商環(huán)的McCoy性

宦明蕾，程 智

（安徽師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 蕪湖，241003）

引言

設R是一個有單位元的環(huán)，I是R的一個理想。R[x]表示環(huán)R上的多項式環(huán)。

1942 年，McCoy 在[1］中證明了在交換環(huán)R中，若f(x)是R[x]的一個零因子，其中R[x]是環(huán)R上的多項式環(huán)，則R中一定存在一個非零元素把f(x)零化。1997 年，Rege，Chhawchharia[2］和Nielsen[3］分別介紹了McCoy 環(huán)的概念。若對任意的非零多項式f(x)=都存在非零元素r∈R使得f(x)r=0，則稱R為右McCoy 環(huán)。他們討論了McCoy 環(huán)和其他環(huán)之間的關系。2008 年，Nielsen 在[4］中對McCoy 環(huán)的性質以及McCoy 環(huán)和其他環(huán)之間的關系展開了深入研究。證明了McCoy 環(huán)的直和、直積仍然是McCoy 環(huán)，2007 年，雷震在[5］中給出了McCoy 環(huán)的一些等價刻畫。2013 年，Camillo，Tai 和Lee 在[6］中介紹了右冪零系數(shù)McCoy 環(huán)（簡稱NC-McCoy 環(huán)），若多項式，那么意味著存在一個非零元素r∈R使得f(x)r∈N(R)[x]（N(R)是R的冪零元集）。受[6］的啟發(fā)，Mohammad，Sahebi 和Javadi 在[7］中研究了一個廣義的NC-McCoy 環(huán)。一個環(huán)R被稱為右J-McCoy 的若對任意兩個非零多項式f(x)=滿足f(x)g(x)=0，意味著存在一個非零元素r∈R使得air∈J(R)。J(R)是所有極大理想的交。2021 年，程智，吳晶晶等在[8］中證明，如果一個有限維代數(shù)的商代數(shù)是截斷代數(shù)，那么該代數(shù)是McCoy 環(huán)的充分必要條件是該代數(shù)對應的箭圖沒有源點和匯點。

本文在[9］的基礎上，介紹了與理想I有關的商McCoy環(huán)的概念，給出了商McCoy環(huán)的一些性質，并且討論商McCoy環(huán)和其他環(huán)之間的關系，文中代數(shù)相關概念參見[10-11］。

1 商McCoy環(huán)

定義1.1設R為有單位元的環(huán)，I是R的一個理想。若對任意的多項式f(x)

滿足f(x)g(x)∈I[x]，都存在一個元素r ∈RI使得f(x)r=0，則稱R為與理想I有關的右商McCoy 環(huán)。類似地，可以定義與理想I有關的左商McCoy 環(huán)。若環(huán)R既是與理想I有關的左商McCoy環(huán)，又是與理想I有關的右商McCoy環(huán)，則稱環(huán)R為與理想I有關的商McCoy環(huán)。此外，稱R為商McCoy環(huán)，是指環(huán)R是與任意一個理想I有關的商McCoy環(huán)。

接下來用例1.2證明一個與理想I有關的商McCoy環(huán)的存在性。

例1.2設R=?6并且I=()是R的一個理想。那么環(huán)R是一個與子環(huán)I=()有關的右商McCoy環(huán)。

證明 對于任意的多項式f(x)∈R[x]，g(x)∈R[x]I[x]，若f(x)g(x)∈I[x]，那么存在一個元素r=使得f(x)r=。故R是一個與子環(huán)I=()有關的右商McCoy環(huán)。

眾所周知，交換環(huán)都是McCoy環(huán)，但交換環(huán)未必是商McCoy環(huán)（見例1.3）。

例1.3設R=?4并且I=()是R的一個理想。那么環(huán)R不是一個與子模I=()有關的右商McCoy環(huán)。

證明 設f(x)=+x，g(x)=+x，顯然f(x)g(x)∈I[x]。然而f(x)r=意味著r=或r=，而，都在I中。因此環(huán)R不是一個與子模I=()有關的右商McCoy環(huán)。

對于一個非交換環(huán)R，它可能是一個與理想I有關的商McCoy環(huán)（見例1.4）。

例1.4設R=AQ J3，其中Q= (Q0,Q1)是下面的箭圖：

J3是由所有長度為3的路徑生成的容許理想。令I是由αγ和γβ生成的R的一個子環(huán)。

那么對任意的f(x)∈R[x]，g(x)∈R[x]I[x]，如果f(x)g(x)∈I[x]，g(x)?I[x]意味著存在一個元素r為α2或者β2使得f(x)r=0。

因此R是一個與子環(huán)I有關的右商McCoy環(huán)。

并且通過[10，Example2.5］，可以發(fā)現(xiàn)一個非交換環(huán)可能不是一個商McCoy環(huán)。

命題1.5如果R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)，那么R/I是一個右McCoy環(huán)。

證明對任意的非零多項式f(x)=那 么 滿 足f′(x)g′(x)∈I[x]。由于R是一個與理想I有關的右商McCoy 環(huán)，那么存在一個元素r′∈RI使得f′(x)r′=0。故存在一個非零元素r=r′+I∈R/I使得f(x)r=。

因此，R/I是一個右McCoy環(huán)。

設R=Ri是環(huán)的直積并且I是R的一個理想。顯然，I=Ii。其中Ii是Ri的理想，i=1，2，…，n。

定理1.6環(huán)R=Ri是一個與理想I有關的右（左）商McCoy環(huán)當且僅當Ri是一個與理想Ii有關的右（左）商McCoy環(huán)，i=1，2，…，n。

證明 先證明必要性，假設f1(x)g1(x)∈I1[x]成立對多項式f1(x)∈R1[x]，g1(x)∈R1[x]I1[x]。令f(x)=(f1(x),1,…,1)且g(x)=(g1(x),0,…,0)。顯然f(x)g(x)∈I[x]并且g(x)?I[x]。那么存在一個元素r=(r1,r2,…,rn)∈RI使得f(x)r=0。元素r=(r1,r2,…,rn)?I=I1×I2×…In，表明r1?I1。

因此f1(x)r1=0 并且R1是一個與理想I1有關的右商McCoy 環(huán)。類似地，當i=2,3,…,n時，Ri是一個與理想Ii有關的右商McCoy環(huán)。

再證明充分性，對任意的f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))∈R[x]，g(x)=(g1(x),g2(x),…,gn(x))∈R[x]I[x] 滿 足f(x)g(x)∈I[x]，其 中fi(x),gi(x)∈Ri[x] 當i=1,2,…,n時。 那 么，當i=1,2,…,n時，fi(x)gi(x)∈Ii[x]。

多項式g(x)?I[x]意味著gi(x)?Ii[x]對某個下標i∈[0,n]，那么存在ri∈RiIi使得fi(x)ri=0。因此存在r=(r1,r2,…,rn)∈RI使得f(x)r=0。并且當i=1,2,…,n時，若gi(x)∈Ii[x]則ri∈Ii。故R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)。

若Ri是一個環(huán)且Ii是Ri的一個理想對于i=1,2,…,n，那么

推論1.7當i=1,2,…,n時，若Ri是一個與理想Ii有關的右（左）商McCoy 環(huán)，那么是一個右（左）McCoy環(huán)。

現(xiàn)在回憶一下中國剩余定理。

設R是有單位元的環(huán)，I1,I2,…,In是R的理想。并且當i ≠j 時，Ii+Ij=R。則存在一個環(huán)同構

定理1.8設R是有單位元的環(huán)，Ii是R的一個理想，其中i=1，2，…，n。若R是一個與理想Ii有關的右（左）商McCoy環(huán)，則R是一個與理想有關的右（左）商McCoy環(huán)。

當1≤i ≠j ≤n滿足Ii+Ij=R時，反之成立。

證明 對任意的f(x)∈R[x]，g(x)∈R[x]I[x]，若f(x)g(x)∈[x]，則f(x)g(x)∈Ii[x]并且存在ri∈RiIi使得f(x)ri=0。此外有關的右商McCoy環(huán)。

相反地，若Ii+Ij=R，其中1 ≤i ≠j ≤n 時，根據(jù)中國剩余定理根據(jù)推論1.7，是一個右McCoy環(huán)。因此，當i=1,2,…,n時，R是一個與理想Ii有關的右商McCoy環(huán)。

定理1.9設R是一個環(huán)，I是R的一個理想。那么R是一個與子模I有關的商McCoy 環(huán)當且僅當R[x]是一個與子模I[x]有關的商McCoy環(huán)。

證明 先證明必要性。假設R是一個與子模I有關的商McCoy環(huán)。

設F(y),G(y)∈R[x][y]I[x][y] 滿足F(y)G(y)∈I[x][y]。此時F(y)=f0(x)+f1(x)y+…+

設k=max{pi+qj+1}。其中fi的次數(shù)和F(xk)中多項式的次數(shù)一樣，gj的次數(shù)和G(xk) 中多項式的次數(shù)一樣。因為F(y)G(y)∈I[x][y]，于是F(xk)G(xk)∈I[x]。因為R是一個與子模I有關的商McCoy 環(huán)，那么就存在元素u,v ∈RI使得F(xk)u=0，vG(xk)=0。

因此F(y)u=0并且vG(y)=0。也就是說，R[x]是一個與子模I[x]有關的商McCoy環(huán)。

再證充分性，設f(x)=滿足f(x)g(x)∈I[x]。

因此，R是一個與子模I有關的商McCoy環(huán)。

命題1.10設R是一個與子模I有關的右商McCoy環(huán)并且Δ是R的一個由R的中心正則元組成的乘法封閉的子集。那么Δ-1I是Δ-1R的一個理想并且Δ-1R是一個與理想Δ-1I有關的右商McCoy環(huán)。

證明首先易證Δ-1I是Δ-1R的一個理想。

設f(x)其中αi,βi∈Δ-1R。那么可以設αi=對于任意的ai,bj∈R，u,v ∈Δ。

現(xiàn)在假設f(x)g(x)∈Δ-1I[x]，設f1(x)因為Δ是R的一個由中心正則元組成的乘法封閉的子集，故f1(x)g1(x)∈I[x]。由于R是一個與子模I有關的右商Mc-Coy環(huán)。因此存在一個元素r∈RI使得f1(x)r=0。因為r=∈Δ-1RΔ-1I所以f(x)r=0。因此Δ-1R是一個與理想Δ-1I有關的右商McCoy環(huán)。

在x中的Laurant多項式環(huán)，系數(shù)在環(huán)R中，由所有的形式和組成并且有明顯的加法和乘法，其中ai∈R并且k,n都是整數(shù)。表示為R[x,x-1]，R[x,x-1]的理想可以用I[x,x-1]表示。

推論1.11設R是一個環(huán)，I是R的一個理想。若R[x]是一個與子環(huán)I[x]有關的右商McCoy 環(huán)，那么R[x,x-1]是一個與理想I[x,x-1]有關的右商McCoy環(huán)。

證明設Δ={ 1,x,x2,... }，那么Δ是一個由R[x]的中心正則元組成的乘法封閉的子集。因此R [ x,x-1]=Δ-1R[x]，顯然R[x,x-1]是一個與理想I[x,x-1]有關的右商McCoy環(huán)。

回顧一下，一個環(huán)R稱為abelian的，如果它的每一個冪等元都是中心的。

命題1.12設R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)并且e是R中的一個冪等元。那么eRe是一個與理想eIe有關的右商McCoy環(huán)。如果R是一個abelian環(huán)，則反之成立。

證明設f(x)=滿足f(x)g(x)∈(eIe)[x]。由于R是一個與理想I有關的右商McCoy 環(huán)并且eRe ∈R，eIe ∈I。故存在一個元素r∈RI使得(eaie)r=0。因為eRe={ere|r∈R}并且eIe={eie|i∈I}，故ere ∈eReeIe并且滿足(eaie)(ere)=0。

因此，eRe是一個與理想eIe有關的右商McCoy環(huán)。

反過來，假設eRe是一個與理想eIe有關的右商McCoy 環(huán)。假設f(x)=滿足f(x)g(x)∈I[x]。顯然ef(x)e ∈(eRe)[x]，eg(x)e ∈(eRe)[x](eIe)[x]。并且根據(jù)R是一個abelian 環(huán)可以得到(ef(x)e)(eg(x)e)∈(eIe)[x]。那么存在一個元素ere ∈eReeIe使得(eaie)(ere)=eaire=0。因此air=0。

因此R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)。

設α:R→R是一個環(huán)的自同態(tài)，一個斜多項式環(huán)R[x,α]是給R上的多項式環(huán)加上新的乘法xr=α(r)x得到的環(huán)，其中r∈R。對于環(huán)R[x,α]/(xn)，我們總是考慮n ≥2。并且R[x,α]/(xn)的理想可以寫成I[x,α]/(xn)，其中I是R的一個理想。

命題1.13設R是一個環(huán)且I是R的一個理想。α是R的一個環(huán)自同態(tài)。則R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)當且僅當R[x,α]/(xn)是一個與理想I[x,α]/(xn)有關的右商McCoy環(huán)。

先證明必要性，假設k0(y)≠0并且hk(y)≠0，其中k最小。那么根據(jù)公式（*），k0(y)hk(y)∈I[y]。因此存在一個元素r1∈RI使得k0(y)r1=0，意味著F(y)(r1xn-1)=0。若k0(y)=0，那么F(y)xn-1=0。

因此，R[x,α]/(xn)是一個與理想I[x,α]/(xn)有關的右商McCoy環(huán)。

再證明充分性，設f(y)=滿足f(y)g(y)∈I[y]。由于R[x,α]/(xn) 是一個與理想I[x,α]/(xn) 有關的右商McCoy 環(huán)，那么存在一個多項式h( x)=使得f(y)h(x)=0。設ck0?I，其中k0最小。因此f(y)ck0=0。因此，R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)。

定理1.14設R是一個環(huán)且I是R的一個理想，則下面情況等價。

（1）R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)；

（2）R[x]是一個與理想I[x]有關的右商McCoy環(huán)；

（3）R[x]/(xn)是一個與理想I[x]/(xn)有關的右商McCoy環(huán)；

（4）R[{xα}]是一個與理想I[{xα}]有關的右商McCoy環(huán)，其中{xα}是R上任意一組交換不確定數(shù)。

證明（1）?（2）根據(jù)定理1.9可得。

（1）?（3）根據(jù)命題1.13可得。

（1）?（4）設F(y)∈R[{xα}][y]并且G(y)∈R[{xα}][y]I[{xα}][y]滿足F(y)G(y)∈I[{xα}][y]。那么F(y)∈R[xα1,xα2,…,xαn][y]，G(y)∈R[xα1,xα2,…,xαn][y]I[xα1,xα2,…,xαn][y] 對 于 一 些 有 限 子 集{xα1,xα2,…,xαn}?{xα}。根據(jù)（1）?（2）并通過歸納，環(huán)R[xα1,xα2,…,xαn]是一個與理想I[xα1,xα2,…,xαn]有關的右商McCoy環(huán)，所以存在一個元素h∈R[xα1,xα2,…,xαn]I[xα1,xα2,…,xαn]?R[{xα}]I[{xα}]使得F(y)h=0。因此，R[{xα}]是一個與理想I[{xα}]有關的右商McCoy環(huán)。

（4）?（1）與（2）?（1）類似。

2 商McCoy環(huán)的擴張

設R和S是兩個環(huán)并且M是一個(R,S)-雙模。這意味著(rm)s=r(ms)對任意的r ∈R，m ∈M 和s ∈S。給一個雙模M，可以形成

通過使用形式化的矩陣乘法，在T上定義一個乘法

那么T是一個三角矩陣環(huán)。

取I=其中I1是R的一個理想并且I2是S的一個理想。那么I是T的一個理想。

命題2.1設T=是一個三角矩陣環(huán)，其中R和S是兩個環(huán)并且M是一個(R,S)-雙模。I1是R的一個理想并且I2是S的一個理想，那么T是一個與理想I有關的右（左）商McCoy環(huán)當且僅當R和S分別是一個與理想I1和I2有關的右（左）商McCoy環(huán)。

證明 先證明必要性，設fR(x)=r0+r1x+…+rmxm∈R[x]，gR(x)r′0+r′1x+…+r′nxn∈R[x]I1[x]滿足fR(x)gR(x)∈I1[x]。并且fS(x)=s0+s1x+…+smxm∈S[x]，gS(x)=s′0+s′1x+…+s′nxn∈S[x]I2[x]滿足fS(x)gS(x)∈I2[x]。設

并且

那么fR(x)gR(x)∈I1[x]并且fS(x)gS(x)∈I2[x]意味著f(x)g(x)∈I[x]。由于T是一個與理想I有關的右商McCoy 環(huán)，那么存在一個元素在TI中使得=0 當i=1,2,…,m時。故ric=sid=0。這表明R和S分別是一個與理想I1和I2有關的右商McCoy環(huán)。

再證明充分性，設

并且

是T[x]中兩個多項式滿足f(x)g(x)∈I[x]。設

并且

那么fR(x)gR(x)∈I1[x]并且fS(x)gS(x)∈I2[x]。

由于R和S分別是一個與理想I1和I2有關的右商McCoy環(huán)，那么存在c∈RI1和s∈SI2使得fR(x)c=0并且fS(x)s=0。

因此存在一個元素P=在TI中使得f(x)P=0。

因此，T是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)。

給定一個環(huán)R和一個雙模RMR，R通過M的三角擴張T(R,M)=R⊕M有通常的加法和乘法(r1,m1)(r2,m2)=(r1r2,r1m2+r2m1)。

設T(I,M)=是三角矩陣環(huán)的一個理想，其中I是R的一個理想。

推論2.2 設R是一個環(huán)并且I是R的一個理想。則R是一個與理想I有關的右商McCoy環(huán)當且僅當三角擴張T(R,R)是一個與理想T(I,M)有關的右商McCoy環(huán)。