力學(xué)動態(tài)平衡問題歸類剖析

■河北樂亭第一中學(xué) 王金濤

動態(tài)平衡指的是因為某種物理量的改變,物體所處的狀態(tài)緩慢變化,而在這個緩慢變化的過程中,物體一直處于平衡狀態(tài)。當(dāng)物體處于動態(tài)平衡狀態(tài)時,所受的外力會發(fā)生變化,但是所受合外力會一直等于零。因此解決這類問題最重要的是在變化中尋找到不變,利用不變的量確定變量的變化規(guī)律。下面歸納總結(jié)了求解力學(xué)動態(tài)平衡問題的幾種常見方法,供同學(xué)們參考。

一、動態(tài)圖解法

原理：對物體在狀態(tài)變化過程中的多種平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析,以某一參量的變化為基礎(chǔ),在同一圖中作出物體在多種平衡狀態(tài)下的受力示意圖(力的平行四邊形),根據(jù)動態(tài)的力的平行四邊形各邊長度和角度的變化,確定力的大小及方向的變化情況。

適用條件：物體受到三個共點力作用處于動態(tài)平衡狀態(tài),其中一個力是大小和方向均不變的恒力;另外一個力的方向不變,大小變化;第三個力的大小和方向都變化。

例1如圖1 所示,用細(xì)繩系住小球放在傾角為θ的光滑斜面上,當(dāng)細(xì)繩由水平方向逐漸向上偏移時,小球?qū)?xì)繩的拉力T和對斜面的壓力N的變化情況是( )。

A.T逐漸增大,N逐漸減小

B.T逐漸減小,N逐漸增大

C.T先增大后減小,N逐漸減小

D.T先減小后增大,N逐漸減小

解析：對小球進(jìn)行受力分析,小球受到重力mg(大小和方向均不變的恒力)、斜面的支持力N'(方向不變,大小變化)和細(xì)繩的拉力T'三個力的作用。在同一個圖中作出細(xì)繩由水平方向逐漸向上偏移的過程中多個平衡狀態(tài)下小球的受力示意圖,如圖2 所示。根據(jù)圖像可知,隨著細(xì)繩由水平方向向上偏移,細(xì)繩的拉力T'先減小后增大,斜面的支持力N'逐漸減小。根據(jù)牛頓第三定律可知,小球?qū)?xì)繩的拉力T先減小后增大,小球?qū)π泵娴膲毫逐漸減小。

圖2

答案：D

二、正交分解法

原理：當(dāng)物體處于動態(tài)平衡狀態(tài)時,先對物體進(jìn)行正確的受力分析,再建立平面直角坐標(biāo)系,將不在坐標(biāo)軸上的力正交分解,以具體情況為依據(jù),引入?yún)?shù),構(gòu)建平衡方程,得出因變參數(shù)與自變參數(shù)之間的一般函數(shù)關(guān)系,然后以自變量的變化為依據(jù)確定因變量的變化,進(jìn)而判斷力的大小變化規(guī)律。

例2如圖3 所示,物體靜止在斜面上,斜面對物體的支持力為N,物體受到的摩擦力為f,則當(dāng)斜面傾角θ變小時,下列說法中正確的是( )。

圖3

A.N變小,f變小

B.N變小,f變大

C.N變大,f變小

D.N變大,f變大

解析：對物體進(jìn)行受力分析,物體受到重力G、斜面的支持力N和摩擦力f三個力作用。以沿斜面向上為x軸正方向,以垂直于斜面向上為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,將重力G正交分解,如圖4 所示。根據(jù)平衡條件可得,在x軸方向上有f=Gsinθ,在y軸方向上有N=Gcosθ。當(dāng)斜面傾角θ變小時,sinθ變小,cosθ變大,f變小,N變大。

圖4

答案：C

三、相似三角形法

原理：當(dāng)物體受到三個共點力作用而處于動態(tài)平衡狀態(tài)時,先對物體進(jìn)行正確的受力分析,并畫出受力示意圖,再在圖中尋找與力的矢量三角形相似的幾何三角形,利用相似三角形的性質(zhì),構(gòu)建出比例關(guān)系,把力的大小變化問題轉(zhuǎn)換成幾何三角形邊長的大小變化問題,展開討論。

例3如圖5所示,光滑半球固定在水平地面上,球心O的正上方固定一個小定滑輪,細(xì)繩一端拴一小球,小球置于半球面上的A點,細(xì)繩另一端繞過定滑輪用手拉住?，F(xiàn)緩慢拉繩使小球從A點滑到半球面的頂點,在此過程中,小球?qū)Π肭虻膲毫及細(xì)繩的拉力F的變化情況是( )。

A.N變大,F變大

B.N變小,F變大

C.N不變,F變小

D.N變大,F變小

解析：對小球進(jìn)行受力分析,小球受到重力G、半球面的支持力N和細(xì)繩的拉力F三個力作用。作出小球受力的矢量三角形,并連接球心O和A點,構(gòu)建幾何三角形OAB,如圖6所示。根據(jù)由G、N、F構(gòu)成的矢量三角形與幾何三角形OAB相似得, 在小球從A點滑到半球面頂點的過程中,OA不變,OB不變,AB減小,G不變,則N不變,F變小。

圖6

答案：C

四、矢量圓法

原理：當(dāng)物體受到三個共點力作用而處于動態(tài)平衡狀態(tài)時,如果其中一個力是大小和方向均不變的恒力,另外兩個力的夾角保持不變,那么可以先作出力的矢量三角形,再作出該矢量三角形的外接圓,觀察隨著研究對象的緩慢移動,矢量三角形的頂點在圓周上的移動情況,從而分析判斷力的變化情況。

適用條件：物體受到三個力作用處于動態(tài)平衡狀態(tài),其中一個力是大小和方向均不變的恒力,另外兩個力的大小和方向均變化,但二者的夾角保持不變。

例4如圖7所示,置于水平地面上的豎直圓形金屬環(huán)內(nèi)用三根細(xì)繩OA、OB、OC懸掛一質(zhì)量為m的物體,物體可視為質(zhì)點。初始狀態(tài)下,細(xì)繩OB沿水平方向,∠AOB=120°。設(shè)細(xì)繩OA、OB的張力大小為F1、F2,現(xiàn)將金屬圓環(huán)在豎直面內(nèi)緩慢沿逆時針方向轉(zhuǎn)過90°,在此過程中( )。

圖7

A.F1一直增大

B.F2一直增大

C.F1先增大后減小

D.F2先增大后減小

解析：選結(jié)點O為研究對象,對它進(jìn)行受力分析,結(jié)點O受到細(xì)繩OA、OB、OC的拉力作用,其中細(xì)繩OA、OB的拉力的夾角保持不變,細(xì)繩OC的拉力等于物體的重力mg。作出結(jié)點O受力的矢量三角形,并作矢量三角形的外接圓,如圖8 所示。觀察圖像可知,將金屬圓環(huán)在豎直面內(nèi)緩慢沿逆時針方向轉(zhuǎn)過90°的過程中,θ=180°-∠AOB=60°保持不變,細(xì)繩OC的拉力(mg)的大小和方向均不變,F1一直減小,F2先增大后減小。

圖8

答案：D

五、整體法和隔離法

原理：整體法是將物理問題中的兩個或兩個以上物體視為一個整體進(jìn)行分析和研究的方法,隔離法是將單個物體與整體分開進(jìn)行分析和研究的方法。當(dāng)分析由兩個或兩個以上物體構(gòu)成的系統(tǒng)的動態(tài)平衡問題時,經(jīng)常需要將整體法和隔離法結(jié)合運用。

例5如圖9所示,橫截面為四分之一圓、質(zhì)量為M的柱體B放在粗糙水平地面上,一豎直固定的擋板與柱體B最左側(cè)相切,質(zhì)量為m的小球a恰能靜止在擋板和柱體之間?，F(xiàn)拿走小球a,將質(zhì)量也為m、但密度比小球a小的小球b貼著擋板輕輕放到擋板與柱體B之間。小球與擋板、小球與柱體B之間的摩擦忽略不計。下列說法中正確的是( )。

圖9

A.小球b對擋板的壓力大于小球a對擋板的壓力

B.小球b對柱體B的壓力大于小球a對柱體B的壓力

C.地面對柱體B的支持力不變

D.柱體B受到地面的摩擦力不變

解析：以小球a為研究對象,其受力分析示意圖如圖10甲所示。根據(jù)平衡條件可知,擋板與柱體B對小球a作用力F1、F2的合力與小球a的重力大小相等、方向相反。小球b與小球a相比,質(zhì)量不變、體積增大,則柱體B的橫截面圓心和小球b球心的連線與豎直方向間的夾角減小(圖10 甲中的F2繞力的作用點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)),根據(jù)力的平行四邊形定則和牛頓第三定律可知,小球b對擋板的壓力小于小球a對擋板的壓力,小球b對柱體B的壓力小于小球a對柱體B的壓力,選項A、B錯誤。

圖10

以由小球a和柱體B組成的整體為研究對象,其受力分析示意圖如圖10 乙所示。根據(jù)平衡條件可知,在水平方向上有f=F1,在豎直方向上有N=(M+m)g。將小球a換作小球b之后,因為F1減小,所以柱體B所受地面的摩擦力f減小,選項D 錯誤;因為兩小球的質(zhì)量相等,所以地面對柱體B的支持力N不變,選項C正確。

答案：C

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖11所示,一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)墻面對小球的壓力大小為N1,小球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镹2。以木板與墻面連接點所形成的水平直線為軸,將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計一切摩擦,在此過程中( )。

圖11

A.N1一直減小,N2一直增大

B.N1一直減小,N2一直減小

C.N1先增大后減小,N2一直減小

D.N1先增大后減小,N2先減小后增大

2.如圖12 所示,裝有足球的輕網(wǎng)兜系在釘子上,墻壁光滑。將網(wǎng)繩在釘子上多繞幾圈后,下列判斷正確的是( )。

圖12

A.網(wǎng)繩的拉力變小

B.網(wǎng)繩的拉力不變

C.墻壁對足球的支持力變大

D.墻壁對足球的支持力不變

3.如圖13所示,豎直平面內(nèi)有輕繩1、2、3拴接在O點。輕繩1 水平,輕繩2與水平方向成60°角,輕繩3 的下端連接一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒a,在結(jié)點O正下方2d距離處固定一導(dǎo)體棒b,兩導(dǎo)體棒均垂直于豎直平面放置?，F(xiàn)將導(dǎo)體棒a中通入向里的電流I0,將導(dǎo)體棒b中通入向外且緩慢增大的電流I。當(dāng)電流I增大到某個值時,給導(dǎo)體棒a以向右的輕微擾動,可觀察到它緩慢上升到輕繩1所在的水平線上。已知輕繩3的長度為d,兩導(dǎo)體棒的長度均為l,重力加速度為g,導(dǎo)體棒b以外距離為x處的磁感應(yīng)強度。下列說法中正確的是( )。

圖13

D.導(dǎo)體棒b中電流的最大值

4.如圖14 所示,AB、BC兩塊木板構(gòu)成夾角為60°的“V”形角架,其間放置一質(zhì)量為m的圓球,整體豎直放置在水平桌面上,繞B點為轉(zhuǎn)軸緩慢沿順時針方向轉(zhuǎn)動角架,不計一切摩擦,重力加速度為g,下列說法中正確的是( )。

圖14

A.木板AB受到的彈力逐漸減小

B.木板AB受到的彈力先減小后增大

C.木板BC受到的彈力逐漸增大

5.如圖15 所示,光滑豎直墻壁與光滑水平地面交于B點,質(zhì)量為M的光滑半圓柱體,緊靠豎直墻壁置于水平地面上,O為半圓柱體橫截面的圓心。質(zhì)量為m且可視為質(zhì)點的小球,用長度為L的細(xì)線懸掛于豎直墻壁上的A點,小球靜置于半圓柱體上。當(dāng)換用質(zhì)量不變,而半徑不同的光滑半圓柱體時,細(xì)線與豎直墻壁間的夾角θ就會跟著發(fā)生改變。已知A、B兩點間的距離也為L,重力加速度為g,不計各接觸面間的摩擦。下列說法中正確的是( )。

圖15

A.當(dāng)θ=60°時,細(xì)線對小球的拉力大小為

B.當(dāng)θ=60°時,半圓柱體對小球的支持力大小為

C.在θ逐漸減小的過程中,半圓柱體受到水平地面的彈力始終保持不變

D.在θ逐漸減小的過程中,半圓柱體受到豎直墻壁的彈力始終保持不變

參考答案：1.B 2.C 3.B 4.D 5.A