用角的關(guān)系,求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)

甘肅省武威第十中學(xué)(733000) 鄭利年 陳國(guó)玉

二次函數(shù)為載體的與角度有關(guān)的這類問(wèn)題,是近幾年中考的熱點(diǎn)之一,這類題綜合性強(qiáng),有利于提高同學(xué)們的解題能力. 下面將這類問(wèn)題中的常見(jiàn)題型歸納如下,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

1 用特殊角求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)

例1如圖1,已知頂點(diǎn)為C(0,-3)的拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B,直線y=x+m過(guò)頂點(diǎn)C和B.

(1)求函數(shù)y=ax2+b的解析式;

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得∠MCB= 15°,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析: (1)先將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x+m中即可求出m的值,再求出直線y=x+m與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo),然后將B,C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+b中,利用方程組即可求出解析式;(2)分M在點(diǎn)B的上方或下方兩種情況. 利用特殊角,求出直線CM與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線CM的解析式,聯(lián)立解析式y(tǒng)=ax2+b,即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

解: (1) 將C(0,-3) 代入y=x+m, 得m= -3; 直線y=x-3 與x軸交于點(diǎn)B, 當(dāng)y= 0 時(shí)可得x= 3,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),將(3,0),(0,-3)代入y=ax2+b中得∴二次函數(shù)的解析式為

(2) 存在, 如圖2, ∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC,∴∠OCB=45°. 分以下兩種情況:

2 用兩角相等,求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)

例2如圖3, 直線y= -x+3 與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn),拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C,與x軸的另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式;

(2) 在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P, 使得∠APB= ∠OCB? 若存在, 求出P點(diǎn)坐標(biāo); 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析: (1) 先利用方程求出點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo), 代入y= -x2+bx+c中即可求得解析式;(2)分P在x軸上方或下方兩種情況討論. 由題意可知ΔBOC是等腰直角三角形,得到∠APB=45°,通過(guò)構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理建立方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)直線y=-x+3 與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn),則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,3),將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=-x2+bx+c解析式,得解得故函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3;

(2)存在. 因?yàn)锳點(diǎn)與B點(diǎn)(3,0)關(guān)于直線x= 1 對(duì)稱,所以點(diǎn)A(-1,0)

3 用兩角和的關(guān)系,求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)

例3如圖5, 已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C. 其中A(-6,0),B(2,0),C(0,3),連接AC,BC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F,使得∠FAC+∠FCA= 90°? 若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由[2].

分析: (1)利用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)即可求得解析式;(2)使得∠FAC+∠FCA= 90°,聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角為90°”和“直角三角形中,兩銳角互余.”可以AC為直徑作圓,與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為F結(jié)合勾股即可求解.

解: (1) 拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B, 設(shè)其解析式為y=a(x-x1)(x-x2), 將A(-6,0),B(2,0) 代入, 得y=(x+6)(x-2),再將C(0,3)代入,解得所以拋物線的解析式為

4 用兩角倍的關(guān)系,求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)

例4已知二次函數(shù)y=ax2+bx+6 的圖像開(kāi)口向下,與x軸交于點(diǎn)A(-6,0)和點(diǎn)B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式;

(2)如圖7,該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D,在該函數(shù)圖像上是否存在點(diǎn)E,使得∠EAB=2∠DAC,若存在請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析: (1)將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,求得a,b的值,即可得到解析式;

(2) 根據(jù)勾股逆定理證得∠ACD= 90°, 延長(zhǎng)DC至G, 使CG=DC, 連接AG, 過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AG, 得到∠DAG= 2∠DAC, 利用面積法求出DH的長(zhǎng), 再求得sin ∠DAG= sin ∠EAB,進(jìn)而得出tan ∠EAB,利用一次函數(shù)的性質(zhì)得到一次函數(shù)的解析式,再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組即可求解.

總之,以二次函數(shù)為載體的角度相關(guān)問(wèn)題,通常要構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理建立方程求解;或利用三角函數(shù)求出一次函數(shù)的解析式,再聯(lián)立拋物線的函數(shù)式,通過(guò)解方程組求解;或通過(guò)特殊角構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.