“順推”與“逆推”相結(jié)合的數(shù)學(xué)教學(xué)方式探究

高永超 毛艷艷

摘要： 學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)Q于學(xué)生解決問題的能力，而提高解決問題的能力，最重要的是學(xué)會思考。學(xué)生在思考的過程中，可以將新的知識技能納入舊知識體系，從而拓展舊知。教師幫助學(xué)生通過數(shù)學(xué)核心概念“順推”與“逆推”結(jié)合的思考方式搭建“鵲橋”，找到解題的突破口，如果學(xué)生以此來發(fā)展思維習(xí)慣，不僅能靈活利用數(shù)學(xué)問題中的已知條件，還能明確最終目標(biāo)，從而大大縮短從已知到達(dá)未知的過程。假以時日，學(xué)生的良好思維品質(zhì)必然能養(yǎng)成，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)也一定可以提升。

關(guān)鍵詞： 解題能力 ?順推分析 ?逆推分析 ?數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有進(jìn)階性，低年級段應(yīng)偏重于具體，側(cè)重于意識方面，促使學(xué)生形成符號意識、數(shù)感、量感。高年級段應(yīng)偏重于抽象，側(cè)重于能力方面，即希望學(xué)生形成抽象意識。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題一般比較直白，可根據(jù)已知條件直接解決問題，我們把這種探求問題的常規(guī)方法稱為順向推理，簡稱順推。而到了初中，數(shù)學(xué)問題逐漸復(fù)雜，有時單純依靠順推并不能輕易解決。此時我們可以嘗試逆向推理，即與常規(guī)方法反向的推理方式，簡稱逆推。為了更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，我們往往采用順推和逆推相結(jié)合的方式來解決數(shù)學(xué)問題。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

回顧多年教育教學(xué)工作，我們發(fā)現(xiàn)在學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”兩個方面都存在以下一些問題：

一是有部分學(xué)生課上認(rèn)真聽講，課中細(xì)致做筆記，課后按時完成作業(yè)，但考不好。對于教師講的一些題目，他也能聽懂，但稍做變動就不會了，遇到稍有點難度的題，更是無從下手。

很多教師把這一類學(xué)生總結(jié)為“不會學(xué)”。但我們認(rèn)為這部分學(xué)生并不是不會學(xué)，而是不會思考，沒掌握正確的思考方法。一旦他們掌握了正確的思考方法，他們的解題水平、數(shù)學(xué)能力必定能有很大提高。

二是有些教師的解題教學(xué)方式不妥。有時候教師沒有從學(xué)生思維的起點分析問題，也很少分析“為什么我會這樣解答”“是什么原因讓我這樣思考”，導(dǎo)致沒有講清楚思路的來源與發(fā)展的過程。比如，要作輔助線的問題，當(dāng)學(xué)生問到“為什么這樣作輔助線”時，教師的回答常常是“這是一種直覺，題做多了就會了”?？梢?，有些學(xué)生不會思考，和教師的教學(xué)方式也有一定關(guān)系。

那么，如何解決上述問題呢？

二、“順推”與“逆推”相結(jié)合的思考步驟

近幾年，我們針對上述兩個問題進(jìn)行了大量的實踐研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)只有教師和學(xué)生都掌握了正確、高效的思考方法（模式），才能快速找準(zhǔn)數(shù)學(xué)問題的突破口，從而更高效地解決數(shù)學(xué)問題。

在解題時，一般的思考模式是：讀題→了解題目給了我們哪些有用條件→深入分析給定的條件和問題之間的關(guān)聯(lián)→擬定解題計劃。這種思考模式一般被稱為順推，相當(dāng)于從起點到終點；另外，與此相對的是逆向思考模式，即從終點回起點，先從問題入手，通過假定問題已經(jīng)被解決來分析到底需要哪些條件。

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題的探究和教學(xué)不是單一的思維模式，“順推”與“逆推”結(jié)合的思考方式更為常見，這樣能縮短已知和未知之間的距離，讓知識實現(xiàn)多向的遷移，從而鍛煉了學(xué)生的發(fā)散性思維，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“順推”和“逆推”結(jié)合的思考方式大體上有三個步驟：

（1）從已知條件往后推，看每一個已知能得到什么中間結(jié)論，把不同的已知（有時需要與中間結(jié)論）組合起來思考，看又能得到什么小結(jié)論。

（2）從所求（未知結(jié)論或問題）往前推，看要解決這個問題需要什么條件，有時是把所求進(jìn)行等價 轉(zhuǎn)化 。

（3）在（1）中的中間結(jié)論和（2）中所需條件（或等價轉(zhuǎn)化后的問題）之間找到契合點，建立聯(lián)系，實現(xiàn)解題的突破。

對于復(fù)雜問題，有時需要重復(fù)（1）（2）（3）才能有所進(jìn)展。在某些代數(shù)題中，（1）和（2）可以交換順序。這個過程可以有一個浪漫的比喻，有點像牛郎織女的“鵲橋相會”，已知條件好比是“牛郎”，所求（未知結(jié)論或問題）則是“織女”，尋找解題思路的過程就相當(dāng)于為牛郎織女搭建“鵲橋”的過程，“鵲橋”建好了，題就能解出來。而“順推”和“逆推”結(jié)合的思考方式在搭建已知和未知的“鵲橋”時具有獨特的優(yōu)勢與 魅力 。

三、“順推”與“逆推”相結(jié)合的思考方式的例題研究

例1：如圖1，在平行四邊形 ABCD中，CG⊥AB于點G，∠ABF=45°，F(xiàn)在CD上，BF交CG于點E，連接AE，AE⊥AD。求證：CE+ 2 BE=AB。

按照“順推”和“逆推”結(jié)合的思考方式有如下 分析 ：

（1）順推分析：由ABCD是平行四邊形，CG⊥AB，∠ABF=45 ° 可以得到△BEG和△FCE都為等腰直角三角形，那么BG=EG，CE=CF;由AE⊥AD得到AE⊥BC。

（2）逆推分析：CE+ 2 BE=AB，有些相似兩條線段的和（差）等于第三條線段的形式，經(jīng)常用的解決方法是截長補(bǔ)短，如何對BE進(jìn)行轉(zhuǎn)化則是本題的難點，那么它不同的轉(zhuǎn)化方式也就自然產(chǎn)生了不同的解題方案。

2 BE可以有兩種轉(zhuǎn)化方式：

①根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系， 2 BE=BG+EG，于是所證結(jié)論可以等價轉(zhuǎn)化為CE+BG+EG=AB，即CG+BG=AB，即只需證CG=AG。

②構(gòu)造以BE為直角邊的等腰直角三角形， ?2 BE 就是斜邊的長。

（3）找到（1）中的中間結(jié)論與（2）中轉(zhuǎn)化后的問題之間的關(guān)系，完成解題，具體方法如下：

根據(jù)（2）①的分析，可延長AE交BC于H（如圖1 1），可得∠1=∠2，易證△BGC≌△EGA，于 是CG=AG，已知與未知完美結(jié)合，進(jìn)一步即得CE+ 2 BE=AB。

根據(jù)（2）②的分析，過E作EH⊥BE交AB于H（如圖 1 2 ），知△BEH是等腰直角三角形，則 ?2 BE =BH，于是只需證CE=AH，即證△BEC≌△EHA即可。

或過B作BH⊥BE交CG的延長線于H（如圖 1 3 ），則 2 BE=EH，于是只需證CH=AB，即證△BCH≌△EAB即可。

以上三種方法都是“順推”與“逆推”結(jié)合的思考方式的很好例子，有“順推”才能發(fā)揮已知條件的作用，有“逆推”才能知道目標(biāo)在哪，問題的本質(zhì)是什么，已知條件怎么樣才能更好地使用。尤其在“逆推”時，不同的轉(zhuǎn)化方法起到了一題多解的效果，對開拓學(xué)生的思維大有裨益。

順推與逆推結(jié)合的思考方式不僅適用于幾何問題，在一些代數(shù)問題中也十分實用。

例2：a、b、c、均為實數(shù)，且a

此題可以采用零點分段法對x的取值分類討論，分別去掉絕對值符號，最后比較各段的值，再取最小值;也可以分段之后畫出函數(shù)圖像，取最低點的函數(shù)值，但這些方法都必須經(jīng)歷復(fù)雜的去絕對值符號的過程，有沒有更簡單的方法呢？

由于此題已知條件比較簡單，順推分析有點漫無目的，我們可先做逆推分析，則會發(fā)現(xiàn)|x-a|表示數(shù)軸上x點到a點之間的距離，|x-a|+|x-b| + |x-c| 就表明x點到點a、b、c的距離和，逆推與順推完美結(jié)合，可畫出下圖2：

分析可知，這 三條線段在沒有重疊部分時和最 小，此時x=b，最小和為a、c之間的距離，即|a-c|= ?c-a。

這種方法還能推廣到有n個點的情況?？梢姡瑢λ髥栴}進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化是多么重要，恰到好處的逆推分析大大地簡化了解題過程。學(xué)生在這個過程中也會體驗到解題的樂趣，繼而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 信心 。

再看一道代數(shù)求值題。

例3：已知a= 3 + 2 ，b= 3 - 2 ，求 b a + a b 的值。

這道題直接代入當(dāng)然可以求解，但是這顯然不是最好的方法。已知條件比較簡單，“順推”需結(jié)合 “逆推”才能進(jìn)行，于是，先逆推分析對所求 變形， b a + a b = ?a ??2 + b ??2 ?ab ，此時如果代入數(shù)據(jù)也可以，但仍然不是最好的方法。接下來，我們結(jié)合已知，進(jìn)一步變形： b a + a b = ?a ??2 + b ??2 ?ab = ?（a+b） ??2 -2ab ab ，此時可以“順推”計算a+b=2 3 ，ab=1，再代入上式求值則非常 簡單 。

誠然，不是所有題都需要（或都適合）用“順推”與“逆推”結(jié)合的思考方式，有的題直接用“順推”或“逆推”就能解答，但掌握“順推”與“逆推”結(jié)合的思考方式無疑是有益的。

從上述三個問題的論證中，我們可以認(rèn)識到，如果學(xué)生能夠通過“順推”與“逆推”相結(jié)合來發(fā)展思維習(xí)慣，不僅會知道在解決數(shù)學(xué) 問題時對已知條件的使用，還能知道最終目標(biāo)在哪，縮短了從已知到達(dá)未知的過程，而且往往會有一題多解的收獲，既能開拓思維，還能培養(yǎng)興趣，有利于數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

四、順推與逆推結(jié)合的思考方式培養(yǎng)策略

學(xué)生的思維習(xí)慣受到學(xué)生自身特點、成長環(huán)境、家長思維方式、教師教育程度等諸多因素的影響。教師在教學(xué)中可以采用以下幾種策略。

第一，教師要有“順推”與“逆推”結(jié)合的思考方式。解題教學(xué)中要讓學(xué)生體會這種思維方式的魅力，感受由此帶來的解題成功的喜悅與樂趣。教師在指導(dǎo)學(xué)生解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時，要嘗試引導(dǎo)學(xué)生用“順推”和“逆推”的思考方式去發(fā)現(xiàn)已知條件和所求問題之間的聯(lián)系，教會學(xué)生主動用多種方法去嘗試解決問題，讓學(xué)生逐漸擁有“化繁為簡”的能力，深刻感受到數(shù)學(xué)的魅力，從而逐步具備探究和解決問題的能力。

第二，學(xué)生要有自主思考的意識。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中，如果發(fā)現(xiàn)單純的“順推”或“逆推”不能更快更好地解決問題時，就應(yīng)該采用“順推”與“逆推”相結(jié)的方式合來思考問題。

第三，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成回顧的好習(xí)慣。波利亞《怎樣解題》里總結(jié)解題的四步驟中的第四步就是回顧?；仡櫦仁菣z查是否有錯誤，又是能對解題過程進(jìn)行優(yōu)化。要讓學(xué)生通過回顧體會思路是如何產(chǎn)生的，是哪個已知條件起到了突破性的作用，以后遇到這種條件時是不是還可以這樣用，這種解題方法以前在哪道題里見過，能不能推廣到這一類題，等等。

學(xué)生的數(shù)學(xué)成績較大原因取決于學(xué)生解決問題的能力，而提高解決問題的能力，最重要的是要學(xué)會思考?！绊樛啤迸c“逆推”結(jié)合的思考方式是尋找解題突破口的有力工具。學(xué)生如果能夠養(yǎng)成這一思維習(xí)慣，不僅能靈活利用數(shù)學(xué)問題中的已知條件，思維品質(zhì)必然能得到升華，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)也一定可以得到提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊彬.中學(xué)數(shù)學(xué)解題時的逆向思考方式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（3）：63 65.

[2]張姚亦.平面幾何中的逆推法及其教學(xué)實踐研究[D].長沙：湖南師范大學(xué)，2015.

[3]秦雄偉.逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].重慶：西南大學(xué)，2020.

[4]王會兵.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討[J].考試周刊，2021（57）：85 86.

責(zé)任編輯：黃大燦