ln(ax)=ln(ax)eln(ax)成立。

同構(gòu)函數(shù)f(x)=xex,x∈(0,+∞),求導(dǎo)得f'(x)=(x+1)ex＞0 恒成立,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以只需當(dāng)x∈(0,+∞)時,有x＜ln(ax)成立,即ex＜ax成立,亦即成立。

令函數(shù)g(x)=,x∈(0,+∞),求導(dǎo)得g'(x)=。

令g'(x)=0,解得x=1。

所以當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)＜0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g'(x)＞0。

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=e,所以實數(shù)a的取值范圍為(e,+∞)。

故填答案:(e,+∞)。

點評:利用同構(gòu)函數(shù)思維來巧妙轉(zhuǎn)化含參不等式的恒成立問題,關(guān)鍵在于合理恒等變形,尋找共性,巧妙同構(gòu),將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,借助函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

在破解一些涉及函數(shù)或方程、代數(shù)式、不等式等問題時,創(chuàng)新數(shù)學(xué)意識,開拓數(shù)學(xué)思維,結(jié)合題設(shè)條件中的關(guān)系式或不等式的結(jié)構(gòu)特征,借助慧眼識別、尋找、挖掘其中的同型或共性,合理同構(gòu)函數(shù),利用函數(shù)共性,巧妙轉(zhuǎn)化問題,借助函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、周期性、奇偶性等)來轉(zhuǎn)化與解決,將一些比較復(fù)雜的相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為基本的函數(shù)問題來處理,不斷增強創(chuàng)新意識、同構(gòu)意識與創(chuàng)新應(yīng)用,融合知識交匯,形成數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。