關(guān)注學(xué)生 助力成長

顧鵬程

[摘? 要] 關(guān)注學(xué)生及發(fā)展是高三復(fù)習(xí)教學(xué)的主旋律. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，善于通過“小而精”的練習(xí)幫助學(xué)生建構(gòu)完善的知識體系，避免機(jī)械重復(fù)造成枯燥乏味. 同時(shí)在教學(xué)中，要重視展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，從而通過親身體驗(yàn)來發(fā)展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的能力.

[關(guān)鍵詞] 關(guān)注學(xué)生;數(shù)學(xué)基礎(chǔ);思維能力

筆者在一次校內(nèi)公開課上，有幸聆聽了校內(nèi)優(yōu)秀教師關(guān)于“橢圓的方程”的復(fù)習(xí)教學(xué)，現(xiàn)呈現(xiàn)教學(xué)過程，并談幾點(diǎn)自己對高三復(fù)習(xí)教學(xué)的一些粗淺認(rèn)識，請同行給予批評和指正！

教學(xué)實(shí)錄

1. 課前展示，發(fā)現(xiàn)問題

師：橢圓是高考的重要考點(diǎn)，之前重點(diǎn)學(xué)習(xí)過，也做過大量的練習(xí)，今天我們再重新回顧一下這部分內(nèi)容.

師：現(xiàn)在我們一起來探究一下課前小測中的幾個(gè)問題. （教師用PPT展示題1）

題1：點(diǎn)B，C的坐標(biāo)為（3，0），（-3，0），點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之和為10，求點(diǎn)P的軌跡方程.

師：說一說你是如何求解的，遇到了哪些問題.

生1：我是用代數(shù)法求解的，設(shè)點(diǎn)P（x，y），依據(jù)題意得+=10，接下來移項(xiàng)、平方、化簡，但是越算越復(fù)雜，最終沒有求得答案.

生2：我也是用代數(shù)法求解的，通過兩次平方可以得到答案. 第一次平方后整理得=5+x，再次平方后整理得+=1. （很多人點(diǎn)頭贊同）

師：看來很多同學(xué)應(yīng)用的都是代數(shù)法，可見大家有著超強(qiáng)的計(jì)算能力. 不過，代數(shù)法雖然思路簡單，但是運(yùn)算過于復(fù)雜，你們是否還有其他的解決方案呢？

生3：我是利用橢圓的定義直接求解的，根據(jù)橢圓的定義并結(jié)合題設(shè)信息可知a=5，c=3，故橢圓的方程為+=1. （生3的解法給出后，其他學(xué)生恍然大悟）

師：太棒了，這樣利用橢圓的定義直接得出了答案，既節(jié)省了時(shí)間又有效避免了復(fù)雜運(yùn)算可能產(chǎn)生的錯(cuò)解.

師：誰來說一說橢圓的定義？（問題給出后，很多學(xué)生積極舉手，但教師選了一個(gè)未舉手的學(xué)生回答，該生準(zhǔn)確地說出了橢圓的定義）

師：看來大家對橢圓的定義了如指掌. 橢圓定義在解題時(shí)有著重要作用，大家不僅要熟背定義，而且還要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用. 現(xiàn)在思考一下，若將“點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之和為10”改為“點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之和為6”，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程是什么呢？

生4：同上面一樣，是橢圓，a=3，c=3. 噢，不對. （問題給出后，學(xué)生不假思索地套用原來的解法）

師：說一說剛剛錯(cuò)在哪里？

生4：我剛剛忽略了定值要大于兩點(diǎn)之間的距離.

師：大家再想一下，如果不用定義來求解，以上方程是否還有其他的化簡方法呢？（學(xué)生沉思）

師：確實(shí)有一定難度，之前我們常用的方法是“移項(xiàng)、平方”. 仔細(xì)觀察和這兩個(gè)無理式，你是否能用整體的方法來解決呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試從整體出發(fā)去思考問題，便于找到化簡的突破口）

生5：可令=m，=n，根據(jù)題意得m+n=10. 又m2-n2=12x，得m=5+x，n=5-x，即=5+x，這樣兩邊平方后化簡即可求出點(diǎn)P的軌跡方程.

師：很好，這樣只平方一次即可求解，減少了運(yùn)算量. 大家認(rèn)真觀察一下，“”表達(dá)的是什么含義呢？

生6：橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離.

師：m=a+x呢？

生7：哦，我知道了，這個(gè)就是焦半徑.

師：很好，大家還記得之前我們是如何得到焦半徑的嗎？

生齊聲答：利用橢圓的第二定義. （接下來教師又指定學(xué)生敘述橢圓的第二定義）

師：很好！對于題1大家還有什么問題嗎？（學(xué)生搖頭表示沒有問題后，教師開始引導(dǎo)學(xué)生探究下面的問題）

師：接下來我們看題2. （教師用PPT給出題2）

題2：已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的長軸長為6，短軸長為4，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：大家看一下，這樣求解對嗎？（教師展示解題過程）

由已知得a=3，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

生8：這樣求解不全面，根據(jù)已知我們知道橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，但是并未指定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上.若焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1;若焦點(diǎn)在y軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

師：很好，結(jié)合題2說一說求橢圓方程有幾步.

生9：我認(rèn)為有三步：①判斷橢圓焦點(diǎn)的位置;②求出a，b的值;③寫出橢圓方程.

師：說得很好，有些問題看似簡單，但可能存在陷阱，解題前應(yīng)仔細(xì)審題，明晰步驟，這樣才能做到“會(huì)而對”.

師：接下來我們再看一下題3. （教師繼續(xù)用PPT展示題3）

題3：若方程+=1表示橢圓，求m的取值范圍.

師：我是這樣解決題3的：m-2>0，

6-m>0，于是得m∈（2，6）.

生10：不對，忽略了條件“m-2≠6-m，即m≠4”. 如果m=4，它就不是橢圓了，而是圓x2+y2=2.

師：很好，如果把題3“變一變”，該方程是否可以轉(zhuǎn)化為雙曲線方程呢？

生11：若滿足（m-2）（6-m）<0，則此方程表示雙曲線.

師：很好，請?jiān)僭敿?xì)說一下.

生11：若m-2>0，

6-m<0，則它是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;若m-2<0，

6-m>0，則它是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.

師：很好. 圓錐曲線有很多相似或相關(guān)的知識點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)可以嘗試“變一變”，這樣不僅可以變成一個(gè)新的問題，還可以使知識點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系變得更加清晰.

師：我們看一下最后一個(gè)問題. （教師用PPT給出題4）

題4：設(shè)P為橢圓+=1上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為2，則點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)F的距離PF=______，點(diǎn)P到橢圓右焦點(diǎn)F的距離PF=______.

師：誰來簡單地展示一下求解過程？（教師鼓勵(lì)學(xué)生板演，以展示思維過程）

生12：根據(jù)已知可得a=5，b=3，c=4，故左焦點(diǎn)F（-4，0），右焦點(diǎn)F（4，0）. 設(shè)P（2，y），將其代入橢圓方程得y=×9. 根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得PF==，同理可得PF=.

師：這個(gè)就是最終答案了嗎？

生13：可以繼續(xù)化簡，得PF=，PF=.

師：很好，不過有必要兩個(gè)都這樣計(jì)算嗎？

生14：實(shí)際上只要算出一個(gè)就可以了，例如算出PF=，則PF=2a-PF=.

生15：還可以根據(jù)橢圓的第二定義來計(jì)算，橢圓的右準(zhǔn)線方程x=，設(shè)P到右準(zhǔn)線的距離為d，則=e，這樣易求得PF=. 算出PF后，根據(jù)橢圓的第一定義即可求出PF.

師：對于同一個(gè)問題，我們應(yīng)積極思考有沒有多種常規(guī)的方法來解決它. 這樣通過一題多解可以鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維，提升我們的解題能力.

師：大家再思考一下，在什么情況下可以應(yīng)用橢圓的定義來求解類似的問題？

當(dāng)求解完問題后，教師又引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，借助練習(xí)幫助學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識和基本技能，將橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等知識點(diǎn)巧妙地融入練習(xí)，有效地避免了簡單回顧所帶來的枯燥感，使復(fù)習(xí)課堂生機(jī)勃勃.

2. 歸納總結(jié)，夯實(shí)基礎(chǔ)

通過以上四個(gè)題目，橢圓的定義、方程的形式以及求橢圓方程的基本方法已呈現(xiàn)，為了使知識更加系統(tǒng)化、完整化，教師給出表格讓學(xué)生填寫，內(nèi)容有標(biāo)準(zhǔn)方程、定義，頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等，幫助學(xué)生通過歸納總結(jié)夯實(shí)基礎(chǔ)，為接下來的拓展提升奠定基礎(chǔ).

3. 例題教學(xué)，拓展提升

前面的課前小測已經(jīng)幫助學(xué)生夯實(shí)了“雙基”，在例題教學(xué)階段有必要通過一些巧妙的拓展來豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的解題技能.

題5：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其長軸長為6，且經(jīng)過點(diǎn)（，），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

該題較為簡單，與題2相似，因此學(xué)生根據(jù)題2的解答步驟求解，即確定焦點(diǎn)位置后，將已知條件代入橢圓方程，求得當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為+=1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為+=1.

變式：已知橢圓C的左焦點(diǎn)為F（-1，0），且點(diǎn)P

1，

在橢圓C上，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

求解本題時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生利用不同方法來完成，有的學(xué)生用待定系數(shù)法，有的學(xué)生用定義法. 不管用哪種方法，教師都讓學(xué)生板演，這樣既豐富了學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，又規(guī)范了學(xué)生的解題過程，提升了學(xué)生的解題能力. 當(dāng)學(xué)生完成變式的求解后，教師又提出了一個(gè)問題：“題5能否用定義法求解？”以此借助題5誘發(fā)學(xué)生深度思考定義法. 在交流中，有的學(xué)生認(rèn)為變式中有“焦點(diǎn)”這個(gè)條件，而題5中沒有，因此題5不能用這種方法（定義法）求解;也有學(xué)生認(rèn)為，結(jié)合題1的解答經(jīng)驗(yàn)，可以用定義法求解，過程如下：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)焦點(diǎn)為（-c，0），（c，0），根據(jù)已知可得6=+. 令m=，n=，則m2-n2=4c. 又m+n=6，得m-n=c，解得c=，于是橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 若焦點(diǎn)在y軸上，可以用同樣的方法求解. 通過合作交流，學(xué)生再一次認(rèn)識了典型解法.

接下來教師又列舉了其他實(shí)例，從而借助一題多解活躍了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的解題信心.

教學(xué)反思

從以上教學(xué)過程可以看出，通過“練”幫助學(xué)生鞏固了基礎(chǔ)知識，鍛煉了基本技能，有效培養(yǎng)了學(xué)生的“雙基”;同時(shí)教師“以生為本”，充分展現(xiàn)了學(xué)生的思維過程，借助“錯(cuò)解”和“多解”豐富了學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提升了學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的解題信心;另外，在教學(xué)中，教師將整體思想、分類討論思想、方程思想等重要的思想方法滲透其中，有助于學(xué)生更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

現(xiàn)結(jié)合以上教學(xué)過程，筆者談幾點(diǎn)關(guān)于高三復(fù)習(xí)教學(xué)的認(rèn)識.

1. 重情境，輕記憶

在本課教學(xué)前，教師給學(xué)生安排了課前小測，四個(gè)問題各有不同的教學(xué)目的，從不同角度檢測了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況. 從課前小測反饋來看，大多數(shù)學(xué)生只是單純地從習(xí)題的角度出發(fā)，思考如何解題，并未關(guān)注各習(xí)題之間的遞進(jìn)關(guān)系，可見學(xué)生完整的認(rèn)知體系并未建構(gòu)完成. 同時(shí)，通過前期的基礎(chǔ)檢測，教師更好地了解了學(xué)生，如知道了哪些知識點(diǎn)是學(xué)生已經(jīng)掌握了的，哪些知識點(diǎn)是學(xué)生似懂非懂的，哪些知識點(diǎn)是學(xué)生通過合作交流可以自我完善的，哪些知識點(diǎn)是需要教師重點(diǎn)講解的……只有知學(xué)生之所需，才能使教學(xué)更有效. 另外，教學(xué)中教師重點(diǎn)呈現(xiàn)學(xué)生的解題過程，幫助學(xué)生進(jìn)一步建構(gòu)橢圓的知識脈絡(luò)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)進(jìn)行總結(jié)歸納，從而將知識與技能串成線、織成網(wǎng)，有效避免了簡單記憶和機(jī)械式訓(xùn)練所帶來的瞬時(shí)效應(yīng).

2. 重整合，棄題海

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師常常貪多、求全，使得課堂容量過大，造成學(xué)生學(xué)習(xí)難以深入，不知道為什么學(xué)，要學(xué)到什么程度，只是單純地為了解題而解題，但“題海無邊”.學(xué)生只有知道了學(xué)的內(nèi)容、掌握了學(xué)的方法、了解了學(xué)的目的，才能學(xué)有所獲、有所發(fā)展，教師前期制定的教學(xué)目標(biāo)才能圓滿實(shí)現(xiàn). 因此，教學(xué)中教師不能貪多，要避免機(jī)械重復(fù)，通過試題精挑細(xì)選讓學(xué)生更全面、更牢固地掌握“雙基”.

在教學(xué)中，教師展示題5讓學(xué)生利用定義法和待定系數(shù)法這兩種典型的解題方法來求解，從而讓學(xué)生理解通法在解題中的重要價(jià)值. 接下來，教師又通過變式和多解引導(dǎo)學(xué)生尋求最佳方案，以獲得夯實(shí)基礎(chǔ)、優(yōu)化思維的教學(xué)效果. 另外，解題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 通過一道習(xí)題不僅強(qiáng)化了學(xué)生對橢圓方程的理解和把握，而且鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

3. 重體驗(yàn)，輕灌輸

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其在公開課教學(xué)中，部分教師為了達(dá)到某種效果只關(guān)注對教學(xué)有利的生成性資源，而對那些不利于自己教學(xué)計(jì)劃實(shí)施的生成性資源常常視而不見，這樣使得學(xué)生難以真正地融入課堂，顯然不利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn). 而在本節(jié)課教學(xué)中，教師以學(xué)生為主導(dǎo)，充分展示了學(xué)生的思維過程，通過板演、糾錯(cuò)、反思等教學(xué)活動(dòng)調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與教學(xué)的積極性，讓學(xué)生在交流展示中更好地內(nèi)化了知識.

例如，在教學(xué)中，教師不僅不怕學(xué)生犯錯(cuò)，而且還展示了學(xué)生的錯(cuò)解過程，從而通過糾錯(cuò)幫助學(xué)生理解概念，完善認(rèn)知體系. 錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)過程中普遍存在的，因此在教學(xué)過程中教師要給學(xué)生一定的空間來展示錯(cuò)誤，通過示錯(cuò)、找錯(cuò)、議錯(cuò)等過程發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知缺陷，借助有效的修補(bǔ)幫助學(xué)生釋錯(cuò)、改錯(cuò)，以此達(dá)到完善學(xué)生認(rèn)知體系、優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)、磨煉學(xué)生意志的效果.

又如，在解題教學(xué)中，學(xué)生用待定系數(shù)法完成題5的求解后，教師將其變式，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法去求解. 求解后，教師追問道：“題5能否用定義法求解？”基于問題學(xué)生展開了激烈的探究，其探究重點(diǎn)主要是題設(shè)中橢圓的焦點(diǎn)位置. 最終學(xué)生通過設(shè)焦點(diǎn)，用定義法求得了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 這樣通過變式不僅豐富了學(xué)生的解題方法，而且通過對題5的再探究，挖掘出了問題的本質(zhì)特征，從而讓學(xué)生擁有了“會(huì)一題，通一類”的能力.

總之，在高三復(fù)習(xí)課堂中，不僅要關(guān)注學(xué)生“雙基”的落實(shí)，也要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展. 在教學(xué)中，教師要把握好教學(xué)方向，制定好教學(xué)計(jì)劃，從而有效避免教學(xué)中的盲目性和隨機(jī)性，讓學(xué)生知道“學(xué)什么”“為何學(xué)”“如何學(xué)”，以此培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的學(xué)習(xí)品質(zhì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育功能.