淺探圓錐擺問題

■華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 許 文

如圖1所示,將不可伸長的輕繩一端固定,另一端系一個小球,讓小球獲得某一速度后,小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,在運(yùn)動過程中輕繩掃過的形狀為一圓錐,則這個運(yùn)動稱為圓錐擺運(yùn)動。在生活中有很多類似圓錐擺的運(yùn)動,以圓錐擺為背景的物理試題在近幾年的高考試卷中頻繁出現(xiàn)。分析圓錐擺的運(yùn)動特點(diǎn),探究圓錐擺的運(yùn)動條件,研究圓錐擺的臨界狀態(tài)與極值問題,將有助于我們更好地將圓錐擺的運(yùn)動規(guī)律應(yīng)用到實(shí)際問題的求解中。

圖1

一、基本模型

設(shè)繩長為l,小球質(zhì)量為m,小球做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω,小球運(yùn)動過程中輕繩與豎直方向間的夾角為θ,則小球做圓周運(yùn)動的水平面與輕繩懸點(diǎn)間的距離(圓錐的高度)h=lcosθ。

1.運(yùn)動分析。

做圓錐擺運(yùn)動的小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。

2.受力分析。

(1)受力特點(diǎn):小球受到豎直向下的重力mg、沿繩向上的拉力T,如圖2所示。在豎直方向上,合力為零,有Tcosθ=mg;在水平方向上,向心力Fn由重力mg與拉力T的合力(拉力T的水平分力)提供。

圖2

(2)大小關(guān)系:向心力大小Fn=Tsinθ=mgtanθ=mω2lsinθ,輕繩的拉力大小。

3.周期分析。

(2)特點(diǎn):圓錐擺的周期T由圓錐的高度h與重力加速度g決定。

例1如圖3 所示,兒童玩具撥浪鼓上分別系有長度不等的兩根細(xì)繩,細(xì)繩一端系著小球,另一端固定在關(guān)于手柄對稱的鼓沿上?，F(xiàn)使鼓繞豎直放置的手柄勻速轉(zhuǎn)動,兩小球在水平面內(nèi)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動。兩球的位置關(guān)系可能正確的是(圖4 中細(xì)繩與豎直方向間的夾角α＜θ＜β)( )。

圖3

解析：手柄勻速轉(zhuǎn)動,穩(wěn)定后兩小球均做周期為T的圓錐擺運(yùn)動。設(shè)鼓的半徑為r,繩長為l,細(xì)繩與豎直方向間的夾角為θ,則繩長的豎直分量h=lcosθ;由小球的重力與細(xì)繩拉力的合力提供向心力,則mgtanθ=,變形得因此當(dāng)轉(zhuǎn)動周期T相同時,若細(xì)繩與豎直方向間的夾角θ越大,則繩長的豎直分量h越大。由α＜θ＜β可知,只有選項C正確。

答案：C

點(diǎn)評:鼓隨手柄勻速轉(zhuǎn)動,用輕繩系于鼓沿上的兩小球穩(wěn)定時做與手柄轉(zhuǎn)動周期相同的圓錐擺運(yùn)動。小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的軌跡半徑為r+lsinθ。上述求解過程是基于小球做圓錐擺運(yùn)動由重力和拉力的合力提供向心力得到關(guān)于T、θ及h的函數(shù)關(guān)系而得出的。若充分利用圓錐擺的周期由圓錐的高度與重力加速度決定這一特點(diǎn),結(jié)合題給條件α＜θ＜β,畫出如圖5 所示的小球做圓錐擺運(yùn)動的圓錐高度H,借助幾何圖形進(jìn)行分析判斷,則很容易選出正確答案為C。

圖5

二、拓展模型

生產(chǎn)生活中有很多運(yùn)動的受力特點(diǎn)與運(yùn)動性質(zhì)與圓錐擺類似,我們把這類運(yùn)動均稱為類圓錐擺運(yùn)動。生產(chǎn)生活中常見的類圓錐擺運(yùn)動(彈力N相當(dāng)于圓錐擺基本模型中的繩子拉力T)有:

1.小球沿光滑漏斗內(nèi)壁在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,受力情況如圖6甲所示。

圖6

2.套在光滑細(xì)桿上的小環(huán)隨桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,受力情況如圖6乙所示。

3.固定在彈性細(xì)桿一端的小球隨桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,受力情況如圖6 丙所示。

4.小球穿在光滑豎直圓環(huán)上隨圓環(huán)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,受力情況如圖7 甲所示。

圖7

5.火車在內(nèi)低外高的圓弧彎道路面上轉(zhuǎn)彎時內(nèi)外軌均無側(cè)向擠壓,或汽車不受徑向摩擦力,在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,受力情況如圖7乙所示。

6.滑冰女運(yùn)動員在男運(yùn)動員的拉力作用下在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(女運(yùn)動員恰好離開水平冰面),受力情況如圖7丙所示。

例2某同學(xué)在乘坐列車的過程中研究列車的運(yùn)動情況。他在車廂頂部用細(xì)線懸掛一個小熊玩具,當(dāng)列車以恒定速率通過一段彎道時,發(fā)現(xiàn)懸掛小熊玩具的細(xì)線與車廂側(cè)壁平行,如圖8所示。下列判斷正確的是( )。

圖8

A.細(xì)線對玩具的拉力大小等于玩具的重力大小

B.外側(cè)軌道與輪緣間沒有側(cè)向擠壓作用

C.內(nèi)側(cè)軌道與輪緣間沒有側(cè)向擠壓作用

D.如果知道轉(zhuǎn)彎處內(nèi)、外軌道所在斜面的傾角,就可以求出列車轉(zhuǎn)彎時的速率

解析：設(shè)列車轉(zhuǎn)彎時內(nèi)、外軌道所在斜面的傾角為θ,玩具的質(zhì)量為m。懸掛玩具的細(xì)線與車廂側(cè)壁平行,即細(xì)線垂直于內(nèi)、外軌道所在的斜面,因此細(xì)線與豎直方向間的夾角為θ,玩具在豎直方向上受到的合力為零,則Tcosθ=mg,解 得,選項A 錯誤。玩具隨列車一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)細(xì)線的拉力T與玩具的重力mg的合力提供向心力得mgtanθ=man,解得列車轉(zhuǎn)彎時的向心加速度大小an=gtanθ。根據(jù)牛頓第二定律可知,車廂的重力與軌道的支持力的合力產(chǎn)生的加速度大小為gtanθ,故列車在轉(zhuǎn)彎時的運(yùn)動相當(dāng)于圓錐擺運(yùn)動,這時列車的內(nèi)、外軌道與輪緣間均沒有側(cè)向擠壓作用,選項B、C 正確。由得,在傾角θ與轉(zhuǎn)彎處的圓弧半徑r均已知的情況下,可以求出列車轉(zhuǎn)彎時的速率v,選項D 錯誤。

答案：BC

點(diǎn)評:小熊玩具隨列車一起做圓周運(yùn)動,它們的向心加速度大小相同;根據(jù)小熊玩具的受力情況推知向心加速度的大小,根據(jù)列車的向心加速度大小推知列車此時做類圓錐擺運(yùn)動,從而可判斷列車的受力情況。

三、臨界問題

臨界狀態(tài)是變化的物理量取某種特征值所表現(xiàn)出來的一種特殊狀態(tài)。當(dāng)圓錐擺擺線長度一定時,其運(yùn)動的角速度存在一個最小值;當(dāng)圓錐擺運(yùn)動的角速度一定時,圓錐擺的擺長也存在一個最小值。圓錐擺問題常見的臨界狀態(tài)如表1所示。

表1

例3如圖9所示,兩根輕繩AC、BC同系一質(zhì)量m=0.1 kg的小球,兩輕繩的另一端分別固定在豎直細(xì)桿上的A、B兩點(diǎn),輕繩AC的長度L=2 m,當(dāng)兩輕繩均拉直時,兩輕繩與細(xì)桿間的夾角分別為α=30°和β=45°,取重力加速度g=10 m/s2。當(dāng)小球隨桿一起以角速度ω=4 rad/s轉(zhuǎn)動時,兩輕繩對小球的拉力大小各為多少?

圖9

解析：小球在重力與輕繩拉力的作用下隨桿一起轉(zhuǎn)動時,小球做圓錐擺運(yùn)動。當(dāng)兩輕繩分別恰好拉直時對應(yīng)著小球做圓錐擺運(yùn)動的兩個臨界狀態(tài)。

若轉(zhuǎn)動角速度為ω1時輕繩BC恰好拉直,則此時輕繩AC對小球的拉力FA與小球重力mg的合力提供小球做圓周運(yùn)動所需的向心力,有,解得ω1=2.4 rad/s。

若轉(zhuǎn)動角速度為ω2時輕繩AC恰好拉直,則此時輕繩BC對小球的拉力FB與小球重力mg的合力提供小球做圓周運(yùn)動所需的向心力,有,解得ω2=3.15 rad/s。

因此當(dāng)2.4 rad/s≤ω≤3.15 rad/s時,AC、BC兩輕繩均處于繃緊狀態(tài)。因?yàn)棣?4 rad/s＞ω2,所以此時輕 繩AC松 弛,即FA=0。根據(jù)受力分析得FBcosβ=mg,FBsinβ=mω2r,根據(jù)幾何關(guān)系得r=LBCsinβ=Lsinα,解得FB=2.26 N。

點(diǎn)評:小球做圓錐擺運(yùn)動的角速度ω≤ω1時輕繩BC松弛,ω≥ω2時輕繩AC松弛。先通過對小球臨界狀態(tài)的分析得出兩個臨界角速度,再將題給角速度與臨界角速度相比較,即可確定小球的運(yùn)動狀態(tài),從而可求出兩輕繩對小球的拉力。

跟蹤訓(xùn)練

1.智能呼啦圈輕便美觀,深受大眾喜愛。智能呼啦圈的腰帶外側(cè)帶有軌道,將帶有滑輪的短桿穿入軌道,短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩,其簡化模型如圖10 所示?？梢暈橘|(zhì)點(diǎn)的配重質(zhì)量為0.5 kg,繩長為0.5 m,懸掛點(diǎn)P到腰帶中心點(diǎn)O的距離為0.2 m,水平固定好腰帶,通過人體微小扭動,使配重隨短桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,輕繩與豎直方向間的夾角為θ,運(yùn)動過程中腰帶可視為保持不動,取重力加速度g=10 m/s2,下列說法中正確的是( )。

圖10

A.勻速轉(zhuǎn)動時,配重受到的合力恒定

B.若增大轉(zhuǎn)速,腰帶受到的合力變大

C.當(dāng)θ穩(wěn)定在37°時,配重的角速度為5 rad/s

D.保持轉(zhuǎn)速不變,將配重的質(zhì)量更換為1 kg時,則θ不變

2.雙人花樣滑冰比賽是一項極具觀賞性的項目。比賽中,女運(yùn)動員有時會被男運(yùn)動員拉著離開冰面在空中做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動,如圖11 所示。通過目測估計男運(yùn)動員的手臂與水平冰面間的夾角約為45°,女運(yùn)動員與其身上裝備的總質(zhì)量約為45 kg,取重力加速度g=10 m/s2。僅 根據(jù)以上信息,可估算( )。

圖11

A.女運(yùn)動員的向心加速度約為10 m/s2

B.女運(yùn)動員的角速度約為6.28 rad/s

C.男運(yùn)動員對女運(yùn)動員的拉力約為450 N

D.男運(yùn)動員對冰面的壓力約為450 N

3.如圖12 所示,一根不可伸長的輕繩一端拴著一個小球,另一端固定在豎直桿上,當(dāng)豎直桿以角速度ω轉(zhuǎn)動時,小球隨桿一起做勻速圓周運(yùn)動,此時輕繩與豎直方向間的夾角為θ。則圖13中關(guān)于ω與θ關(guān)系的圖像可能正確的是( )。

圖12

圖13

4.如圖14所示,一根細(xì)線一端系一小球,另一端固定在一光滑圓錐頂端。小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的角速度為ω,細(xì)線的張力為T,則T隨ω2變化的圖像是圖15中的( )。

圖14

圖15

參考答案：1.D 2.A 3.D 4.C