應(yīng)用摩擦角,巧解動力學(xué)問題

■江西省上饒市鉛山縣第一中學(xué) 陳志鋒(正高級教師)

雖然摩擦角不是高中物理教材中的知識內(nèi)容,但是利用摩擦角結(jié)合圖解法常常可以簡便求解一些涉及變力作用的動力學(xué)問題。下面就先介紹摩擦角的有關(guān)知識,再分別用解析法和摩擦角結(jié)合圖解法求解兩道動力學(xué)問題,展示應(yīng)用摩擦角結(jié)合圖解法解題的優(yōu)越性,希望對同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考有所幫助!

一、摩擦角的有關(guān)知識

若物體受到滑動摩擦力,則必然會受到支持力,將物體受到的支持力N和滑動摩擦力f合成為F,如圖1所示,則。若接觸面不變,則動摩擦因數(shù)μ不變,支持力N與合力F間的夾角α就是確定的,α角就叫摩擦角。物體受到的滑動摩擦力f與支持力N總是成對出現(xiàn)的,N與f也會成比例地增大或減小,它們的合力F的方向始終保持不變。引入摩擦角后,可以將支持力N與滑動摩擦力f合成為一個力,這樣在物體的受力分析中就可以減少一個力,從而實現(xiàn)將復(fù)雜的問題簡單化。

圖1

二、應(yīng)用摩擦角,求解實際問題

例1一木箱放置在水平地面上,已知木箱與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ(0＜μ＜1)?，F(xiàn)對木箱施加一拉力F,使木箱做勻速直線運動。設(shè)拉力F與水平面間的夾角為θ,如圖2所示。在θ從0 逐漸增大到90°的過程中,木箱的速度保持不變,則下列判斷中正確的是( )。

圖2

A.F逐漸增大

B.F先減小后增大

C.F的功率逐漸減小

D.木箱受到的滑動摩擦力先減小后增大

解法一：(解析法)因為木箱的速度保持不變,所以木箱始終處于平衡狀態(tài)。對木箱進行受力分析,如圖3所示,根據(jù)平衡條件得mg=N+Fsin

圖3

θ,f=Fcosθ,又有f=μN,解得,在θ從0逐漸增大到90°的過程中,sin(β+θ)先增大后減小,拉力F先減小后增大,選項A錯誤,B正確。力F的功率,在θ從0 逐漸增大到90°的過程中,tanθ逐漸增大,則P逐漸減小,選項C 正確。木箱受到的滑動摩擦力,在θ從0逐漸增大到90°的過程中,tanθ逐漸增大,則f逐漸減小,選項D 錯誤。

解法二：(摩擦角結(jié)合圖解法)因為0＜μ＜1,所以摩擦角α＜45°。木箱受到重力mg,支持力N,拉力F,滑動摩擦力f四個力作用,應(yīng)用摩擦角有關(guān)知識,將滑動摩擦力f與支持力N合成為F',把四力平衡問題轉(zhuǎn)化為三力平衡問題,作出力的矢量三角形,如圖4 所示。觀察變化的力的矢量三角形可得,在θ從0 逐漸增大到90°的過程中,α不變,拉力F先減小后增大,F'逐漸減小,f=F'sinα逐漸減小,選項A、D 錯誤,B正確。木箱的速度v不變,重力與支持力的功率都為0,因此拉力F的功率P拉=P摩=fv逐漸減小,選項C正確。

圖4

答案：BC

點評:解法一是高中物理常用的解題方法之一,考查的知識內(nèi)容涉及受力分析、力的合成與分解、數(shù)學(xué)計算能力等,考查的思維能力對應(yīng)科學(xué)思維能力水平3——在熟悉的問題情境中根據(jù)需要選用恰當(dāng)?shù)哪Ｐ徒鉀Q簡單的物理問題;能對常見的物理現(xiàn)象進行分析和推理,獲得結(jié)論并作出解釋。解法一對考生的科學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)運算能力的要求都比較高,且計算過程比較復(fù)雜,需要耗費較多的時間。解法二的考查對象是摩擦角知識的具體應(yīng)用,考查的思維能力對應(yīng)科學(xué)思維能力水平5——能將較復(fù)雜的實際問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換成物理模型;能在新的情境中對綜合性物理問題進行分析和推理,獲得正確結(jié)論并作出解釋;能從多個視角審視檢驗結(jié)論,解決物理問題具有一定的新穎性。解法二引入摩擦角,將支持力和滑動摩擦力合成為一個方向不變的力,減少了力的個數(shù),實現(xiàn)了復(fù)雜問題的簡單化。

例 2如圖5 所示,兩平行導(dǎo)軌放置在同一水平面內(nèi),一導(dǎo)體棒垂直放在導(dǎo)軌上,導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)恒定,整個裝置置于勻強磁場中,磁感應(yīng)強度大小恒定,方向與導(dǎo)體棒垂直、與水平向右方向間的夾角θ可調(diào)。導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向右運動,現(xiàn)給導(dǎo)體棒通以圖示方向的恒定電流,適當(dāng)調(diào)整磁場方向,可以使導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌做勻加速運動或勻減速運動。已知導(dǎo)體棒加速時,加速度的最大值為;導(dǎo)體棒減速時,加速度的最大值為。g為重力加速度大小。下列說法中正確的是( )。

圖5

C.導(dǎo)體棒加速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向下,且θ=60°

D.導(dǎo)體棒減速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向上,且θ=150°

解法一：(解析法)設(shè)當(dāng)磁場方向與水平方向間的夾角為θ1(θ1＜90°)時,導(dǎo)體棒做勻加速運動且加速度取最大值,此時導(dǎo)體棒受到的合力向右,且為最大值。根據(jù)左手定則和受力分析可知,安培力應(yīng)該斜向右上方,磁場方向斜向右下方,則,令,又有,根據(jù)數(shù)學(xué)知識得,解得。

設(shè)當(dāng)磁場方向與水平方向間的夾角為θ2(θ2＜90°)時,導(dǎo)體棒做勻減速運動且加速度取最大值,此時導(dǎo)體棒受到的合力向左,且為最大值。根據(jù)左手定則和受力分析可知,安培力應(yīng)該斜向左下方,磁場方向斜向左上方,則Fsinθ2+μ(mg+Fcosθ2)=ma2,令,又有,根據(jù)數(shù)學(xué)知識得,解得。

當(dāng)導(dǎo)體棒做勻加速運動或勻減速運動的加速度分別取最大值時,上述不等式均取等號,解得,代 入得,即α=30°,此時θ1=θ2=60°。

因此導(dǎo)體棒加速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向右下方,且θ=θ1=60°;導(dǎo)體棒減速時,若加速度大小取最大值,則磁場方向斜向左上方,且θ=π-θ2=120°。

解法二：(摩擦角結(jié)合圖解法)導(dǎo)體棒向右以最大加速度做勻減速運動時,對導(dǎo)體棒進行受力分析,如圖6所示,將導(dǎo)體棒受到的支持力N1與滑動摩擦力f1合成為F1,摩擦角為α,F1的方向不變;重力mg的大小和方向一定;安培力F安1的大小已知,方向待定;導(dǎo)體棒受到的合力大小為3mg,方向水平向左。根據(jù)矢量合成的多邊形法則,可以畫出如圖7所示的矢量多邊形。

圖6

圖7

導(dǎo)體棒向右以最大加速度做勻加速運動時,對導(dǎo)體棒進行受力分析,如圖8 所示,同理可以畫出如圖9所示的矢量多邊形。

圖8

圖9

將圖7、圖9合在一幅圖中,將重力邊重合,以重力矢量末端為圓心,以重力矢量長度為半徑,做輔助圓,得到如圖10 所示的矢量圖。導(dǎo)體棒做勻加速運動或勻減速運動加速度要達到最大,則需F1與F2作用線與輔助圓相切。

導(dǎo)體棒向右以最大加速度做勻加速運動時,磁場方向應(yīng)該斜向右下方,設(shè)磁場方向與水平向右方向間的夾角為θ2,安培力F安2方向與重力mg方向間的夾角也為θ,根據(jù)幾何關(guān)系得,即θ2=60°;同理可得,導(dǎo)體棒向右以最大加速度做勻減速運動時,磁場方向應(yīng)該斜向左上方,磁場方向與水平向右方向間的夾角θ1=120°。安培力F安2方向與水平向右方向間的夾角等于摩擦角α,則α=90°-θ2=30°,導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)。

答案：BC

點評:對比求解本題的兩種方法可以發(fā)現(xiàn),解法一的計算量很大,而解法二的計算量要少得多。解法二引入摩擦角,結(jié)合幾何圖形不僅可以快速、準確地選出正確答案,而且還可以得到等關(guān)系式。

總之,利用摩擦角既可以求解物體處于平衡狀態(tài)時的受力分析問題,也可以求解物體具有加速度時的受力分析問題,還可以應(yīng)用在涉及斜面模型的動力學(xué)問題中。學(xué)有余力的同學(xué)若能熟練掌握摩擦角這一課外知識的應(yīng)用方法,則可以拓寬解題思路,提高創(chuàng)造性和發(fā)散性思維能力,促進物理學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。