四種變力作用下的運動問題歸類剖析
——淺談動能定理、動量定理的選取

■湖北省松滋市第一中學 劉萬強

物體在變力作用下運動,因為物體的加速度不恒定,所以無法直接應(yīng)用牛頓第二定律進行分析和研究,這就使得很多同學感覺無從下手。下面從變力的四種函數(shù)特征入手,關(guān)注力對時間或空間積累的有效計算,合理選取動量定理或動能定理進行研究,從而培養(yǎng)同學們良好的模型建構(gòu)能力、分析推理能力,以達到培養(yǎng)同學們有思想、有方法解決問題的綜合能力。

一、在變力F=kx+F0 作用下,關(guān)注力的位移積累

問題情景：質(zhì)量為m的物塊靜止在光滑的水平面上,從t=0時刻開始用水平力F=kx+F0(x為力F作用后物塊的位移)作用于物塊,使物塊做加速直線運動。若在力F作用下物塊發(fā)生一段位移x0,求物塊的末速度v1。

運動研究：變力F=kx+F0,其中kx關(guān)于x的積累量為,即力F做的功可計算出來,在物塊發(fā)生位移x0的過程中,對物塊應(yīng)用動能定理得,解得。

特征小結(jié)：物塊受到的變力滿足函數(shù)關(guān)系式F=kx+F0,即力F與位移x呈線性關(guān)系,其變化特征圖像和力的空間積累效應(yīng)如表1所示。

表1

說明：彈簧彈力作用下物體的運動(彈力f=kx)、均勻帶電導體棒進入勻強電場后的運動(靜電力F=kx)等問題,力的變化規(guī)律均滿足函數(shù)關(guān)系式F=kx+F0,力F與位移x呈線性關(guān)系,可選用動能定理分析和研究。

例1一輛汽車的質(zhì)量為1×105kg,從靜止開始運動,它受到的阻力為車重的0.05倍,汽車發(fā)動機牽引力F的大小隨汽車前進距離x的變化關(guān)系為F=103x+f0,其中f0是汽車所受的阻力。取重力加速度g=10 m/s2,在汽車前進100 m 的過程中,下列說法正確的是( )。

A.牽引力做的功為1×107J

B.牽引力做的功為2×107J

D.汽車的末速度為10 m/s

解析：牽引力F=103x+f0,即牽引力F與位移x呈線性關(guān)系,牽引力F做的功可利用F-x圖像的面積表示,即,在汽車前進100 m 的過程中,F1=f0=0.05×1×105×10 N=5×104N,F2=103×100 N+f0=1.5×105N,解得W=1×107J。在汽車前進100 m 的過程中,根據(jù)動能定理得,其中,解得v=10 m/s。

答案：AD

二、在變力F=kt+F0 作用下,關(guān)注力的時間積累

問題情景：質(zhì)量為m的物塊靜止在光滑的水平面上,從t=0時刻開始用水平力F=kt+F0(t為力F作用后物塊運動的時間)作用于物塊,使物塊做加速直線運動。若在力F作用一段時間t0后,求物塊的末速度v2。

運動研究：變力F=kt+F0,其中kt關(guān)于t的積累量為,即力F的沖量可計算出來,在力F作用的時間t0內(nèi),根據(jù)動量定理得,解得。

特征小結(jié)：物塊受到的變力滿足函數(shù)關(guān)系式F=kt+F0,即力F與時間t呈線性關(guān)系,其變化特征圖像和力的時間積累效應(yīng)如表2所示。

表2

說明：漏電狀態(tài)下,帶電物體在電場力作用下的運動(F=qE)等問題,力的變化規(guī)律滿足函數(shù)關(guān)系式F=kt+F0,力F與時間t呈線性關(guān)系,可選用動量定理分析和研究。

例2如圖1所示,質(zhì)量m=1 kg,電荷量q0=+1 C的物塊在粗糙水平面上向右滑動,某時刻以v0=11 m/s的速度從A點進入方向豎直向上、場強E=10 N/C的勻強電場區(qū)域,由于水平面絕緣性不佳導致物塊放電,物塊的電荷量隨時間的變化規(guī)律為q=q0-kt(k=0.5 C/s),已知物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5,取重力加速度g=10 m/s2,則物塊在水平面上運動的時間為( )。

圖1

三、在變力F=kv 作用下,關(guān)注力的時間積累

問題情景：質(zhì)量為m的物塊靜止在光滑的水平面上,從t=0時刻開始用水平力F=kv(v為力F作用后物塊的速度)作用于物塊,使物塊做加速直線運動。若在力F作用一段時間t0后,求物塊的末速度v3。

運動研究：變力F=kv,其中v關(guān)于t的積累量是位移x,即力F的沖量可計算出來,在力F作用的時間t0內(nèi),根據(jù)動量定理得,解得。

特征小結(jié)：物塊受到的變力滿足函數(shù)關(guān)系式F=kv,即力F與速度v呈線性關(guān)系,其變化特征圖像和力的時間積累效應(yīng)如表3所示。

表3

說明：涉及洛倫茲力(qvB)的帶電物塊的運動、金屬桿在安培力作用下的運動、物體在阻力f=kv作用下的運動等問題,力的變化規(guī)律均滿足函數(shù)關(guān)系式F=kv,即力F與速度v呈線性關(guān)系,可選用動量定理分析和研究。

例3如圖2所示,質(zhì)量m=1 kg,電荷量q=+1 C 的物塊在粗糙斜面上從O點以速度v0=10 m/s勻速下滑,已知斜面傾角θ的正切值,物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。某時刻物塊從M點進入方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強度B=2 T 的勻強磁場區(qū)域,磁場區(qū)域的寬度x=1 m,一段時間后,物塊在磁場中運動到其右邊界上的N點,則物塊到達N點時的速度為( )。

圖2

A.10 m/s B.9 m/s

C.8 m/s D.7 m/s

解析：物塊從M點運動到N點的過程中,根據(jù)動量定理得,解得v=9 m/s。

答案：B

問題情景：質(zhì)量為m的物塊靜止在光滑的水平面上,從t=0時刻開始用水平力(v為力F作用后物塊的速度)作用于物塊,使物塊做加速直線運動。若在力F作用下物塊發(fā)生一段位移x0,求物塊的末速度v4。

運動研究：變力,其中關(guān)于x的積累量是時間t,即力F做的功可計算出來,在物塊發(fā)生位移x0的過程中,根據(jù)動能定理得,解得。

特征小結(jié)：物塊受到的變力滿足函數(shù)關(guān)系式, 即力F與呈 線性關(guān)系,其變化特征圖像和力的時間積累效應(yīng)如表4所示。

表4

例4質(zhì)量為m的汽車在平直路面上啟動,汽車的速度—時間圖像如圖3所示,圖中OA段為直線,從t1時刻開始汽車保持額定功率不變,整個運動過程中汽車所受阻力恒為f,在t1和t2時刻的速度分別為v1、v2,則汽車在t1～t2時間內(nèi)的位移是( )。

圖3

答案：C

總結(jié)：以上四種物體在變力作用下的運動問題不能應(yīng)用動力學的觀點來定量計算,而應(yīng)該在已知物體的位移或運動時間的情況下,分析力的積累效應(yīng),合理選用動量定理或動能定理進行分析和研究。通過時間與空間積累的對比,四種不同變化規(guī)律的案例對比,可以深入認識力的積累效應(yīng)與有效計算,構(gòu)建不同變化規(guī)律的積累模型,完成深度學習。