2022年新高考Ⅰ卷第21題解法探究及教學(xué)啟示

鄧入文 羅毅

[摘? 要] 文章探究2022年新高考Ⅰ卷第21題的四種解法，挖掘題目的知識背景，剖析高考熱點(diǎn)，探索解法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，尋求其對解析幾何教學(xué)以及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的價值.

[關(guān)鍵詞] 新高考;解法探究;教學(xué)啟示

教學(xué)啟示

以上是筆者獨(dú)立探究、合作交流得到的四種解法，供廣大讀者參考. 然而，筆者認(rèn)為僅僅獲得一個高考題目的多種解法是不夠的，更應(yīng)通過解題方法探究題目對高考備考、課堂教學(xué)甚至對學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的意義和價值. 所以，筆者通過對上文四種解法的再研究，結(jié)合新課標(biāo)的要求以及新高考試題的特點(diǎn)，得到如下啟示.

1. 解析幾何的試題研究要關(guān)注知識背景、把握高考熱點(diǎn)

解析幾何中的很多問題本身具有深刻的幾何背景，在方程的處理過程中，又產(chǎn)生了具有多元多項(xiàng)式體系背景的方程形態(tài).

在本題中，點(diǎn)A，P，Q均在雙曲線上，△PAQ是雙曲線C的內(nèi)接三角形，其兩邊AP，AQ所在直線的斜率之和為定值0，得到另一條邊PQ所在直線的斜率為定值-1. 這一結(jié)論源于圓錐曲線的一個性質(zhì)：

過圓錐曲線上一定點(diǎn)P任作兩條動弦PA，PB. 當(dāng)這兩弦的斜率之積、斜率之和或者傾斜角之和三者中有一個為定值時，動弦AB所在直線過定點(diǎn)或有定向[1].

2020年新高考Ⅰ卷第22題，2021年普通高校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（即八省聯(lián)考）第7題，分別以橢圓和拋物線為載體對上述結(jié)論進(jìn)行了考查.

在本題第（1）問的解法三中，可以看到了一個方程=·，它體現(xiàn)的又是一個性質(zhì)：

在雙曲線E的內(nèi)接△ABC中，若直線AB與AC的斜率之和為0，則E在點(diǎn)A處的切線斜率與直線BC斜率之和也為0[2].

可見，高考命題人對圓錐曲線試題的命制，往往會以圓錐曲線的某些研究結(jié)論為基礎(chǔ)，借助不同的圖形為載體來實(shí)施. 因此，在教學(xué)中，特別是在復(fù)習(xí)備考的教學(xué)中，教師不僅要研究高考試題的解法，更應(yīng)把握高考命題的熱點(diǎn)和趨勢，挖掘試題的知識背景，抓住問題的“根”.

2. 解析幾何的思維引領(lǐng)要滲透學(xué)科思想、發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)

在解決解析幾何問題的基本過程中，重要環(huán)節(jié)是“用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題;根據(jù)對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路;運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題”[3]. 函數(shù)與方程方法是解決解析幾何問題的基本代數(shù)工具，函數(shù)與方程思想是基本的數(shù)學(xué)思想，其中函數(shù)思想是“利用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析具體問題中變量間的關(guān)系，并通過函數(shù)的形式表示出來，加以研究，從而使問題獲解”[4]的數(shù)學(xué)思想，方程思想是“從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程，然后通過研究方程使問題獲解”[4]的數(shù)學(xué)思想.

在前面的解法探究中，第（1）問的解法二就蘊(yùn)含了函數(shù)思想：建立直線PQ的斜率與直線AP的斜率的函數(shù)關(guān)系，通過對其表達(dá)式的運(yùn)算探究，得到直線PQ的斜率為定值-1. 第（2）問的解法二則蘊(yùn)含了方程思想：當(dāng)tan∠PAQ=2時，△PAQ的形狀和大小唯一確定（這里還蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想），要探求△PAQ的面積，只需將tan∠PAQ=2轉(zhuǎn)化為與△PAQ面積相關(guān)的條件即可. 解法一中的P，Q的坐標(biāo)，解法二中的直線AP的斜率，解法四中的參數(shù)λ和m，其實(shí)都是所建立的方程中的變量，求解這些變量的值，是求解△PAQ面積的最關(guān)鍵的環(huán)節(jié).

可以看到，邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算兩個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在解析幾何問題的求解過程中發(fā)揮著顯著作用. 邏輯推理體現(xiàn)在：需要在問題設(shè)問情境中捕捉圖形的“動”與“靜”，從而建構(gòu)函數(shù)或方程，將幾何信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá). 數(shù)學(xué)運(yùn)算作為演繹推理的一種形式，其貫穿解題始終. 所以解析幾何問題是發(fā)展學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的有效土壤.

3. 解析幾何的解法指導(dǎo)要遵循通性通法，適度形成技巧

通性通法是在學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向下產(chǎn)生的、在學(xué)科思想引領(lǐng)下的解決問題的一般方法. 通過作圖，直觀感知圖形情境中的“動態(tài)”與“靜態(tài)”，“變化”與“不變”;通過建構(gòu)變量與變量之間的關(guān)系，形成函數(shù);通過建構(gòu)方程獲解，實(shí)現(xiàn)求值，都是求解解析幾何問題的一般方法. 強(qiáng)化通性通法，有利于學(xué)生形成底層思維、夯實(shí)思維基礎(chǔ)，有利于學(xué)生尋找解決問題的入門口，層層遞進(jìn)，推動問題的解決.解法一和解法二都是基于通性通法的解題路徑.

然而，通性通法解題也有其弊端，在綜合問題情境中，它可能產(chǎn)生較大的思維量和運(yùn)算量，降低解題效率. 所以，對于學(xué)有余力的學(xué)生，有必要適度培養(yǎng)其解決問題的技巧，這有利于學(xué)生解題能力的提升. 第（1）問的解法三采用結(jié)構(gòu)處理技巧，通過平移變換，削除方程中的常數(shù)項(xiàng)，簡化了方程，使問題易于獲解;解法四通過巧妙構(gòu)造曲線系方程和函數(shù)計算·，也顯著降低了運(yùn)算難度.

結(jié)語

高考對高中教學(xué)具有強(qiáng)烈的導(dǎo)向作用，研究高考試題是高中教師的基本工作之一. 不僅要研究高考試題的各種解法，還應(yīng)深入挖掘它的知識背景、考查方向、學(xué)科思想、學(xué)科素養(yǎng)等，從解法探索上升到考法研究、教法優(yōu)化以及學(xué)法指導(dǎo)，讓試題發(fā)揮其多維度的教育教學(xué)價值，真正發(fā)展學(xué)生的理性思維.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李昌. 圓錐曲線動弦的“保值性”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（03）：9.

[2] 羅毅，曾文軍. 仿射圓錐曲線中一對直線斜率積（商）不變性探究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（06）：87-88.

[3] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4] 教育部考試中心. 2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明·理科[M]. 北京：高等教育出版社，2018.