四省聯(lián)考解析幾何試題的分析與思考

摘 要：分析2023年新高考適應(yīng)性考試中的解析幾何試題，探究了常見解題思路與解法，做出相應(yīng)的方法歸納與總結(jié)，針對(duì)后期復(fù)習(xí)備考提出教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：四省聯(lián)考；解析幾何；復(fù)習(xí)備考

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）22-0030-04

2023年2月，為加強(qiáng)教考銜接，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡，針對(duì)2023年云南、吉林、黑龍江、安徽四個(gè)省的高考考生使用新課標(biāo)老高考的情況，教育部教育考試院命制了適應(yīng)性測試卷，供2023年考生進(jìn)行適應(yīng)性考試（下文稱“四省聯(lián)考”）.這是數(shù)學(xué)新高考模式在云南省的首次大規(guī)模亮相，意義非凡.本次試題以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》為依據(jù)，考查了學(xué)生的關(guān)鍵能力，突出思維品質(zhì)與創(chuàng)新精神；注重學(xué)用結(jié)合，創(chuàng)設(shè)真實(shí)靈活情境；命題設(shè)問更具開放性與探究性.整份試卷充分發(fā)揮高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，對(duì)后期的復(fù)習(xí)備考將起到積極而深遠(yuǎn)的引導(dǎo)作用.

1 試題結(jié)構(gòu)分析

解析幾何類試題在四省聯(lián)考試卷中一共有4道，其中單選題、多選題、填空題和解答題各有一道，合計(jì)27分，占整張?jiān)嚲淼姆种当壤秊?8%.這幾道試題涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有圓的參數(shù)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與拋物線的位置關(guān)系、直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及解析幾何與三次函數(shù)、三角函數(shù)的融合.試題結(jié)構(gòu)明了，重在檢測考生的四基、四能的發(fā)展水平.具體分布見表1.

解析 以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例（焦點(diǎn)在y軸時(shí)的情形與此時(shí)一致）.如圖1，若A，C為橢圓D的長軸端點(diǎn)，此時(shí)△ABC必是鈍角三角形，這是由于a>b，∠OBC>45°，可知∠ABC>90°，不符合題意.如圖2，由于A，B，C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn)，且△ABC是正三角形，因?yàn)?b=a2+b2，所以a2=3b2，即b2a2=13，故而e=ca=1-b2a2=63，故選C.

評(píng)析 本題是一個(gè)橢圓離心率求解的問題，可視為人教A版選修一139頁第10題的一個(gè)變式，試題如下：已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px（p>0）上，求這個(gè)等邊三角形的邊長.

對(duì)于四省聯(lián)考的這道試題，題目給出的條件是需要我們分類討論研究問題的，題干給出了三個(gè)頂點(diǎn)，但沒有明確是哪些頂點(diǎn)，這里就可以分為“有兩個(gè)長軸頂點(diǎn)”和“有兩個(gè)短軸頂點(diǎn)”這兩種情況進(jìn)行分析.除去考慮分類討論這點(diǎn)之外，本題難度不大，因?yàn)榻o出的是頂點(diǎn)的關(guān)系，自然可以很容易找到橢圓中a和b的關(guān)系.

對(duì)于四省聯(lián)考的這道試題，首先P，Q兩點(diǎn)是不相關(guān)的兩個(gè)變量，處理的思路必然是“固定一個(gè)，變化一個(gè)”.這里可先認(rèn)為點(diǎn)P是定點(diǎn)，那么|PQ|的最小值就變成了“圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值”，這種問題就可以利用三角不等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離求解，該距離減去半徑就是距離最小值了.接下來問題就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到圓心的距離最小值，此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化為“拋物線上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離最值”.

本文提供了兩種解題方法，一種比較直接，就是純代數(shù)方式處理，即設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，之后表達(dá)線段的長度并求解最值.線段長度表達(dá)式的核心部分是一個(gè)四次函數(shù)，求導(dǎo)后為三次函數(shù)，考生需要進(jìn)行因式分解來判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)進(jìn)而求解最值.而如何因式分解是本題的一個(gè)難點(diǎn)，可以教學(xué)生如下思考：由2x3+x-3的系數(shù)和為零，可知該三次多項(xiàng)式必然存在因式x-1，從而可將-3拆成-1和-2，即2x3-2+x-1，再根據(jù)試卷第22題給出的立方差公式得2（x-1）（x2+x+1）+（x-1），到此便可實(shí)現(xiàn)因式分解.對(duì)于系數(shù)和不為零的整系數(shù)多項(xiàng)式因式分解，讀者可參考以下定理.

評(píng)析 本題可視為2008年安徽高考卷第22題的一個(gè)變式.解題的核心思想是將線段比轉(zhuǎn)化為共線向量處理，類似的思路出現(xiàn)于2021年全國Ⅰ卷的解析幾何題，蘊(yùn)含了命題人對(duì)命制試題的理解，具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性.用向量的數(shù)量積運(yùn)算，能很快剝離出運(yùn)算式的韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu)，整合分類討論.不足之處是計(jì)算量較大.

3 高考復(fù)習(xí)啟示

3.1 夯實(shí)基礎(chǔ)，提升思維

從本次四省聯(lián)考的解析幾何試題來看，試題傾向于考查考生的邏輯推理能力，有著“送分題少、中檔題目占比大、難題梯度明顯”的特點(diǎn)，而且在中檔題目上強(qiáng)調(diào)更加靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能.在復(fù)習(xí)備考時(shí)，首先讓學(xué)生牢固掌握直線、圓和圓錐曲線的相關(guān)概念，熟悉基本圖形和幾何性質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)體系；其次，讓學(xué)生深化理解通性通法，教學(xué)時(shí)不宜過度追求一題多解，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注如何審題，怎樣應(yīng)用所學(xué)知識(shí)處理新問題；最后，以解析幾何為例，這份試卷的計(jì)算量較大，并且邏輯推理的要求也較高，因此我們?cè)谄匠＝虒W(xué)時(shí)，要同時(shí)抓學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)思維.

3.2 回歸課本，研究真題

有很多高考試題來自于教材例題或習(xí)題的改編，教材是最好的備考素材.教學(xué)時(shí)立足習(xí)題，尤其讓學(xué)生把那些“看上去沒有思路”的題多做幾遍，爭取能獨(dú)立解決.此外，教材上的“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”等欄目也非常重要，讓學(xué)生認(rèn)真閱讀并思考這些內(nèi)容，培養(yǎng)他們閱讀習(xí)慣的同時(shí)提升學(xué)習(xí)能力.高考真題凝結(jié)著命題專家的智慧，是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的載體［1］，既有示范性，又有權(quán)威性.從本文的分析看，高考試題具有很強(qiáng)的傳承性，研究往年真題，挖掘背后的命題規(guī)律，對(duì)于復(fù)習(xí)備考具有重要的指導(dǎo)意義.

參考文獻(xiàn)：

［1］張青松.2021年全國甲卷理科第20題解法分析與思考[J].課程教材教學(xué)研究（中教研究），2021（Z5）：67-68.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：張青松（1984.5-），男，云南省昆明人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.