“直觀想象”素養(yǎng)下的立體幾何最值問(wèn)題求解策略

摘 要：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段.文章基于直觀想象的立體幾何最值問(wèn)題的解決，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化，空間圖形平面化，幾何問(wèn)題代數(shù)化，加強(qiáng)了問(wèn)題的可視化、可解化，推動(dòng)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：直觀想象；化動(dòng)為靜；化曲為平；化折為直；化形為數(shù)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）22-0034-03

立體幾何，其核心是“立體”問(wèn)題與“幾何”問(wèn)題，其本質(zhì)是平面幾何的三維化，是代數(shù)問(wèn)題的幾何化.立體幾何的考查中常常涉及距離、角度、面積和體積等最值問(wèn)題，此類最值問(wèn)題的考查，往往與其他多個(gè)模塊的知識(shí)融合交匯，如平面幾何、函數(shù)、向量等，因此備受命題者青睞.此類問(wèn)題的求解，不僅需要豐富的空間想象能力、扎實(shí)穩(wěn)定的運(yùn)算能力，還需靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等方法將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化、空間問(wèn)題平面化、幾何問(wèn)題代數(shù)化.這些等價(jià)轉(zhuǎn)化都是建立在學(xué)生對(duì)空間幾何體的精準(zhǔn)認(rèn)識(shí)、熟練認(rèn)知的基礎(chǔ)上，同時(shí)要求學(xué)生必須具備“直觀想象”素養(yǎng).

1 借助直觀想象，動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).正如史寧中教授所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的結(jié)論常常是‘看出來(lái)的，不是‘證出來(lái)的.這種‘看依賴的就是數(shù)學(xué)直觀.直觀不是‘教出來(lái)的，而是學(xué)生自己‘悟出來(lái)的，這就需要經(jīng)驗(yàn)積累.”

教材，便是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)萌生的搖籃.新課標(biāo)新要求下的新高考，對(duì)立體幾何問(wèn)題的命制充分體現(xiàn)了以各版本教材為基礎(chǔ)，將核心素養(yǎng)融入試題.因此，教學(xué)時(shí)教師應(yīng)充分利用好教材中的例題和習(xí)題，深度挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

鏈接教材 （人教A版必修二119頁(yè)練習(xí)第3題）將一個(gè)棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為.

解析 當(dāng)球與正方體內(nèi)切時(shí)體積最大，為36πcm3.

評(píng)析 從問(wèn)題表象看是一個(gè)將正方體磨制成球體、從外向內(nèi)、削棱去角的過(guò)程，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)可以看成正方體內(nèi)部有一個(gè)球，不斷膨脹后達(dá)到極限狀態(tài)——與正方體的六個(gè)面均相切，即為正方體的內(nèi)切球時(shí)不能再膨脹.

這是一個(gè)借助幾何直觀，通過(guò)尋找臨界狀態(tài)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題，即“化動(dòng)為靜”的過(guò)程.

案例1 已知四面體ABCD的棱長(zhǎng)滿足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，現(xiàn)將四面體ABCD放入一個(gè)軸截面為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓錐側(cè)面積的最小值為.

解析 由題意可得：使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)且圓錐側(cè)面積最小時(shí)的臨界狀態(tài)即為四面體的外接球，也恰為圓錐的內(nèi)切球.要解決本題則需要解決兩個(gè)靜態(tài)問(wèn)題：（1）四面體的外接球半徑R；（2）圓錐的內(nèi)切球半徑為R時(shí)求圓錐的側(cè)面積.首先解決第一個(gè)問(wèn)題：這個(gè)四面體的特征——對(duì)棱相等，這一特征我們可以借助構(gòu)造“長(zhǎng)方體”模型的方法來(lái)直觀求解外接球的半徑.設(shè)長(zhǎng)方體三條側(cè)棱長(zhǎng)為a，b，c，則a2+b2=4，b2+c2=4，c2+a2=1，三式相加得a2+b2+c2=92，故外接球半徑為R=324.再來(lái)解決第二個(gè)問(wèn)題：軸截面為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2r，所以圓錐的內(nèi)切球半徑即為等邊三角形內(nèi)切圓半徑，由13×32×2r=324，解得r=364，所以圓錐的側(cè)面積為S=12×2πr×2r=2πr2=27π4.

2 借助直觀想象，空間圖形平面化

空間問(wèn)題平面化即降維是處理立體幾何問(wèn)題的一種重要的思想方法．空間問(wèn)題平面化，就是將空間的點(diǎn)、線、面的關(guān)系平鋪到同一平面上進(jìn)行研究，在這個(gè)平面中將已知和目標(biāo)的各個(gè)元素串聯(lián)在一起，通過(guò)研究各元素間的關(guān)系，使得空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.

案例2 已知某圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，則該圓錐的體積為.設(shè)線段AB為該圓錐底面圓的一條直徑，一質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)，沿著該圓錐的側(cè)面運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后再沿側(cè)面回到點(diǎn)A，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的最短長(zhǎng)度為.

解析 （1）利用圓錐的軸截面可求得高為32-1=22，所以圓錐體積V=13Sh=13π×12×22=223π.

（2）設(shè)圓錐頂點(diǎn)為S，沿著母線SA將圓錐的一半側(cè)面展開(kāi)，可得側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角∠ASB=π3的扇形，在正△ASB中，從A到B的弦長(zhǎng)為3，故所求最短路徑為6.

評(píng)析 曲面上路徑最短問(wèn)題，可以借助平面上的常用結(jié)論——兩點(diǎn)間距離線段最短，借助幾何轉(zhuǎn)化，將曲面問(wèn)題化為平面問(wèn)題——化曲為平.既然有化曲為平，那折線段最短問(wèn)題又怎么解決？

案例3 （多選）如圖1所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，P是A1B上的一動(dòng)點(diǎn)，則（）.

解析 （1）求DP的最小值即求點(diǎn)D到線段A1B的距離，在等腰△A1BD中利用等面積即可求，選A.

（2）解決折線段和最小問(wèn)題，教師可先給出如下引導(dǎo)問(wèn)題：

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)度為.

將平面ABB1A1和平面BCC1B1沿BB1展開(kāi)，則最短路徑為線段AC1的長(zhǎng)度，為22.

再來(lái)解決題設(shè)問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在A1B上運(yùn)動(dòng)，A1B是平面ABA1和平面A1BC1的交線，因此將平面ABA1和平面A1BC1沿A1B展開(kāi)，AP+PC1的最小值即為線段AC1的長(zhǎng).如圖2，AB=1，A1C1=2，

評(píng)析 折面上路徑和最短問(wèn)題，依然可以類比前面已經(jīng)解決了的曲面上線段最短問(wèn)題的解決策略——化折為直.將折面沿交線展開(kāi)平鋪，這樣折線段最短就可以轉(zhuǎn)化為直線段長(zhǎng)度和的問(wèn)題，此轉(zhuǎn)化可以將立體幾何問(wèn)題化歸為平面幾何問(wèn)題.

3 借助直觀想象，幾何問(wèn)題代數(shù)化

代數(shù)重點(diǎn)研究數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算理論和方法；幾何主要研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì).代數(shù)與幾何相輔相成，融為一體.通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸，我們可將立體幾何的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，借助函數(shù)求出最值.

案例4 已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是.

解法2 建立以正四棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為變量的函數(shù)求最值：設(shè)底面中心為M，球心為O，外接球的半徑為R，設(shè)OP=OA=R，則由43πR3=36π，解得R=3.由（PM-3）2+MA2=9，得PM2-6PM+9+MA2=9，即PM=l26，MA2=l2-l436，即AC2=4l2-l49.故正四棱錐體積V=13×（2l2-l418）×l26=1324（36l4-l6）.令f（x）=1324（36x2-x3），x∈［9，27］，則f ′（x）=1324（72x-3x2）.令f ′（x）=0，解得x=24.從而由函數(shù)f（x）在［9，24）上單調(diào)遞增，在（24，27］上單調(diào)遞減，知V∈［274，643］.

評(píng)析 該題考查的是錐體體積的取值范圍的求解問(wèn)題，可以引入兩個(gè)變量，借助兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系先消元，再通過(guò)求導(dǎo)判斷出目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性，從而求出目標(biāo)函數(shù)的值域，即將幾何問(wèn)題代數(shù)化來(lái)解決立體幾何中的最值問(wèn)題.

基于直觀想象的立體幾何最值問(wèn)題的解決，改變了原有問(wèn)題的抽象狀態(tài)，將問(wèn)題具體化、形象化，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中不再是面臨冰冷的數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形，而是通過(guò)直觀想象加強(qiáng)了問(wèn)題的可視化、可解化，使學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中推動(dòng)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)的培養(yǎng).因此，立體幾何教學(xué)中，我們應(yīng)該繼續(xù)專研教材教法，重視知識(shí)的交匯，將直觀想象落到實(shí)處，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，讓想象與推理并重，幾何與代數(shù)齊飛.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 岳峻，楊憶婷.數(shù)學(xué)可視化：提升直觀想象素養(yǎng)的有效途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（22）：25-28.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡(jiǎn)介：王芬芬（1982.11-），女，江蘇省南京人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.