結(jié)構(gòu)化視角下“量感”的培養(yǎng)路徑

張明霞

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在課程理念部分提出了“確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)”“設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”“課程內(nèi)容組織，重點(diǎn)是對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑”。小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)有11個(gè)方面，與之前相比新增了一個(gè)“量感”，可見培養(yǎng)量感的重要性。數(shù)學(xué)是一門有結(jié)構(gòu)的學(xué)科，從結(jié)構(gòu)化的視角整體把握量感的內(nèi)涵及其主要表現(xiàn)，整體分析內(nèi)容結(jié)構(gòu)，整體設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動是落實(shí)量感培養(yǎng)的有效路徑。

一、立足“新課標(biāo)”，整體把握量感

（一）整體把握量感的內(nèi)涵表現(xiàn)

“新課標(biāo)”指出：“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。”這里的“可測量屬性”是指視覺、觸覺等感官對物體的規(guī)模、程度、速度等方面的感覺，也就是對物體的大小、多少、輕重、厚薄等的感性認(rèn)識。在小學(xué)階段，主要體現(xiàn)在對長度、面積、角度、體積、時(shí)間、質(zhì)量、貨幣等屬性量的直觀感知。不同屬性量的度量要用到不同標(biāo)準(zhǔn)的度量單位，這里的大小關(guān)系主要是指同一屬性量的各個(gè)度量單位之間的關(guān)系及相互轉(zhuǎn)換。

量感的主要表現(xiàn)包括三個(gè)方面：知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會針對真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果。這三個(gè)方面是不可分割的整體，指向度量意義、度量單位、度量工具、度量方法等關(guān)鍵內(nèi)容，是量感素養(yǎng)形成的具體表現(xiàn)。

整體而言，量感是對量的直觀感知，是可以“量”出來的。量，作名詞用，意即數(shù)量的多少；作動詞用，意即測量數(shù)量的多少。量感直指度量的本質(zhì)，蘊(yùn)含度量的兩個(gè)核心要素，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的度量單位和“數(shù)”出標(biāo)準(zhǔn)單位的個(gè)數(shù)。兒童量感形成的顯性表現(xiàn)是能選擇合適的度量單位對物體的屬性量進(jìn)行直接或間接的度量，并用“數(shù)+單位”的數(shù)學(xué)語言表達(dá)度量的結(jié)果。

（二）整體把握量感的培養(yǎng)目標(biāo)

量感的培養(yǎng)體現(xiàn)在不同學(xué)段的具體目標(biāo)和內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示中，從“形成初步的量感”到“形成量感”，再到“發(fā)展量感”，呈現(xiàn)出整體性、一致性和階段性。

基于“新課標(biāo)”中的學(xué)段教學(xué)目標(biāo)，“量感”主要體現(xiàn)在“圖形與幾何”和“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中。在“圖形與幾何”領(lǐng)域，涉及量感培養(yǎng)的主題是“圖形的認(rèn)識與測量”，“新課標(biāo)”指出：“圖形的測量重點(diǎn)是確定圖形的大小。學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過程，感受統(tǒng)一度量單位的意義，基于度量單位理解圖形長度、角度、周長、面積、體積。在推導(dǎo)一些常見圖形周長、面積、體積計(jì)算公式的過程中，感悟數(shù)學(xué)度量方法，逐步培養(yǎng)量感和推理意識。”在“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，與量感有關(guān)的6個(gè)主題活動分布在第一、二學(xué)段，“身體上的尺子”和“度量衡的故事”是與測量有關(guān)的主題活動，“歡樂購物街”“時(shí)間在哪兒”“年、月、日的秘密”“曹沖稱象的故事”等主題活動，分別涉及貨幣、時(shí)間、質(zhì)量等單位的學(xué)習(xí)。學(xué)生通過圖形測量和主題活動的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過程，感悟度量的方法，理解度量的本質(zhì)，豐富度量的活動經(jīng)驗(yàn)，逐步形成與發(fā)展量感。

二、梳理內(nèi)容結(jié)構(gòu)，整體分析量感

（一）整體分析內(nèi)容，明確核心概念

小學(xué)階段，量感的培養(yǎng)與度量單位的學(xué)習(xí)密不可分。對蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中度量單位的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整體梳理如表1所示，長度、面積、角度和體積等屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域中“圖形的認(rèn)識與測量”主題內(nèi)容，涉及不同維度圖形的測量。質(zhì)量、時(shí)間和貨幣等內(nèi)容安排在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，“新課標(biāo)”將這部分內(nèi)容移至“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，通過主題式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的量感。

以長度、面積、角度和體積三個(gè)維度的學(xué)習(xí)內(nèi)容為例（見表2），從整體上分析，其核心概念是度量的意義與表達(dá)、度量單位個(gè)數(shù)的累加，指向度量的本質(zhì)。聚焦度量意義、度量單位以及度量方法的教學(xué)，與量感的主要表現(xiàn)保持一致。

（二）整體分析結(jié)構(gòu)，明晰內(nèi)在關(guān)聯(lián)

圖形的測量教學(xué)直指度量的本質(zhì)，是落實(shí)量感培養(yǎng)的主要路徑（如圖1）。橫向分析，圖形的認(rèn)識與圖形的測量是一個(gè)整體，圖形認(rèn)識是圖形測量的基礎(chǔ)，即測量什么，圖形的測量有助于深化對圖形的認(rèn)識，即為什么測量、怎樣測量。學(xué)習(xí)內(nèi)容都包括意義、單位、度量和計(jì)算等，呈現(xiàn)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一致性?？v向分析，從一維到二維再到三維圖形的認(rèn)識與測量，由線到面、由面及體，遞進(jìn)生長，度量方法和度量本質(zhì)是一致的，體現(xiàn)階段性和整體性。量感就是在這樣一個(gè)階段性、關(guān)聯(lián)性、整體性的學(xué)習(xí)中逐步形成與發(fā)展的。

三、設(shè)計(jì)多維活動，整體落實(shí)量感的培養(yǎng)

量感的培養(yǎng)需要經(jīng)歷一個(gè)不斷體驗(yàn)、感悟、關(guān)聯(lián)與建構(gòu)的過程。教學(xué)中，教師應(yīng)立足結(jié)構(gòu)化視角，遵循量感的主要表現(xiàn)，以核心概念為主線，聚焦關(guān)鍵內(nèi)容的教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生在多維活動中比較、操作與應(yīng)用，整體落實(shí)量感的培養(yǎng)。在“圖形的測量”教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)以下活動促進(jìn)學(xué)生量感的培養(yǎng)。

（一）在操作和比較中建立量感

1.感受統(tǒng)一度量單位的必要性，體會度量意義

小學(xué)生對于物體的長短、大小等有著豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，在長度、面積、角度和體積等單位教學(xué)的起始課上，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，讓學(xué)生自主選擇測量標(biāo)準(zhǔn)，在操作與比較中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感受統(tǒng)一度量單位的必要性。如學(xué)習(xí)長度單位時(shí)，創(chuàng)設(shè)測量課桌長度的情境，引領(lǐng)學(xué)生借助鉛筆、文具盒等物品的長度測量，通過對測量結(jié)果的比較，感受統(tǒng)一長度單位的意義。教學(xué)面積單位時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)測量課桌表面面積的情境，學(xué)生用數(shù)學(xué)書封面、文具盒面等不同標(biāo)準(zhǔn)的面進(jìn)行測量，得出不同的測量結(jié)果，引發(fā)統(tǒng)一面積單位的需求。教學(xué)角的度量時(shí)，以鐘面上分針運(yùn)動掃過的部分引入不同的角，學(xué)生通過觀察、數(shù)格子等不同方法比較角的大小，接著呈現(xiàn)用周角做標(biāo)準(zhǔn)無法方便、準(zhǔn)確表示大小，再選擇比周角小的角去測量，促使學(xué)生體會要準(zhǔn)確測量角的大小，就要選擇一個(gè)合適的角為單位。教學(xué)體積單位時(shí)，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的測量活動經(jīng)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶測量長度、面積和角的學(xué)習(xí)歷程（如圖2），提問：“測量長度、面積和角，都要有統(tǒng)一的度量單位，那測量體積呢？”激活學(xué)生以線量線、以面量面、以角量角的測量經(jīng)驗(yàn)，引出以體量體的方法，進(jìn)而類推出以棱長1厘米、1分米和1米的正方體為標(biāo)準(zhǔn)的體積單位。

2.認(rèn)識標(biāo)準(zhǔn)量，建立單位量感

建立標(biāo)準(zhǔn)單位的量感是準(zhǔn)確測量物體屬性量的基礎(chǔ)。同一屬性量的度量單位不止一個(gè)，教學(xué)中，教師應(yīng)采用多種方式，選擇多種素材，開展多維體驗(yàn)，讓學(xué)生在活動中充分感知，多層次體驗(yàn)“一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位”，建立單位量感。如建立1 cm、1 cm2、1 cm3的量感，可以設(shè)計(jì)以下學(xué)習(xí)活動：（1）想一想、畫一畫，把抽象的單位可視化，直觀感知1 cm、1 cm2、1 cm3的大小。（2）找一找、比一比，從身邊找到大約1 cm長的邊、1 cm2大的面、1 cm3大的物體，并與標(biāo)準(zhǔn)單位比一比，幫助學(xué)生建立具體鮮明的表象。（3）估一估、量一量，讓學(xué)生借助頭腦中建立的表象，估測物體邊的長短、面或體的大小，再用標(biāo)準(zhǔn)的1 cm、1 cm2、1 cm3去量一量，驗(yàn)證估測結(jié)果，不斷調(diào)整或修正已有表象。在充分建立1 cm、1 cm2、1 cm3單位量感的基礎(chǔ)上，改變測量對象，讓學(xué)生認(rèn)識到已有標(biāo)準(zhǔn)單位的局限性，產(chǎn)生創(chuàng)造更大標(biāo)準(zhǔn)單位的需求，并通過對不同度量單位大小關(guān)系的比較與運(yùn)用，體會應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選擇合適度量單位進(jìn)行度量的合理性。

（二）在估測和推理中形成量感

1.選擇合適單位，積累測量經(jīng)驗(yàn)

量感還體現(xiàn)在選擇合適的單位進(jìn)行度量及合理地估測度量結(jié)果，可以設(shè)計(jì)與開展不同形式的估測活動，不斷提高估測的準(zhǔn)確度，積累測量活動經(jīng)驗(yàn)。例如，在認(rèn)識面積單位后，重新測量課桌面的面積，教師啟發(fā)學(xué)生思考：選擇什么面積單位測量比較合適？為什么選擇這個(gè)單位？怎樣估測它的面積？引領(lǐng)學(xué)生利用1 dm2的正方形測量并估計(jì)度量結(jié)果。除了用1 dm2的正方形直接測量課桌面的面積，還可以借助非標(biāo)準(zhǔn)參照物間接估測，如借助數(shù)學(xué)書封面的面積來估算，學(xué)生之前用1 dm2的正方形測量出數(shù)學(xué)書封面的面積大約是5 dm2，再以數(shù)學(xué)書封面的面積為新的參照標(biāo)準(zhǔn)，測量出課桌面的面積。最后將估測面積與課桌面實(shí)際面積進(jìn)行對比，初步感知度量工具和方法引起的誤差。以“一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)面積單位”測量估計(jì)，得到幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)面積單位的累加，再以這個(gè)測量結(jié)果作為新的度量標(biāo)準(zhǔn)，去測量更大物體的面積，在這個(gè)過程中，從一個(gè)單位到幾個(gè)單位的累加，既強(qiáng)化了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位的量感，又建立了非標(biāo)準(zhǔn)單位的量感。

2.建立累加量感，感悟度量本質(zhì)

學(xué)生對量的體驗(yàn)，除了需要建立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量感，還需要由一個(gè)單位的認(rèn)識延伸至幾個(gè)單位的累加，體會度量本質(zhì)，建立累加量感。如在認(rèn)識1 cm后，讓學(xué)生在直尺上找一找、指一指4 cm，通過比較發(fā)現(xiàn)，只要包含4個(gè)1 cm就是4 cm。在認(rèn)識面積或體積單位之后，讓學(xué)生用4個(gè)1 cm2的正方形或4個(gè)1 cm3的正方體拼成不同的圖形（如圖3），通過操作、觀察與比較，發(fā)現(xiàn)拼成的圖形不同，但是都包含4個(gè)同樣的標(biāo)準(zhǔn)單位，就是4 cm2或4 cm3。

累加量感的建立還體現(xiàn)在圖形長度、面積、體積計(jì)算的教學(xué)中，無論是圖形的周長、面積還是體積的計(jì)算，其計(jì)算公式的推導(dǎo)源于計(jì)算度量單位的個(gè)數(shù)，即看圖形中包含多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位，體現(xiàn)了度量的本質(zhì)。教學(xué)中，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷測量、推算與推理的過程，感受圖形周長、面積、體積計(jì)算方法的異同，感悟度量方法的一致性（如圖4）。學(xué)生經(jīng)歷了由形到數(shù)再到量的抽象過程，能有效建立累加量感，感悟度量本質(zhì)。

（三）在關(guān)聯(lián)和應(yīng)用中發(fā)展量感

1.整體關(guān)聯(lián)，理解大小關(guān)系

從整體上關(guān)聯(lián)同一屬性量不同度量單位之間的關(guān)系，有助于發(fā)展學(xué)生的量感。如教學(xué)面積單位cm2、dm2、m2之間的進(jìn)率時(shí)，將三個(gè)代表不同面積單位的正方形放在一起直觀比較，引導(dǎo)學(xué)生先估一估，再擺一擺、數(shù)一數(shù)，或借助長度單位換算和面積計(jì)算推算出進(jìn)率。動與靜、形與數(shù)相結(jié)合，促使學(xué)生深入理解并建立不同單位大小關(guān)系的量感。

在教學(xué)體積單位間的進(jìn)率時(shí)，教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、估測、操作、推理的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，從正方體中除了看到體積單位，還能想到以前學(xué)習(xí)的什么單位，由此聯(lián)想到長度單位和面積單位，通過對長度單位、面積單位和體積單位的對比（如圖5），引發(fā)思考：為什么相鄰兩個(gè)體積單位之間的進(jìn)率是1000，而與之對應(yīng)的長度單位和面積單位之間的進(jìn)率分別是10和100？進(jìn)一步體會長度和面積、體積意義的不同，理解度量意義和大小關(guān)系，建立從一維到二維、三維的完整結(jié)構(gòu)，不斷豐富和發(fā)展量感。

2.靈活應(yīng)用，形成整體觀念

長度、面積、體積等可以表示物體不同維度的屬性量，生活中常常需要借助不同度量工具度量或估測物體不同維度的屬性量。如可以開展“設(shè)計(jì)禮品包裝盒”的主題活動，創(chuàng)設(shè)包裝禮品的真實(shí)問題情境，提供各種需要包裝的禮品和不同尺寸的包裝盒，學(xué)生需要靈活應(yīng)用所學(xué)的有關(guān)度量的知識、經(jīng)驗(yàn)和方法，在禮品和包裝盒之間建立大小對應(yīng)關(guān)系，可以從長度、面積、體積等不同維度來估測禮品長短、高矮或大小，選擇合適的包裝盒。也可以分析不同包裝盒的尺寸，以150 mm×150 mm×80 mm為例，有的學(xué)生借助長度單位的換算，得出長方體包裝盒的長、寬、高分別是15 cm、15 cm和8 cm，也有的學(xué)生通過計(jì)算得出這個(gè)包裝盒的體積是1.8 dm3，從整體上把握包裝盒的形狀和大小，估計(jì)所能容納物品的大小，選擇適合包裝的禮品。還可以讓學(xué)生自主選擇需要包裝的禮品，用數(shù)學(xué)的眼光觀察，自主設(shè)計(jì)包裝盒，鼓勵(lì)他們動手測量或估測，畫出相應(yīng)的設(shè)計(jì)圖，并自主檢驗(yàn)、反思與調(diào)整，在開放性設(shè)計(jì)活動中不斷強(qiáng)化和發(fā)展量感。