抽象函數(shù)對稱性的高三復習教學建議

徐蘭 徐倩

高三復習除了幫助學生建構知識網(wǎng)絡，熟悉基本題型之外，筆者認為最重要的是通過高三課堂加深學生對數(shù)學知識的認知，理解數(shù)學知識之間內在的結構和關聯(lián)，理解知識的本質，從而提高解決數(shù)學問題的關鍵能力.本文從抽象函數(shù)來談談如何整合學生已有的知識經(jīng)驗來提升學生對抽象函數(shù)性質的深刻理解.

一、夯實落腳點——深刻理解舊知

高三復習首先要熟悉基本知識，但是不能停留在對知識的重復記憶上.學生經(jīng)歷了兩年高中數(shù)學的學習，對知識的理解與剛學新知時的認知已經(jīng)不一樣，所以教師在復習這些舊知時，要高屋建瓴，以問題解決的形式來喚醒學生對知識的記憶與理解.以抽象函數(shù)的性質復習為例，學生已經(jīng)初步具備圖像語言，數(shù)學符號語言的相互轉換即從直觀想象、邏輯推理到用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的語言表達世界的能力.高三的課堂教學可以設計如下：

問題1 函數(shù)的奇偶性有哪些刻畫方式？（圖像語言、文字語言、數(shù)學符號語言）

問題2 談談對這三者之間的理解？

函數(shù)f（x）的圖像關于原點對稱，該函數(shù)為奇函數(shù)，數(shù)學符號表達為f（-x）=-f（x）.設p（x，y）為函數(shù)f（x）上任意一點，那么關于原點對稱的點P（-x，-y）也在函數(shù)圖像上，即y=f（x），∴-y=f（-x）=-f（x）.函數(shù)f（x）的圖像關于y軸對稱，該函數(shù)為偶函數(shù)，數(shù)學符號表達為f（-x）=f（x）.設p（x，y）為函f（x）數(shù)上任意一點，那么關于y軸對稱的點p（-x，y）也在函數(shù)圖像上，即y=f（-x），∴y=f（-x）=f（x）.函數(shù)的奇偶性統(tǒng)稱為函數(shù)的對稱性，奇函數(shù)和偶函數(shù)只是函數(shù)對稱性中的一種特例.函數(shù)的對稱性包含函數(shù)關于直線對稱和關于點對稱，我們這里只研究關于垂直于軸的直線對稱.

二、由點連線——從舊知探新知

高三復習的目的是為了提高學生解決問題的能力，所以高三的課堂教學要能夠從特殊到一般，尋找一般規(guī)律，從而提高學生的認知水平.函數(shù)的奇偶性就是對稱性的特殊情況，從特殊推廣到一般，加深學生對一般規(guī)律和數(shù)學知識本質的理解.

問題3 函數(shù)關于直x=a線對稱，對應的圖像和數(shù)學符號該如何表達？

問題4 函數(shù)關于點p（a，b）對稱，對應的圖像和數(shù)學符號該如何表達？

關于問題3：函數(shù)y=f（x）圖像關于x=a對稱，圖像上任取一點p（x0，y0）關于直線x=a對稱的點p1（2a-x0，y0）點仍舊在圖像上，所以y0=f（x0）=f（2a-x0）.所以我們得到數(shù)學符號語言表示f（x）=f（2a-x）.如果取得點p（a-x，y），那么關于直線x=a對稱的點p1（a+x，y）仍在圖像上，所以f（a+x）=f（a-x），所以我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)關于直線對稱的數(shù)學符號語言是不唯一的，進一步探究發(fā)現(xiàn)只要兩個點的橫坐標之和為2a，縱坐標相等就滿足要求.所以用數(shù)學符號語言來刻畫可以有無數(shù)種，最具有代表性的是f（x）=f（2a-x）和f（a+x）=f（a-x）.反之也成立.用同樣的思路來研究問題4：函數(shù)y=f（x）圖像關于點p（a，b）對稱，圖像上任取一點Q（x0，y0）關于點p（a，b）對稱點Q1（2a-x0，2b-y0）也在函數(shù)圖像上，那么y0=f（x0），2b-y0=f（2a-x0），∴f（x0）+f（2a-x0）=2b.由此可見只要數(shù)學符號能夠表達出這兩個點的橫坐標之和為2a，縱坐標之和為2b，都滿足要求.比如f（a+x）+f（a-x）=2b.反之也成立.這部分的問題設計體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法，圖像語言、數(shù)學符號語言、以及文字語言之間的相互理解與轉換，從直觀想象到邏輯推理，對學生提升理解函數(shù)的性質，應用性質解決問題起了很大的作用.

結論一 如果函數(shù)關于直線x=a對稱，則f（a+x）=f（a-x），反之也成立.

結論二 如果函數(shù)關于點p（a，b）對稱，則f（a+x）+f（a-x）=2b，反之也成立.

問題5 你是怎樣理解人教版教材必修第一冊87頁上的拓廣探究題，即求函數(shù)f（x）=x3-3x2圖像的對稱中心.

人教版拓廣探究題：我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖像關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f（x）的圖像關于點p（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）-b為奇函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）=x3-3x2圖像的對稱中心；（2）類比上述推廣結論，寫出“函數(shù)y=f（x）的圖像關于軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)“的一個推廣結論.

理解一：應用圖像平移變換來理解，若函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)，則關于原點對稱，那么由y=f（x+a）-b右移a個單位，再上移b個單位，得到函數(shù)y=f（x），原來的對稱中心（0，0）變成了新的對稱中心（a，b），反之，同理成立；

理解二：函數(shù)y=f（x）的圖像關于點p（a，b）成中心對稱圖形，那么f（x+a）+f（-x+a）=2b，即f（-x+a）-b=-［f（x+a）-b］，所以函數(shù)y=f（x+a）-b為奇函數(shù).反之，如果y=f（x+a）-b是奇函數(shù)，則f（-x+a）-b=-［f（x+a）-b］，即f（x+a）+f（-x+a）=2b.所以函數(shù)y=f（x）的圖像關于點p（a，b）成中心對稱圖形.得出結論三和結論四.

結論三 若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關于點成中心對稱圖形，反之也成立.

結論四 若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關于成軸對稱圖形，反之也成立.（證明同上）.

解答問題5：

法一：f（x）=x3-3x2=（x-1）3-3（x-1）-2，令g（x）=x3-3x，g（x）是奇函數(shù)，f（x）=g（x-1）-2，所以f（x）是g（x）右移1個單位，再下移2個單位得到，對稱中心為（1，-2）.

法二：設f（x）的對稱中心為（a，b），則f（x+a）+f（-x+a）=2b對x∈R恒成立，即（6a-6）x2+2a3-6a2-2b=0，對任意x均成立，∴6a-6=0且2a3-6a2-2b=0，解之a(chǎn)=1，b=-2.

三、編織出網(wǎng)——鏈接知識的交匯點

高三復習要建立知識網(wǎng)絡，老師要能夠幫助學生找到知識之間的連接點，內化學生所學的知識，建構更廣的知識結構圖，提升解決問題的能力.

問題6 如果一個函數(shù)既有對稱中心又有對稱軸，那么它還具有什么性質？

從直觀上我們可以感知函數(shù)圖像具有周期性，從代數(shù)上我們可以給予證明：如果函數(shù)f（x）關于x=a，又有對稱中心（c，b），那么f（x）=f（2a-x），f（x）=-f（2c-x）+2b，即f（2a-2c+x）=-f（x）+2b，令t=2a-2c，f（t+x）=-f（x）+2b，∴f（2t+x）=-f（t+x）+2b=-［-f（x）+2b］+2b=f（x），∴f（x）的周期為T=2｜t｜=4｜a-c｜.這個證明得到下面的結論.結論五 如果一個函數(shù)既有對稱軸，又有對稱中心，那么這個函數(shù)就有周期，且周期是對稱中心到對稱軸距離的4倍.周期的一半是相鄰兩條對稱軸之間的距離.或者相鄰兩個對稱中心之間的距離.

這個結論可以用基本函數(shù)y=sinx和y=cosx的圖像直觀感知.

高考真題呈現(xiàn)：

例1 （2021年全國高考甲卷數(shù)學試題）設f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1+x）=f（-x）.若f（-13）=13，則f（53）=（? ）.

A．-53? B．-13? C．13? D．53

解析：∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），且f（1+x）=f（-x），f（1+x）=-f（x），∴f（2+x）=f（x），∴函數(shù)f（x）的周期T=2，∴f（53）=f（53-2）=f（-13）=13.

點評：函數(shù)f（x）既有對稱中心（0，0），又有對稱軸x=12，所以函數(shù)的周期為2.快速解決問題.

例2 （2021年全國高考甲卷數(shù)學試題）設函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當x∈［１，2］時，f（x）=ax2+b．若f（0）+f（3）=6，則f（92）=（? ）.

A．-94? B．-32? C．74? D．52

解析：∵函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數(shù)，∴f（-x+1）=-f（x+1），f（x）的對稱中心為（1，0），f（x+2）為偶函數(shù)，∴f（-x+2）=f（x+2），∴f（x）的對稱軸為x=2;∴f（x）的周期T=4，∴f（0）+f（3）=-f（2）+f（1）=-4a-b+（a+b）=-3a=6，a=-2;又∵f（x）的對稱中心為（1，0），∴f（1）=a+b=0，∴b=2.∴f（x）=-2x2+2，∴f（92）=f（12）=-f（32）=52.

點評：本題使用函數(shù)的對稱性，周期性把所求函數(shù)值變換到已知區(qū)間［1，2］即可.

例3 已知f（x）是定義域為R的函數(shù)，f（x-2）為奇函數(shù)，f（2x-1）為偶函數(shù)，則16i=0f（i）=? .

解析：∵f（x-2）為奇函數(shù)，∴f（x）的對稱中心為（-2，0）.∵f（2x-1）為偶函數(shù)，∴f（2x-1）=f（-2x-1），即f（x-1）=f（-x-1），f（x）的對稱軸為x=-1.∴f（x）的周期T=4，f（-2）=0，因為f（x）關于x=-1對稱，∴f（0）=0=f（2）=f（4），又（0，0），（2，0）都是對稱中心，所以f（1）+f（3）=0，所以16i=0f（i）=f（0）+4（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））=0.

點評：應用結論五我們畫個草圖也可以迅速把問題解決.

四、縱橫成片——提升解題關鍵能力

高三數(shù)學課堂是提升學生關鍵能力的主陣地.關注通性通法固然重要，但是更重要的是數(shù)學思想的滲透，數(shù)學抽象的表達，數(shù)學推理的完成，這樣才能提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

問題7 人教版教材必修一87頁上的拓廣探究題的三次函數(shù)的對稱中心，與它與導函數(shù)有關聯(lián)嗎？

問題8 如果原函數(shù)f（x）具有對稱性，那么它的導函數(shù)是否也具有對稱性？

如果原函數(shù)y=f（x）關于（a，b）成中心對稱，則f（x+a）=-f（-x+a）+2b.兩邊求導得f′（x+a）=［-f（-x+a）+2b］′，即f′（-x+a）=f′（-x+a），所以y=f′（x）關于x=a對稱.如果原函數(shù)f（x）關于直線x=a對稱，那么導函數(shù)又會又什么性質呢？f（x）=f（2a-x），兩邊求導得到f（x）=-f（2a-x），即導函數(shù)關于（a，0）中心對稱.

反之是否也成立呢？如果導函數(shù)y=f′（x）關于x=a對稱，∵f′（x+a）=f′（-x+a），∴f（x+a）=-f（-x+a）+c，令x=0，c=2f（a），∴f（x+a）+f（-x+a）=2f（a），∴原函數(shù)f（x）的圖像關于點（a，f（a））對稱.如果導函數(shù)y=f′（x）關于（a，0）對稱，則f′（x）+f′（2a-x）=0，令F（x）=f（x）-f（2a-x），∵F′（x）=f′（x）+（2a-x）=0，∴F（x）=c（c為常數(shù)）.又F（a）=f（a）-f（2a-a）=0.∴F（x）=0=f（x）-f（2a-x），∴f（x）=f（2a-x），從而函數(shù)f（x）關于x=a對稱.

結論六 如果原函數(shù)y=f（x）關于（a，b）成中心對稱，那么導函數(shù)y=f′（x）關于x=a對稱;如果原函數(shù)f（x）關于直線x=a對稱，那么導函數(shù)y=f′（x）關于（a，0）成中心對稱.

結論七 如果導函數(shù)y=f′（x）關于x=a對稱，那么原函數(shù)f（x）的圖像關于點（a，f（a））成中心對稱；如果導函數(shù)y=f′（x）關于（a，0）對稱，那么原函數(shù)f（x）的圖像關于x=a對稱.有了這些結論，我們研究三次函數(shù)的對稱中心，只需要求導寫出導函數(shù)的對稱軸就行了，函數(shù)f（x）=x3-3x2圖像的對稱中心，f′（x）=3x2-6x，對稱軸為x=1，所以原函數(shù)的對稱中心為（1，-2）.

例4 （2022年全國卷I高考題）已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）若f（32-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（? ）.

A.f（0）=0? ??B.g（-12）=0C.f（-1）=f（4）D.g（-1）=g（2）

解析：因為f（32-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，所以f（32-2x）=f（32），g（2-x）=g（2+x）.∴f（x）的對稱軸為x=32，g（x）的對稱軸為x=2，可知選項C正確.又∵g（x）=f′（x），∴由原函數(shù)f（x）的對稱軸為x=32，得到導函數(shù)g（x）的對稱中心為（32，0）.由導函數(shù)g（x）的對稱軸為x=2，得到原函數(shù)y=f（x）的對稱中心為（2，f（2）），f（x）的周期為2，（0，f（0））是函數(shù)f（x）的對稱中心，但f（0）的值不確定，選項A錯誤.∴g（x）的周期為2，g（-12）=g（32）=0.選項B正確.選項D中g（-1）=g（1）=-g（2），所以選項D錯誤.故本題選B、C.

五、匯聚成面——數(shù)學思維的飛躍

數(shù)學教學以培養(yǎng)和發(fā)展學生思維能力為目的，能力的考察是高考永恒的主題.高三數(shù)學課堂要充分挖掘課本中習題的價值，從知識的點展開延伸出線，再由條條線織出片，充分展示出知識的內在聯(lián)系以及數(shù)學的邏輯美.

例5 （2022年全國高考卷）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7．若y=g（x）的圖像關于直線x=2對稱，g（2）=4，則∑22k=1f（k）=（? ）.

A.-21? B.-22 C.-23? D.-24

解析：∵f（x）+g（2-x）=5①，g（2）=4，∴f（0）=1，∵y=g（x）的圖像關于直線x=2對稱，∴g（2-x）=g（2+x），∵f（-x）+g（2+x）=5，結合①得f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，又∵g（x）-f（x-4）=7，∴g（2-x）-f（-2-x）=7.結合①，得到f（x）+f（-2-x）=-2，∴f（x）的對稱中心為（-1，-1），函f（x）數(shù)的周期為T=4.∴f（-1）=-1=f（1）=f（3），f（0）+f（2）=-2，∴f（2）=-3，f（4）=f（0）=1，22k=1f（k）=5（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=5（-1-3-1+1）-1-3=-24.故選D.

例6 設定義在R上的函數(shù)f（x）與g（x）的導函數(shù)分別為f（x），g（x）若f（x+2）-g（1-x）=2，f（x）=g（x+1），且g（x+1）為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（?? ）.

A.g（1）=0 B.函數(shù)g′（x）的圖像關于x=2對稱

C.2022k=1g（k）=0?? D.2021k=1f（k）g（k）=0

解析：∵g（x+1）為奇函數(shù)，∴g（x）的對稱中心是（1，0），∴g（1）=0.A選項正確.對f（x+2）-g（1-x）=2兩邊求導，f′（x+2）+g′（1-x）=0，∴g′（x+3）+g′（1-x）=0，∴函數(shù)g（x）的圖像關于（2，0）對稱.由結論5，可得函數(shù)g（x）關于直線x=2對稱，∴函數(shù)g（x）的周期，T=4，∴（3，0）是函數(shù)g（x）的對稱中心.2022k=1g（k）==505（g（1）+g（2）+g（3）+g（4））+g（1）+g（2）.∵g（1）=g（3）=0，g（2）+g（4）=0，

∴2022k=1g（k）=g（2）而g（2）不確定，所以C錯誤.∵f（x+2）=2+g（1-x），∴f（x）=2+g（3-x），又∵F（X+4）=2+g（-x-1）=2+g（3-x）=f（x），∴f（x）的周期T=4，所以

2021k=1f（k）g（k）=505（f（1）g（1）+f（2）g（2）+f（3）g（3）+f（4）g（4））+f（1）g（1）.

∵f（2）=2+g（1）=2，f（4）=2+g（-1）=2+g（3）=2，f（1）g（1）+f（2）g（2）+f（3）g（3）+f（4）g（4）=0+f（2）（g（2）+g（4））=0.∵f（1）g（1）=0，所以

2021k=1f（k）g（k）=0.故選A、D.

高考試題源于課本，但是又高于課本，高三復習課教師要充分整合多種教材資源，利用好課本習題的價值，充分它們的內涵和外延，課堂中盡可能給學生提供創(chuàng)新的情境，從點、線、片、面的角度縱橫知識之間的聯(lián)系，構建交錯網(wǎng)絡，再結合典型例題來提升學生解決數(shù)學問題的關鍵能力，學生在這樣的課堂中能感受到高考數(shù)學核心素養(yǎng)的落腳點在哪里，從而提升學生數(shù)學學習的自信心，也能更好地引導了學生如何自主學習，提升自己的數(shù)學素養(yǎng).