學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的有效途徑研究

李敏杰

【摘 要】數(shù)學(xué)高階思維，主要是指在數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)中根據(jù)特定的、具體的目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生高水平的、復(fù)雜的思維。高階思維具有嚴(yán)謹(jǐn)性、概括性、批判性等特點(diǎn)，其在小學(xué)生的成長(zhǎng)與學(xué)習(xí)中具有至關(guān)重要的作用。本文首先對(duì)數(shù)學(xué)高階思維進(jìn)行了相關(guān)研究，在此基礎(chǔ)上對(duì)其培養(yǎng)的有效途徑進(jìn)行了一定的探究，以更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 高階思維 嚴(yán)謹(jǐn)思維 概括思維 批判思維

高階思維是相對(duì)低階思維而言的，它們刻畫了兒童思維水平的高低，而高階思維是兒童高水平的思維活動(dòng)。按照布盧姆的認(rèn)知目標(biāo)分類建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常將思維過(guò)程中的分析、綜合、評(píng)價(jià)統(tǒng)稱為高階思維。數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，重視學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)。教師在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展中不可缺少的重要組成部分。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的方式與方法進(jìn)行探究與實(shí)踐，已經(jīng)成了重要的研究領(lǐng)域。

一、數(shù)學(xué)高階思維的概述

高階思維這一概念的提出和使用主要基于一種學(xué)習(xí)理論。高階思維的主要提出者之一——布盧姆針對(duì)認(rèn)知視角下的教育問題進(jìn)行了深入的思考，他將教學(xué)領(lǐng)域中的主要目標(biāo)分為幾種不同的類別，其中包括記憶、理解、應(yīng)用、分析、綜合和評(píng)價(jià)，記憶、理解和應(yīng)用被界定為低階思維；分析、綜合和評(píng)價(jià)則被界定為高階思維，能夠在較高的層次上體現(xiàn)人們的認(rèn)知能力，并使問題的處理效果達(dá)到最佳。高階思維可以用來(lái)解決新的問題和特定領(lǐng)域的問題，且解決問題不能只尋求一種路徑和方式，要采取多樣化的思維，而高階思維恰恰可以滿足這個(gè)條件，能夠運(yùn)用多元方案將問題進(jìn)行合理處理，從而提升學(xué)習(xí)和工作的實(shí)際效率。在高階思維的作用下，人們解決問題通常是需要通過(guò)心智努力來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)檎麄€(gè)過(guò)程涉及對(duì)問題的理解、方法的調(diào)整和運(yùn)用、對(duì)問題的思考和解決等。

本文探討的內(nèi)容是小學(xué)階段的數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的主要途徑這一現(xiàn)實(shí)性問題，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)高階思維的幾個(gè)重要特征進(jìn)行分析，將其與小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科特征結(jié)合，以便提升學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維的有效途徑研究

（一）嚴(yán)謹(jǐn)性思維：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“直覺”轉(zhuǎn)向“說(shuō)理”

通常來(lái)說(shuō)，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指研究問題時(shí)要嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)則，做到概念清晰、判斷正確、推理有據(jù)。嚴(yán)謹(jǐn)性思維屬于布盧姆目標(biāo)體系中的“分析”層面，是一種高階思維形態(tài)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給予學(xué)生充分的獨(dú)立思考、合作交流和反思的時(shí)間，幫助學(xué)生從“直覺思維”向“說(shuō)理思維”過(guò)渡。

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”時(shí)，教師呈現(xiàn)了長(zhǎng)方形和平行四邊形的花壇各一個(gè)，并給出長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的數(shù)據(jù)以及平行四邊形相鄰兩邊和其中一條高的數(shù)據(jù)。教師拋出核心問題：“長(zhǎng)方形花壇和平行四邊形花壇相比，哪個(gè)面積更大？”學(xué)生獨(dú)立思考后，交流想法。

生1：長(zhǎng)方形的面積公式是長(zhǎng)×寬，由此可求出面積為6×4=24平方米。平行四邊形有兩個(gè)尖角，種的花會(huì)少一點(diǎn)。我認(rèn)為長(zhǎng)方形面積大。

生2：因?yàn)殚L(zhǎng)方形面積是用乘法計(jì)算，我猜想平行四邊形的面積也是用乘法計(jì)算。

生3：我猜平行四邊形的面積公式是底×高，則它的面積為6×4=24平方米。

師：你們的猜想有一定道理，你們準(zhǔn)備怎樣驗(yàn)證呢？

生4：我用數(shù)格子的方法，有20個(gè)整格，8個(gè)半格，2個(gè)半格算一個(gè)整格，面積是20+8÷2=24（平方米）。

生5：我是沿著線剪開，把三角形平移到右邊，拼成了長(zhǎng)方形，所以面積就是6×4=24（平方米）。

生6：我把平行四邊形剪成了2個(gè)梯形，把左邊的梯形平移到右邊，也變成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：這兩位同學(xué)都是沿著平行四邊形的什么剪開，平移后拼成長(zhǎng)方形的？

生7：都是沿著高剪開的。

師：先觀察，再思考轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形和原來(lái)的平行四邊形有什么聯(lián)系。在小組內(nèi)交流你的想法。

生8：長(zhǎng)方形是平行四邊形剪拼轉(zhuǎn)化得到的，它們的面積相等，平行四邊形的底等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的寬等于平行四邊形的高，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：是呀，通過(guò)把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，得到了平行四邊形的面積=底×高?；仡櫶骄康倪^(guò)程，你們有什么體會(huì)？

生9：知識(shí)之間是有聯(lián)系的，我們可以把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)進(jìn)行研究學(xué)習(xí)。

生10：在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，可以勾連與之相關(guān)的舊知，通過(guò)先觀察、猜想，再操作、驗(yàn)證的方法探究新知識(shí)。

學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，多數(shù)都不是零起點(diǎn)的。不管他們對(duì)新知的直覺是對(duì)是錯(cuò)，教師都不要提前干預(yù)，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中扮演好組織者和引導(dǎo)者的作用，讓他們自己去探究，在說(shuō)理的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)逐步明晰對(duì)錯(cuò)。學(xué)生一如既往地用說(shuō)理的方式闡述數(shù)學(xué)問題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，他們的思維就會(huì)不斷走向嚴(yán)謹(jǐn)。

（二）概括性思維：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“表象”轉(zhuǎn)向“本質(zhì)”

概括性思維指對(duì)知識(shí)體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)的概括，從一類題中概括出數(shù)學(xué)思想方法。概括有歸納、提煉和抽象的意思，概括性思維屬于布盧姆目標(biāo)體系中的“綜合”層面，也是一種高階思維形態(tài)。數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和概念的習(xí)得顯然離不開概括性思維。學(xué)生在概括的過(guò)程中，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)從“表象”轉(zhuǎn)向“本質(zhì)”。

例如，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)教材中題目時(shí)的交流分析。

先計(jì)算，再觀察每組中的得數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）1—2－1—3=? ? ? ? ? ? ? 1—2×1—3=

（2）1—3－1—4=? ? ? ? ? ? ? ? ? 1—3×1—4=

（3）1—4－1—5=? ? ? ? ? ? ? ? ? 1—4×1—5=

生1：通過(guò)計(jì)算，我發(fā)現(xiàn)第一組的答案都是1—6，第二組的答案都是1—12，第三組的答案都是1—20。

生2：我發(fā)現(xiàn)這些分?jǐn)?shù)的分子都是1。

生3：我還發(fā)現(xiàn)了每組中2個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相差1。

師：你們能把剛才三位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)概括成一句話嗎？

生4：分母是相鄰的非零自然數(shù)，且分子都是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，它們的差等于它們的積。

師：是不是所有的這樣的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減都符合這句話的規(guī)律呢？你有什么辦法驗(yàn)證？

生5：再舉幾個(gè)例子，只要這些例子都符合，那么說(shuō)明結(jié)論是正確的。

師：可是例子是舉不完的，說(shuō)不定會(huì)有不符合的例子，只是沒有發(fā)現(xiàn)而已。

生6：可以用字母來(lái)表示這里的分母，這樣就有一般性了。

生6：在1— n－1 —（n+1）這個(gè)算式中，1— n的分子和分母同時(shí)乘n+1，分?jǐn)?shù)值不變，變成（n+1）— n（n+1）；1 —（n+1）的分子和分母同時(shí)乘n，分?jǐn)?shù)值也不變，變成n — n（n+1）。同分母分?jǐn)?shù)相減，算出差是1— n（n+1），也就是1— n×1 —（n+1）。

師：用字母表示分母這兩個(gè)非零自然數(shù)的方法非常巧妙，并驗(yàn)證了結(jié)論是正確的，真了不起！

當(dāng)學(xué)生具有較好的概括性思維能力時(shí)，由原來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而讓知識(shí)的本質(zhì)屬性暴露出來(lái)。理解了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能走向深入，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。

（三）批判性思維：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“定勢(shì)”走向“開放”

批判性思維是一種基于充分的理性和客觀事實(shí)而進(jìn)行理論評(píng)估與客觀評(píng)價(jià)的思維方式。批判不是意味著否定，它更多地表現(xiàn)為對(duì)問題的進(jìn)一步思考和分析，是對(duì)他人想法的補(bǔ)充和提升。批判性思維屬于布盧姆認(rèn)知目標(biāo)體系中的“評(píng)價(jià)”層面，也是一種高階思維形態(tài)。具有批判性思維的人，會(huì)審視問題的本質(zhì)，質(zhì)疑和補(bǔ)充不完整的想法，反思自己的想法，從而讓數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)從“定勢(shì)”轉(zhuǎn)向“開放”。

例如，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)教材中題目時(shí)的交流分析。

用分?jǐn)?shù)表示圖（圖1）中的涂色部分。

生1：把涂色的正方形旋轉(zhuǎn)一點(diǎn)，使它“正過(guò)來(lái)”，這樣就正好是9格。所以涂色部分占9—16。

生2：正方形的邊長(zhǎng)要比3格多一些，轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)后并不能得到3×3的正方形，而是比這個(gè)大。

生3：從涂色正方形中割下2個(gè)三角形，把左上角和右下角的2個(gè)直角三角形空白處補(bǔ)上（圖2），我發(fā)現(xiàn)正好是10格。所以涂色部分占10—16 =? 5—8 。

生4：割補(bǔ)法解答這道題很實(shí)用。

生5：我發(fā)現(xiàn)了在原來(lái)算成9格的基礎(chǔ)上加上1格就是正確答案了。

師：你們提出了一個(gè)很好的猜想，這種猜想具有普適性嗎？小組合作，再畫幾個(gè)這樣的圖形，試試看。

生6：我畫了5×5的方格（圖3），用割補(bǔ)法發(fā)現(xiàn)它的陰影部分是17格（圖4）。如果按照猜想，轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)的錯(cuò)誤答案是4×4=16，再用16+1=17，和正確的格數(shù)是一樣的。

生7：我也試了，這個(gè)猜想的確是正確的，好神奇啊！

師：你們能用算式把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來(lái)嗎？如果正方形的邊長(zhǎng)是n，涂色部分的面積是多少呢？

生8：我觀察了圖，發(fā)現(xiàn)割補(bǔ)后，涂色部分都是左下角一個(gè)正方形再加1格。左下角正方形的邊長(zhǎng)正好比大正方形的邊長(zhǎng)少1，所以斜著的正方形面積可以表示為（n-1）2+1。

師：你們的發(fā)現(xiàn)真了不起，原來(lái)數(shù)學(xué)中藏著這么多有趣的奧秘！

批判是一種反思，既是反思別人的行為，也是自省的行為。教師在教學(xué)中，要善于抓住學(xué)生的爭(zhēng)辯處，給予學(xué)生充分的時(shí)間展開深入討論、質(zhì)疑和反思，當(dāng)學(xué)生成為真正的“學(xué)習(xí)者”時(shí)，課堂定會(huì)綻放精彩！

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生高階思維的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間的、系統(tǒng)的過(guò)程，需要教師結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行不斷的探索。在信息技術(shù)快速發(fā)展的今天，知識(shí)的傳播速度不斷加快，教師不僅要教知識(shí)，更要教學(xué)生自主思考，后者更能體現(xiàn)出教育的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教師要充分發(fā)揮學(xué)科優(yōu)勢(shì)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)創(chuàng)造條件，不斷培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

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