關(guān)于一類歐拉函數(shù)方程的正整數(shù)解

鄭 惠，王 麗

（1.阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 汶川，6230001；2.柏林溝鎮(zhèn)小學(xué) 四川 昭化，628057）

引言

設(shè)n是正整數(shù)，φ(n)是歐拉函數(shù)，其值等于序列1，2，3，…，n中與n互素的整數(shù)個(gè)數(shù)[1］。歐拉函數(shù)在現(xiàn)代數(shù)論中有重要基礎(chǔ)性和應(yīng)用性。含歐拉函數(shù)的方程也吸引著許多學(xué)者。如文獻(xiàn)[3-4］分別研究含二元?dú)W拉函數(shù)方程φ(mn)=9(φ(m)+φ(n))和φ(xy)=kφ(x)φ(y)的可解性。隨著方程變?cè)龆?，函?shù)關(guān)系越復(fù)雜，分析過(guò)程容易出現(xiàn)瓶頸，文獻(xiàn)[5-6］分別研究三元?dú)W拉方程（1）在K=2，N=6，8時(shí)就出現(xiàn)漏解情況。本文將討論變系數(shù)K、N是正整數(shù)的三元?dú)W拉函數(shù)方程

的可解性，在N是偶數(shù)時(shí)，縮小解的范圍，給出方程（1）在K=2，N=8 時(shí)的全部解，為同類方程求解提供方法參考。

1 主要引理

引理1[5］對(duì)任意正整數(shù)a，b，則有φ(ab)=其中g(shù)cd（a，b）表示a與b的最大公因數(shù).當(dāng)gcd（a，b）=1時(shí)，有φ(ab)=φ(a)φ(b)。

引理2[5］當(dāng)正整數(shù)x＞1時(shí)，有0<φ(x)＜x；當(dāng)x＞2時(shí)，φ(x)為偶數(shù)。

引理3[3］當(dāng)正整數(shù)c與正整數(shù)x有c|x時(shí)，則φ(c)|φ(x)。

引理4[7］若正整數(shù)x=pr11pr22…prkk，則：

引理5[2］若φ(x)=1，x=1，2；若φ(x)=2，x=3，4，6；若φ(x)=4，x=5，8，10，12；若φ(x)=6，x=7，9，14，18；若φ(x)=8，x=15，30，20，16，24；若φ(x)=16，x=17，34，60，40，32，48；若φ(x)=14，x無(wú)正整數(shù)解。

引理6 設(shè)l=gcd（a，b）對(duì)k，n為正整數(shù)的二元方程φ(ab)=kφ(a)φ(b)+n在φ(ab)＞n且L＞k時(shí)可解，其解（a，b）滿足φ(a)|n，φ(b)|n，φ(l)≤n。

證明 由引理2知φ(ab)、kφ(a)φ(b)、n均為正數(shù)，則方程φ(ab)=kφ(a)φ(b)+n可解時(shí)顯然有φ(ab)＞n成立。假設(shè)L≤k時(shí)該方程可解。

引理1得Lφ(a)φ(b)=kφ(a)φ(b)+n，引理3知?a1，b1∈Z+使得a1φ(l)=φ(a)，b1φ(l)=φ(b)?；?jiǎn)可得[l-kφ(l)]b1φ(a)=n或[l-kφ(l)]a1φ(b)=n，易得φ(a)|n，φ(b)|n，φ(l)≤n。進(jìn)一步可化為[lkφ(l)]a1b1φ(l)=n。因?yàn)棣?l)>0，據(jù)假設(shè)知l-kφ(l)≤0，且a1b1φ(l)為正數(shù)，則等式左邊為非正數(shù)，右邊為正數(shù)，顯然矛盾，假設(shè)不成立。故方程在φ(ab)＞n且L＞k時(shí)可解。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)t=gcd（ab，c），方程（1）的全部解（a，b，c）滿足t∈[1,K+N]。若N為偶數(shù)時(shí)，有：

證明 設(shè)ab=x，令T=，顯然T ∈( 0,1 ].引理1知φ(a)φ(b)=Tφ(x)，方程（1）變形為：

由引理3 知，?x1,c1∈Z+，使φ(x)=x1φ(t)，φ(c)=c1φ(t)。可得t=顯然有1≤t≤（KT+N）≤（K+N）。若N為偶數(shù)，我們給出以下6種情況。

情況1 當(dāng)t=1 時(shí)，由式（2）有φ(x)=N+，則N＜φ(x)＜N+2，引理2 知x無(wú)解舍去。故此時(shí)，φ(c)∈接下來(lái)進(jìn)一步討論φ(c)為一些具體值，以便發(fā)現(xiàn)φ(x)和系數(shù)K、N的關(guān)系。

當(dāng)φ(c)=1,2時(shí)，引理5求c值并分別代入變式（2）可以將三元方程（1）化成二元方程。

當(dāng)φ(c)=4 時(shí)，代入變式（2）得φ(x)=同理可得，當(dāng)φ(c)=6 時(shí)，φ(x)=當(dāng)φ(c)=8時(shí)，φ(x)=當(dāng)φ(c)=10時(shí)，φ(x)=同理，當(dāng)φ(c)=N+2時(shí)，φ(x)=至此可見(jiàn)，對(duì)φ(c)分情況討論，可找到φ(x)的取值范圍和系數(shù)K、N的關(guān)系，仿照此例，下面的分析均不再展開(kāi)對(duì)φ(c)分情況討論。

情況2 當(dāng)t=2時(shí)，由式（2）得

情況4 當(dāng)t=4時(shí)，由變式（2）得

情況5 當(dāng)t=5，6，7時(shí)，討論同情況3。即將t值分別代入變式（2）得φ(x)與K，N，T的關(guān)系式。

情況6 當(dāng)t=8時(shí)，由變式（2）

綜上，定理1證畢。

定理2 方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)的所有滿足a≤b的正整數(shù)解為：

（a，b，c）=（10，10，1），（6，12，1），（2，20，3），（2，16，3），（4，8，3），（4，10，3），（5，15，4），（5，20，3），（3，15，4），（3，12，5），（1，17，5），（1，34，5），（1，32，5），（1，48，5），（1，17，8），（1，17，10），（1，17，12），（2，17，5），（3，16，5），（1，13，7），（1，13，9），（1，13，14），（1，13，18），（1，26，7），（1，26，9），（1，28，9），（1，36，7），（2，13，7），（2，13，9），（4，7，9），（4，9，7），（2，8，2），（2，10，2），（2，12，2），（4，6，2），（4，4，2），（3，12，2），（5，10，2），（1，30，4），（2，15，4），（1，16，6），（1，20，6），（3，10，4），（4，5，6），（5，6，4），（3，6，4），（2，12，3），（4，6，3），（1，60，3），（1，48，3），（3，20，3），（3，16，3），（4，15，3），（5，12，3），（1，15，12），（3，5，12），（3，3，15），（3，3，30），（3，3，24），（3，6，15），（1，9，21），（1，9，42），（1，9，36），（1，18，21），（2，9，21），（1，20，4），（1，16，4），（1，24，4），（3，8，4），（4，5，4），（2，10，5），（1，20，15），（1，15，20），（3，5，20），（4，5，15），（1，12，6），（3，4，6），（1，10，10），（2，5，10）。

證明 對(duì)于三元?dú)W拉函數(shù)的方程

由定理1知t∈[1,10]。因方程（3）關(guān)于a，b對(duì)稱，所以可令a≤b。下面對(duì)t的10種情況進(jìn)行討論。

情況1 當(dāng)t=1時(shí)，由定理1知φ(c)=1，2，4，6，8，10。

當(dāng)φ(c)=1 時(shí)，c=1，2.當(dāng)c=1 時(shí)，方程（3）為φ(ab)=2φ(a)φ(b)+8。引理2，5，6 知解滿足L＞2，l＞2，φ(a)=2,4,8，且φ(b)=2，4，8；故φ(a)φ(b)=4，8，16，32，解得（a，b）=（6，12），（10，10）。故（a，b，c）=（6，12，1），（10，10，1）是方程（3）的解。同理，當(dāng)c=2 時(shí)，方程（3）為φ(2ab)=2φ(a)φ(b)+8，引理2，6 知L>2，φ(a)=2,4,8，φ(b)=2,4,8。分析φ(a)φ(b)=4，8，16，32，64均無(wú)解滿足L>2，舍去。故此時(shí)方程無(wú)解。

當(dāng)φ(c)=2 時(shí)，方程（3）化簡(jiǎn)為φ(ab)=φ(a)φ(b)+8，由引理2、6 知有φ(ab)＞8，L>1，顯然l>1，φ(a)=1,2,4,8，φ(b)=1,2,4,8。引理1 將方程變形得，當(dāng)φ(a)=1，φ(b)=1 時(shí)，方程（3）無(wú)解；當(dāng)φ(a)=1，φ(b)=2 時(shí)，L=5，代入計(jì)算a，b無(wú)解。當(dāng)φ(a)=1，φ(b)=4 以及φ(a)=2，φ(b)=2 時(shí)，計(jì)算a，b無(wú)解滿足方程。當(dāng)φ(a)=1，φ(b)=8以及φ(a)=2，φ(b)=4時(shí)，解得（a，b）=（2，30），（2，24），（2，16），（2，20），（4，12），（4，8），（4，10）滿足L=2。當(dāng)φ(a)=2，φ(b)=8 以及φ(a)=4，φ(b)=4 時(shí)，代入解得（a，b）=（3，15），（3，30），（3，24），（6，15）滿足當(dāng)φ(a)=4，φ(b)=8時(shí)，解得（a，b）=（5，15），（5，20），（5，30），（10，15）滿足當(dāng)φ(a)=8，φ(b)=8 時(shí)，計(jì)算a，b無(wú)解滿足以上分析結(jié)合c=3，4，6，t=1，計(jì)算檢驗(yàn)得（a，b，c）=（2，16，3），（2，20，3），（4，8，3），（4，10，3），（3，15，4），（5，20，3），（5，15，4）。

當(dāng)φ(c)=4 時(shí)，由定理1 的證明知8 ＜φ(x)≤16.當(dāng)φ(x)=10 時(shí)，T=無(wú)解；當(dāng)φ(x)=12 時(shí)，T=φ(a)φ(b)=8，由引理2，6判斷l(xiāng)=3，所以（a，b，c）=（3，12，5）；當(dāng)φ(x)=16時(shí)，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=16，解得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，17，5），（1，34，5），（1，32，5），（1，48，5），（1，17，8），（1，17，10），（1，17，12），（2，17，5），（3，16，5）。

當(dāng)φ(c)=6時(shí)，由定理1的證明知8 ＜φ(x)≤12.當(dāng)φ(x)=10時(shí)，T=φ(a)φ(b)=6，l無(wú)解；當(dāng)φ(x)=12時(shí)，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=12，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，13，7），（1，13，9），（1，13，14），（1，13，18），（1，26，7），（1，26，9），（1，28，9），（1，36，7），（2，13，7），（2，13，9），（4，7，9），（4，9，7）。

當(dāng)φ(c)=8時(shí)，由定理1的證明知8 ＜φ(x)≤10，得φ(x)=10，T=φ(a)φ(b)=8，根據(jù)引理2和引理6得l=5，與16|φ(a)φ(b)矛盾，舍去。故此時(shí)方程無(wú)解。

當(dāng)φ(c)=10時(shí)，定理1的證明知8 ＜φ(x)≤10，得φ(x)=10，T=l=1，φ(a)φ(b)=10，經(jīng)計(jì)算無(wú)a，b滿足t=1，舍去。故此時(shí)方程無(wú)解。

情況2 當(dāng)t=2時(shí)，由定理1知φ(c)=1,2。

當(dāng)φ(c)=1 時(shí)，則c=2。方程（3）為φ(ab)=φ(a)φ(b)+4。定理1 知φ(ab)＞4，L>1，φ(a)|4，φ(b)|4。分析φ(a)φ(b)=1，2方程（3）均無(wú)解。φ(a)φ(b)=4，代入φ(ab)=φ(a)φ(b)+4知此時(shí)L=2，解得（a，b）=（2，8），（2，10），（2，12），（4，4），（4，6），φ(a)φ(b)=8。同理可得L=解得（a，b）=（3，12）。φ(a)φ(b)=16。同理可得L=解得（a，b）=（5，10）。經(jīng)檢驗(yàn)得（a，b，c）=（2，8，2），（2，10，2），（2，12，2），（4，4，2），（4，6，2），（3，12，2），（5，10，2）。

當(dāng)φ(c)=2 時(shí)，則φ(x)=因2-T∈[ 1,2 )，于 是4 ＜φ(x)≤8。當(dāng)φ(x)=6 時(shí)，T=φ(a)φ(b)=4，l=3，得（a，b，c）=（3，6，4）；φ(x)=8 時(shí)，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，30，4），（2，15，4），（1，16，6），（1，20，6），（3，10，4），（4，5，6），（5，6，4）。

情況3 當(dāng)t=3時(shí)，由定理1知φ(c)=2,4,6,8,10,12。

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(x)=，因3-2T∈[ 2,3 )，故5 ＜φ(x)≤16。由引理4、5知φ(x)=8，16；當(dāng)φ(x)=8 時(shí)，T=，φ(a)φ(b)=4，l=2，4。得（a，b，c）=（2，12，3），（4，6，3）；當(dāng)φ(x)=16 時(shí)，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=16，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，60，3），（1，48，3），（3，20，3），（3，16，3），（4，15，3），（5，12，3）。

當(dāng)φ(c)=4 時(shí)，φ(x)=，3-T∈[ 2,3 )，5 ＜φ(x)≤8。若φ(x)=6，T=，φ(a)φ(b)=2，l=6，與引理3矛盾；若φ(x)=8，L=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，15，12），（3，5，12）。

當(dāng)φ(c)=6時(shí)，φ(x)=同理可得φ(x)=6，T=，φ(a)φ(b)=6，l=2，經(jīng)計(jì)算a，b無(wú)解。

當(dāng)φ(c)=8 時(shí)，φ(x)=同理6-T∈[ 5,6 )，φ(x)=6。T=φ(a)φ(b)=4，l=3，得方程（3）的解為（a，b，c）=（3，3，15），（3，3，30），（3，3，24），（3，6，15）。

當(dāng)φ(c)=10時(shí)，引理5解得c無(wú)滿足t的解，舍去。故此時(shí)方程無(wú)解。

當(dāng)φ(c)=12時(shí)，則φ(x)=因9-T∈[ 8,9 )，知φ(x)=6，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=6，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，9，21），（1，9，42），（1，18，21），（2，9，21）。

情況4 當(dāng)t=4 時(shí)，定理1 知φ(c)=2。代入方程（3）得φ(x)=，2-T∈[ 1,2 )，4<φ(x)≤8。當(dāng)φ(x)=6 時(shí)，計(jì)算得T=，φ(a)φ(b)=4，l=3，無(wú)ab滿足t=4，舍去；當(dāng)φ(x)=8 時(shí)，計(jì)算出T=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，20，4），（1，16，4），（1，24，4），（3，8，4），（4，5，4）。

情況5 當(dāng)t=5 時(shí)，由方程（3）計(jì)算得φ(x)=6+當(dāng)φ(c)＞8 時(shí)，x無(wú)解。故當(dāng)t=5時(shí)，討論φ(c)=4,8。

當(dāng)φ(c)=4，則φ(x)=，5-2T∈[ 3,5 )，6 ＜φ(x)≤10。當(dāng)φ(x)=8 時(shí)，T=，φ(a)φ(b)=4，得l=2，4.計(jì)算檢驗(yàn)得（a，b，c）=（2，10，5）滿足方程（3）；當(dāng)φ(x)=10時(shí)，引理4知T無(wú)意義。

當(dāng)φ(c)=8，則φ(x)=，5-T∈[ 4,5 )，知φ(x)=8，T=1，l=1，φ(a)φ(b)=8，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，20，15），（1，15，20），（3，5，20），（4，5，15）。

情況6 當(dāng)t=6 時(shí)，方程（3）化簡(jiǎn)得φ(x)=2+如果φ(c)>4，那么x無(wú)解。故t=6時(shí)，討論φ(c)=2,4。

當(dāng)φ(c)=2，則φ(x)=，3-T∈[ 2,3 )，知φ(x)=4。T=1，l=1，φ(a)φ(b)=4，得（a，b，c）=（1，12，6），（3，4，6）滿足方程（3）。若φ(c)=4，則φ(x)=，6-T∈[ 5,6 )，知2 ＜φ(x)＜4，x無(wú)解舍去。

情況7 當(dāng)t=7 時(shí)，由方程（3）化簡(jiǎn)得φ(x)=6+因c≥7，φ(c)＞3，知6 ＜φ(x)＜12，此時(shí)x無(wú)解，舍去。

情況8 當(dāng)t=8時(shí)，由定理1知N=8時(shí)，方程4 ＜φ(x)＜8，x無(wú)解，舍去。

情況9 當(dāng)t=9時(shí)，方程（3）化簡(jiǎn)得φ(x)=6+如果φ(c)＞12，那么x無(wú)解。故當(dāng)t=9時(shí)，討論φ(c)=6,12。

當(dāng)φ(c)=6，則φ(x)=9-2T∈[ 7,9 )，φ(x)=6。φ(a)φ(b)=3，引理2 知a，b無(wú)解舍去。當(dāng)φ(c)=12，則φ(x)=，9-T ∈[ 8,9 )，φ(x)=6。T=1，l=1，φ(a)φ(b)=6，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，9，36）。

情況10 當(dāng)t=10時(shí)，方程（3）化簡(jiǎn)得φ(x)=3+如果φ(c)＞4，那么x無(wú)解。又因?yàn)閏≥10，故得φ(c)=4，φ(x)=，5-T∈[ 4,5 )，φ(x)=4。T=1，l=1，φ(a)φ(b)=4，得方程（3）的解為（a，b，c）=（1，10，10），（2，5，10）。

綜上，得到方程（3）的79組全部正整數(shù)，定理2證明完畢。