基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式初探*
——以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課時為例

福建省廈門市廈門實驗中學(xué)(361100) 杜曉歡

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 年版2020 年修訂)指出: 在教學(xué)實踐中,要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式,不僅重視如何教,更要重視如何學(xué),引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣;要努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,促使更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué). 因此本文提出了“啟智”課堂教學(xué)模式,希望能夠啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧,并試圖為高中數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)提供可以參考的實操方法和案例,幫助教師在新教材和新課標(biāo)的背景下盡快跟上節(jié)奏,更好地組織課堂教學(xué),應(yīng)對新高考.

1 模式緣起

“啟智”課堂的教學(xué)模式充分借鑒了深度學(xué)習(xí)的相關(guān)理論,而深度學(xué)習(xí)的提出,既是對教學(xué)規(guī)律的尊重,也是對時代挑戰(zhàn)的主動回應(yīng). 深度學(xué)習(xí)是落實核心素養(yǎng)的重要途徑,是信息時代對知識教學(xué)的反思和改進. 深度學(xué)習(xí)的研究與實踐,確立了學(xué)生個體經(jīng)驗與人類歷史文化的相關(guān)性,落實了學(xué)生在教學(xué)活動中的主體地位,使學(xué)生能夠在教學(xué)活動中模擬性地“參與”人類社會歷史實踐,形成有助于未來發(fā)展的核心素養(yǎng),而教師的作用與價值也在深度學(xué)習(xí)中得以充分實現(xiàn). 實施“啟智”課堂的教學(xué)模式后,教師能更好地引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí),達到課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.

2 模式架構(gòu)

“啟智”課堂的教學(xué)模式架構(gòu)是一顆“智慧果”(如圖1),其中教學(xué)環(huán)境是“智慧果葉”,為整個教學(xué)的展開提供客觀條件的支持;問題串是“智慧果核”,是課堂的核心組織形式,是一個循環(huán)設(shè)計“問題——追問”的過程;“明暗兩線”是“智慧果肉”,使得整個課堂更豐富飽滿深刻. 教學(xué)環(huán)境、問題串和“明暗兩線”三位一體,不可分割,強調(diào)深度學(xué)習(xí)的性質(zhì):教師引導(dǎo)下的教學(xué),形成了一顆完美的“智慧果”,促進學(xué)生發(fā)展,實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)過程. 所以“啟智”課堂教學(xué)模式應(yīng)用的關(guān)鍵就是布局“明暗兩線”,設(shè)計問題串.

圖1 “啟智”課堂教學(xué)模式架構(gòu)

3 理論背景

對于布局“明暗兩線”,人教版高中數(shù)學(xué)教材主編章建躍博士指出教學(xué)過程要布局明暗兩線,明線一般是從內(nèi)容角度給出的“基本套路”,以明線為載體,在內(nèi)容中反映出數(shù)學(xué)的思想和方法,明線中蘊含著暗線. 而對于設(shè)計問題串,美國心理學(xué)家布魯納指出:“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動,思維永遠是從問題開始的.”通過這一系列高質(zhì)量的問題,幫助學(xué)生“親身”經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過程,使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體.

4 實施策略

對于布局“明暗兩線”,一般以“事實——概念——性質(zhì)(關(guān)系)——結(jié)構(gòu)(聯(lián)系)——應(yīng)用”為明線,以“事實——方法——方法論——數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線. 而對于設(shè)計問題串,循環(huán)設(shè)計“問題——追問”,不僅要問得好而且還講究串得好,問題需要具有一定的挑戰(zhàn)性,循序漸進、逐步深入,能夠促進學(xué)生自覺地思考,體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的過程: 讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

5 模式應(yīng)用

本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課時為例,具體談?wù)劇皢⒅恰闭n堂教學(xué)模式的應(yīng)用.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是“橢圓”單元的第一個課時,圓錐曲線是學(xué)生在過去沒有研究過的幾何圖形,橢圓的概態(tài)與性質(zhì)是圓錐曲線的代表性內(nèi)容,雙曲線、拋物線的內(nèi)容與它同構(gòu),“橢圓”的內(nèi)容架構(gòu)、研究過程和思想方法與“直線和圓的方程”基本一致. 與圓的定義一樣,橢圓的定義是基于運動軌跡的,其要點是“平面內(nèi)到兩個定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡”,設(shè)法讓學(xué)生體驗定義所蘊含的完美的數(shù)形結(jié)合思想,可以全面提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識水平,形成新的數(shù)學(xué)學(xué)科視角, 提高數(shù)學(xué)表達的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性,在此過程中,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)也就得到了提升.

通過本課時的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用,經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程. 學(xué)生能通過觀察用平面截圓錐的過程,直觀認識截口曲線的形狀是圓或圓錐曲線,能通過實例,說明橢圓在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用. 學(xué)生能從畫橢圓的過程中抽象出橢圓的幾何特征,給出橢圓的定義;能根據(jù)橢圓的幾何特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,進一步體會坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想. 學(xué)生能用橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些數(shù)學(xué)問題和簡單的實際問題,進一步體會坐標(biāo)法的重要作用.

本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)包括物理環(huán)境、虛擬環(huán)境和人文環(huán)境, 三者共同支撐課堂的順利進行. 整個課堂教學(xué)以“現(xiàn)實背景——曲線的概念——曲線的方程——曲線的性質(zhì)——實際應(yīng)用(如圖2)”為明線,以“任何問題——數(shù)學(xué)問題——代數(shù)問題——方程求解”為暗線. 問題串包括以下四個主問題及若干追問,四個主問題具體是: 類比直線和圓的方程的研究過程,你認為我們應(yīng)按怎樣的路徑研究圓錐曲線. 取一條定長的細繩,把它的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出的軌跡是什么曲線. 有了橢圓的定義,接下來要合理地建立坐標(biāo)系,推導(dǎo)橢圓的方程,觀察橢圓的形狀,你認為怎樣建立坐標(biāo)系可使所得的橢圓方程形式簡單. 如果橢圓的焦點位于軸上,與的意義同上,那么橢圓的方程是什么? 你能不做具體推導(dǎo)就得出結(jié)論嗎?

圖2 課堂教學(xué)“明線”示意圖

為了更好地應(yīng)用“啟智”課堂教學(xué)模式,鑒于橢圓的幾何特征比圓復(fù)雜,雖然學(xué)生剛剛學(xué)過直線和圓的方程,但是對于從哪個角度入手抽象橢圓的幾何特征會出現(xiàn)困惑,并且建立合適的坐標(biāo)系才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,這里的“合適”是指充分利用了橢圓的幾何特征,特別是對稱性,但是學(xué)生在這方面的經(jīng)驗不多、意識不強. 在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代,信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深刻影響,信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段,因此本節(jié)課充分發(fā)揮了信息技術(shù)及橢圓教具(如圖3)的作用,利用信息技術(shù)展示橢圓在現(xiàn)實中的廣泛應(yīng)用,使學(xué)生感受學(xué)習(xí)橢圓的必要性;利用幾何畫板或小視頻演示用平面截圓錐得到圓錐曲線的過程、橢圓的生成過程及例題中點的運動軌跡,一方面可以提高教學(xué)效率,另一方面可以幫助學(xué)生形成橢圓的直觀形象;通過教具畫出橢圓,觀察作圖過程,可以讓學(xué)生真實地感受到“動點到兩個定點的距離之和為常數(shù)”這個橢圓的幾何特征,為抽象橢圓的幾何特征、得出橢圓的定義提供基礎(chǔ).

圖3 橢圓教具

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”這一課時通過一系列引領(lǐng)性、具有挑戰(zhàn)性的問題展開,整個課時的設(shè)計結(jié)合明線布暗線,為學(xué)生營造一種開放式的教學(xué)環(huán)境,最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),實現(xiàn)人的全面發(fā)展(如圖4).

圖4 “啟智”課堂教學(xué)設(shè)計示意圖

“啟智”課堂教學(xué)模式有很好的可預(yù)期的育人成效,在實施過程中,通過布局明暗兩線,設(shè)計問題串,在主問題和追問的探究與解決過程中,幫助學(xué)生樹立問題意識,提高問題解決能力,進而優(yōu)化思維品質(zhì),全面提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識水平,形成新的數(shù)學(xué)學(xué)科視角,培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng),進而實現(xiàn)全面發(fā)展,達到深度學(xué)習(xí)的任務(wù)與目的: 培育未來社會實踐的主人,促進學(xué)生作為具體的社會歷史實踐主體的成長和發(fā)展(如圖5),落實立德樹人根本任務(wù).

圖5 育人成效示意圖