從意識到應用

夏菲

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，小學階段要著重培養(yǎng)學生的模型意識，使學生對數(shù)學模型有初步的感悟。數(shù)學模型是指用數(shù)學語言或者數(shù)學符號，表示生活中與數(shù)學相關的事物的過程，其精確度、形象性、具體性都比較高，應用簡單便捷，存在于數(shù)學的各個領域之中。從廣義上講，數(shù)學這門學科本身就是模型，數(shù)學中的各種公式和定理都可以看作是數(shù)學模型。小學數(shù)學課程中數(shù)的概念、關系、運算，圖形，數(shù)據等，都源于現(xiàn)實生活，是對現(xiàn)實模型數(shù)學化的結果，而當這些數(shù)學對象被用于解決現(xiàn)實世界的問題時，又需要借助具體的模型表示實際意義。隨著教育理念的不斷創(chuàng)新，小學數(shù)學教學越來越重視學生建模意識與能力的培養(yǎng)，教師在教學中要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學模型思想，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，引導學生利用數(shù)學建模解決實際問題，幫助學生建立數(shù)學與現(xiàn)實世界的雙向聯(lián)系，讓學生形成初步的模型意識，在數(shù)學學習的過程中學有所依、學有所用。

一、當前小學數(shù)學教學中存在的問題

現(xiàn)階段，部分小學數(shù)學教師在實際教學過程中，存在以下三個方面的問題，影響了學生模型建構能力的培養(yǎng)。

一是偏重課堂解題，忽視建模思想的滲透。部分教師只注重講解題目本身，很少培養(yǎng)學生的解題思維。部分小學生在解決問題時存在一些不足，即便掌握了某一類題型的解題方法，但下次遇到類似問題時依舊會陷入迷茫，甚至會把它當成一種新的題型繼續(xù)研究。究其原因是教師未幫助學生建構明確針對某類題型的數(shù)學模型，使得學生缺乏建模思想。

二是偏重形式化的結論，忽視學生在學習過程中的體驗。部分教師在教學過程中看似讓學生自主探究，實際上持有一種“強加式”的學習思維。學生最終獲得的知識以教師要求記憶的內容為主，并非來自學生的個人思考和建模推導，數(shù)學建模趨于形式化的現(xiàn)象比較突出。

三是偏重數(shù)學建模擬態(tài)，忽視學生在實際生活中的體驗。部分教師在教學數(shù)學知識時，會選用生活中的事物作為教學案例，但未能充分考慮學生的實際情況，忽視了學生在實際生活中的體驗，使得學生無法真正將建模思想與數(shù)學知識的實際應用結合起來。

二、小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生模型建構能力的策略

新課標將模型思想區(qū)分為“模型意識”與“模型觀念”兩個部分，將數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)確定為“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表現(xiàn)世界”，并指出模型思想的構建步驟為“問題情境—建立模型—求解驗證”。學生模型建構能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，必須經歷從意識到應用這樣一個完整的過程。因此，如何有效引導學生掌握建模的方法，提高學生的模型建構能力，是小學數(shù)學教師亟須研究、實踐和解決的問題。

（一）問題引導，培養(yǎng)建模意識

有學者認為，在講解數(shù)學知識時，唯一正確的、有效的方法就是讓學生自主再創(chuàng)造。換言之，學生要想獲得數(shù)學知識，就需要不斷探索?；诖?，在教學實踐中，教師可以不斷拋出問題，引發(fā)學生的自主思考與主動探索。

以人教版小學數(shù)學六年級上冊第三單元“分數(shù)除法”相關內容的講解為例，根據教材內容，教師可以設計以下問題：“量杯里有升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人能喝多少升？”在提出問題后，教師應給學生一定的時間思考。此前，學生接觸到的都是整數(shù)除以整數(shù)，這是他們第一次接觸分數(shù)除法。當學生獨立探究后，他們會在腦海中形成各種解題思路。學生甲認為應讓分子4和分母5同時除以整數(shù)2；學生乙認為應讓分子4除以整數(shù)2，分母5則保持不變；學生丙認為應將化為小數(shù)0.8，再用0.8除以整數(shù)2；學生丁則認為可以用畫圖的方法解決；等等。那么，上述思路中哪一種是正確的呢？為了培養(yǎng)學生的建模意識，教師不應直接給出答案，而應繼續(xù)拋出問題，讓學生進一步思考和探索。教師可以對學生提問“究竟哪種思路是正確的呢？你們打算怎樣驗證？”，并指導學生用量杯量一量、分一分，對上述思路進行驗證，讓學生在實踐操作中得出正確結論，進而歸納出分數(shù)除以整數(shù)的模型，即分母不變，分子除以整數(shù)。

在探究過程中，從探究并表達解題思路到推翻自我的假設，再到產生新的思路，都是學生自主進行的，教師只是一個推動者。這個過程中的提出假設、探究驗證、解決問題等環(huán)節(jié)，能夠讓學生初步感知數(shù)學建模的基本過程，學會在現(xiàn)實生活或具體情境中將數(shù)學問題抽象化，運用數(shù)學模型解決實際問題，獲得更多的經驗積累，對培養(yǎng)學生的建模意識與模型建構能力有重要價值。

（二）實踐操作，經歷建模過程

數(shù)學模型一定是在實踐操作之后才得到的，對于學生而言，實踐操作是數(shù)學學習中極為重要的概念構建起點與基礎。在實踐操作的過程中，學生不僅需要具備完成具體的、實際的操作行為的能力，還需要具備觀察、思考、接受、對比、溝通、解決問題等抽象的數(shù)學能力。

以人教版小學數(shù)學五年級上冊第六單元的“平行四邊形的面積”這部分內容為例，學生可能會提出以下兩種平行四邊形面積的算法：一是將平行四邊形放置于透明方格紙上并描邊，然后通過數(shù)方格的方式計算平行四邊形的面積；二是用剪刀裁剪平行四邊形，將其拼成長方形再計算面積。在這個過程中，有的教師會直接通過課件演示裁剪的過程（見圖1中的圖示①和圖

示②），再讓學生計算平行四邊形面積，但這種方式無法讓學生獲得更深的感悟。因此，教師應該給學生動手操作的時間。并且，教師會發(fā)現(xiàn)每個學生裁剪的過程是不一樣的。學生會用不同的方式剪開平行四邊形兩邊的三角形（見圖1中的圖示③和圖示④），但無論怎樣裁剪，最終都能拼成一個長方形，并且長和寬都分別對應平行四邊形的底和高。由此可見，學生只有自己動手裁剪了，才能通過獨立思考、自主操作、小組討論、總結反思等，充分、深入地理解平行四邊形面積計算公式的推導過程。這樣的實踐操作能強化學生的數(shù)學思維，有助于提高學生的模型建構能力。

（三）邏輯嚴謹，完善建模結論

從狹義上講，數(shù)學建模是針對某種特定問題而建立數(shù)學模型的過程，這個過程往往是從普遍的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，再推導到特殊情況，從而使所建構的數(shù)學模型面對所有情況都成立。在具備初步的模型意識和實踐能力后，學生需要在教師的引導下，逐步形成嚴謹?shù)倪壿嬎季S，完善自己建立的模型。

以“畫一個長6厘米，寬4厘米的長方形，再把這個長方形的長和寬分別增加，算一算，新長方形的面積是原來的幾分之幾？”這道題為例，學生通過計算能得到新長方形的面積是原來的。此時，教師可以繼續(xù)對學生提問：“任意畫幾個長方形，把長和寬分別增加，再算一算新長方形的面積是原來的幾分之幾？”當學生再次算出時，便會有一個大膽的建模假設，即只要長方形的長和寬增加，新長方形的面積就是原來的。但這類題型的本質并不在此，而在于引導學生探究長方形長和寬擴大相同的倍數(shù)與面積之間的關系。因此，教師要追問：“如果長方形長和寬分別增加呢？新長方形的面積還會是原來的嗎？”此時，學生便會探究這些數(shù)據的關系，發(fā)現(xiàn)長方形面積與長、寬之間的關系。接著，教師可以讓學生思考“這個模型能歸納所有的長方形嗎？正方形呢？”這一問題，并讓學生了解模型思想必須具備從特殊到一般，再從一般到特殊這一特征，這才是真正完整、嚴謹?shù)慕＿^程。在這個過程中，教師要引導學生發(fā)現(xiàn)自身思維的不足，讓學生了解數(shù)學建模的內涵與本質，促使學生在思維的不斷碰撞和修正中，逐漸形成模型意識，培養(yǎng)模型應用能力，進而提高學生的數(shù)學能力，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（四）有效評價，尋求建模優(yōu)化

探究的目的是解決問題，但問題是否解決，離不開后續(xù)的有效評價和回顧總結。探究后的評價、反思、總結與回顧等環(huán)節(jié)，看似并非必要環(huán)節(jié)，實際在幫助學生總結經驗、優(yōu)化建模方法等方面有著不容忽視的作用。

例如，在教授人教版小學數(shù)學五年級上冊第五單元的“用字母表示數(shù)”相關內容時，教師可以讓學生解答課本上的一道例題（圖2）。學生在填寫表格后會發(fā)現(xiàn)，每增加一個三角形就需要增加2根小棒，如果用a表示增加的三角形個數(shù)，那么共用小棒的根數(shù)就是3+2a。這正是這節(jié)課需要學生發(fā)現(xiàn)的結論，從中會衍生出擺正方形、正五邊形、正六邊形等一系列題目。但筆者發(fā)現(xiàn)，部分學生往往分不清“第幾個圖形”和“增加幾個圖形”，具體問到“第5個三角形需要幾根小棒”時，部分學生可能會寫作3+2×5，這其實是錯誤的，a表示增加的三角形個數(shù)，這里的a應該是4。因此，當問到第n個圖形有幾根小棒時，學生應該寫3+2（n-1），化簡得到2n+1。這一模型也可以直接理解成除第一個三角形外，其余每個三角形都用到了2根小棒，二者雖然結果一樣，但后者在思維過程上卻更容易理解，這便是模型優(yōu)化的過程。學生在建模時往往會從容易理解的角度一步步推導出模型，此時，反思和評價就顯得尤為重要。此外，圓的面積公式、圓錐的側面積公式等，學生對這些公式的推導，都是在第一次建模之后根據結果反思、總結，繼而得到一個更為簡便的模型。

（五）融入生活，提倡建模應用

隨著教育改革的深入，當前的數(shù)學教學越來越強調數(shù)學知識的情境化和生活化。教師在培養(yǎng)學生的模型建構能力時，要結合生活實例完成教學知識的整合，讓學生在具體的數(shù)學知識應用中區(qū)分數(shù)學現(xiàn)象，明確數(shù)學結構、數(shù)學關系、數(shù)學定理、數(shù)學性質之間的統(tǒng)一性與辯證性。需要注意的是，在引導學生獲得全新的數(shù)學知識之后，教師需要留給學生足夠的時間，讓學生自主完成數(shù)學知識的驗證。在此過程中，教師需引導和啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)拓展性數(shù)學知識，進而自主地解決問題，不斷地強化自身的模型意識，提高模型建構能力。

以小學數(shù)學應用類題型中的“植樹問題”為例，在解“在一個周長為400米的圓形池塘的岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？”這一題時，教師可以基于真實的戶外環(huán)境進行教學實踐，帶領學生前往公園觀察相應的植樹場景。此外，教師還可以提出其他類似的應用問題，引導學生強化模型意識，讓學生掌握數(shù)學知識和現(xiàn)實生活的關系，以培養(yǎng)學生的模型建構能力，讓學生在實際操作中將數(shù)學知識應用于生活，進而提高學生解決問題的能力。

（作者單位：昆山市玉山鎮(zhèn)振華實驗小學）