緊扣計數(shù)單位，感悟運算的一致性

施婭林

摘要：《數(shù)的運算總復習》一課，是小學階段數(shù)的運算學習的收官之作。站在總復習的節(jié)點，學生需要的不是運算訓練，而是從整體上厘清各個算法之間的聯(lián)系、理解算理的本質(zhì)以及感悟算理的一致性，建構(gòu)完整的、聯(lián)系的、發(fā)展的認知結(jié)構(gòu)?；诖?，立足“計數(shù)單位”，溝通運算的本質(zhì)；凸顯“計數(shù)單位”，感悟算理的一致性；緊扣“計數(shù)單位”，建構(gòu)完整的結(jié)構(gòu)。

關鍵詞：小學數(shù)學；計數(shù)單位；運算一致性；數(shù)的運算；總復習

一、課前思考

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在第二學段、第三學段的“教學提示”中分別指出，“通過數(shù)的認識與數(shù)的運算有機結(jié)合，感悟計數(shù)單位的意義，了解運算的一致性”［1］，“通過整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的運算，進一步感悟計數(shù)單位在運算中的作用，感悟運算的一致性”［2］。

有關數(shù)的運算，蘇教版小學數(shù)學教材是分階段編排推進的。有關加、減法，第一學段教學整數(shù)的加、減法，結(jié)合數(shù)的概念，當計數(shù)單位相同時，計數(shù)單位的個數(shù)直接相加、減；當計數(shù)單位不相同時，先“滿十進一”或“退一作十”，使計數(shù)單位相同，再相加、減。第二學段教學分數(shù)的加、減法，當分數(shù)單位不相同時，先通分，使分數(shù)單位相同，再相加、減。第三學段教學小數(shù)的加、減法，借助計數(shù)器、方格圖等易區(qū)分計數(shù)單位的計數(shù)工具，理解小數(shù)點對齊才能相加、減。有關乘法，第一學段、第二學段教學整數(shù)乘法，由乘法是加法的簡便運算推導出乘法口訣，再結(jié)合具體情境將運算過程拆分成加法，最后借助豎式計算整數(shù)乘法。第三學段教學小數(shù)乘小數(shù)，先通過具體問題情境，將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法算出積；再根據(jù)“積的變化規(guī)律”推算出小數(shù)乘法的積；最后，運用不完全歸納法概括出一般算法。第三學段教學分數(shù)乘分數(shù)，先借助圖示寫出結(jié)果，再觀察多個分數(shù)乘法的算式中積的分子、分母與兩個因數(shù)的分子、分母之間的關系，運用不完全歸納法得出一般算法。有關除法，由乘法推導出除法的商，再借助豎式計算整數(shù)除法；運用“商不變的規(guī)律”將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法；借助真實情境，利用數(shù)形結(jié)合思想，從分數(shù)除以整數(shù)到整數(shù)除以分數(shù)，逐步歸納出分數(shù)除法的一般算法。

基于教材的編排和教學的階段性，學生能充分地體會到轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，掌握算法。但是，較難感悟分數(shù)與小數(shù)乘、除法在算法上的聯(lián)系和算理上的一致性，更無法感悟數(shù)的四則運算的一致性。因此，站在小學數(shù)學總復習的節(jié)點，學生需要的不是運算訓練，而是從整體上厘清各個算法之間的聯(lián)系、理解算理的本質(zhì)以及感悟算理的一致性，建構(gòu)完整的、聯(lián)系的、發(fā)展的認知結(jié)構(gòu)。筆者以為，《數(shù)的運算總復習》一課教學，可以緊扣計數(shù)單位，統(tǒng)整數(shù)的運算，幫助學生感悟運算的一致性，也為第四學段（初中）學習無理數(shù)、代數(shù)式的運算打下堅實的基礎。

二、課堂實施

（一）立足計數(shù)單位，溝通數(shù)的認識與運算的一致性

1.追本溯源，溝通意義

師我們學習過哪些數(shù)？

生整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)。

師上節(jié)課，我們復習了“數(shù)的認識”，知道所有的數(shù)之間是有聯(lián)系的，都表示“多少個計數(shù)單位”。比如，8表示什么？

生8個一。

師4呢？12呢？

生4是4個一，12是1個十和2個一。

師看到這三個數(shù)，你想到了哪些算式？

生4+8=12，8+4=12，12-4=8，12-8=4。

師有加法和減法。如果把這里的8再分成4和4呢？

生4+4+4=12。

生3×4=12。

師既然想到了乘法，還有嗎？

生12÷4=3。

師加、減、乘、除陪伴了我們六年，你真的了解它們嗎？它們的本質(zhì)是什么？它們分別在什么情況下運用呢？先想一想，然后在小組里交流。

（學生交流。教師巡視，發(fā)現(xiàn)很多學生都按照各算式的形式割裂地理解算式的本質(zhì)。）

生加法就是兩個數(shù)相加，減法就是被減數(shù)減減數(shù)；乘法就是兩個數(shù)相乘，除法就是被除數(shù)除以除數(shù)。

生乘法就是把相同的數(shù)加起來，除法就是平均分。

師其實，把若干個部分合成一個整體用加法，從一個整體中去掉部分就是減法。那乘法和除法呢？

生幾個相同的部分合起來就是乘法。

生剛才說除法是平均分。其實，從一個整體中不斷地減掉相同的部分也是除法。

師是的，其實這四種運算都和整體與部分有關。

數(shù)的認識是數(shù)的運算的基礎，數(shù)的運算是對數(shù)的認識的“再應用”，它們都是基于計數(shù)單位進行的。因此，復習課伊始，立足“計數(shù)單位”這個核心概念，充分利用學生數(shù)的認識的學習經(jīng)驗復習四則運算的意義，追本溯源，幫助學生深刻理解數(shù)的四則運算。

2.尋找關聯(lián)，融會貫通

師（同步板貼）現(xiàn)在有“＋”“－”“×”“÷”四張卡片。你覺得四種運算中誰和誰有關系？有怎樣的關系？上臺來移一移，說一說。

生（上臺移動卡片，把“＋”和“－”放在一起）減法和加法有關：加法是把部分合成整體；相反，減法是把整體分成部分。

生（上臺移動卡片，把“＋”和“×”放在一起）乘法和加法也有關，乘法就是加法的簡便計算。

生（上臺移動卡片，把“÷”和“－”“×”放在一起）除法和減法有關，除法是減法的簡便計算；除法和乘法也有關系，它們是相反的。

師原來它們彼此都有關系，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算。通過理一理，我們溝通了加、減、乘、除之間的聯(lián)系。今天，我們就來復習“數(shù)的運算”。

學生很容易理解加法和減法運算的算理，但是對乘法和除法運算的算理理解起來比較困難，很難將加法和減法運算的算理遷移到乘法和除法的運算中。究其原因，學生對四則運算之間的聯(lián)系缺乏溝通，對運算的意義缺乏深度理解。因此，教學中引導學生通過“移卡片”活動主動比較四則運算，在不斷地完善中感悟四則運算之間的關聯(lián)，為深入理解四則運算算理的一致性打下基礎。

（二）凸顯計數(shù)單位，統(tǒng)整四則運算的一致性

1.圖式明理，把握本質(zhì)

師四種運算是互相關聯(lián)的，而每一種運算都可分為整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的運算。比如，同樣是加法，整數(shù)加法、小數(shù)加法和分數(shù)加法之間的算法和算理一樣嗎？想弄清楚它們的異同點，你打算怎么辦？

生舉例子。

師特別好！舉例子是數(shù)學研究的一種重要方法。我們先通過舉例的方法來研究整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加法。

（學生思考。教師巡視，發(fā)現(xiàn)一部分學生列舉了一些較簡單的口算，一部分學生寫了豎式。）

師（板書，如圖1所示）這個同學的例子很有特點，看出特別在哪里了嗎？

生整數(shù)和小數(shù)中的數(shù)字是一樣的。

師為什么在整數(shù)加法中，3和9對齊，但在小數(shù)加法中卻不對齊計算呢？

生因為要數(shù)位對齊。在整數(shù)計算中，3和9都是個位上的數(shù)，分別表示3個一和9個一，可以直接相加；而在小數(shù)計算中，小數(shù)點對齊，數(shù)位才能對齊。

生3和9不在同一個數(shù)位上，3在十分位上，表示3個0.1；9在百分位上，表示9個0.01。

師原來，不管是整數(shù)的末尾對齊還是小數(shù)的小數(shù)點對齊，都是為了相同數(shù)位對齊。數(shù)位對齊就是計數(shù)單位相同，計數(shù)單位相同的數(shù)才能直接相加。那分數(shù)加法呢？好像和剛才的整數(shù)、小數(shù)不太一樣。

生分母不一樣，要先通分。分母相同，才能相加。

師其實，通分是為了統(tǒng)一分數(shù)單位，也就是統(tǒng)一計數(shù)單位?？匆豢茨銈冏约号e的例子，也是這樣的道理嗎？

生（齊）是的。

師在加法中，我們發(fā)現(xiàn)不同數(shù)的運算方法不同，但道理是一致的。其他運算的道理是不是也一樣呢？四人小組內(nèi)商量一下，你們打算研究哪一個？怎樣研究？請將你的研究過程記錄在學習單上。

（學生合作研究。教師巡視，發(fā)現(xiàn)很多小組選擇研究乘法和除法。）

師很意外，沒有小組研究減法，能說說原因嗎？

生減法的道理和加法是一樣的，太簡單了。

（其他學生紛紛點頭表示贊同。）

師你們真會學習，能夠舉一反三，發(fā)現(xiàn)減法中整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)也是計數(shù)單位相同時才能直接相減。第三小組研究的是乘法，請帶著你們的學習單上臺展示、匯報。

（學生列豎式，將豎式的過程表達出來。）

生小數(shù)乘法可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法。分數(shù)乘法就是分子乘分子，分母乘分母，與整數(shù)、小數(shù)的乘法有點不一樣。

師確實，乘法運算不像加法和減法運算那樣容易看出計數(shù)單位。（出示圖2）老師也帶來了一些例子，一起看一看。

師看明白了嗎？說說你的感受！

生原來乘法運算中，不管是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)，都跟計數(shù)單位有關。

生原來分數(shù)的乘法也跟計數(shù)單位有關。

師研究除法的同學發(fā)現(xiàn)了什么？

生小數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，分數(shù)除法就是乘它的倒數(shù)。

師那它們有什么相通之處嗎？

（學生沉默。）

師要想講清楚分數(shù)除法的運算道理，還可以請圖形來幫忙。（出示圖3）分數(shù)除法，誰看明白了？

生12除以18就是求48里有多少個18。

師所以，除法其實也是計數(shù)單位的個數(shù)的運算。

加法運算的原理很容易遷移到減法運算，而乘、除法的算理本質(zhì)學生很難一下子發(fā)現(xiàn)。教學時，教師通過橫式的分解過程，凸顯計數(shù)單位，向?qū)W生呈現(xiàn)小數(shù)的乘、除法計算過程；借助直觀圖，幫助學生理解分數(shù)乘、除法本質(zhì)上也是基于分數(shù)單位（計數(shù)單位）的運算。通過圖式，將抽象的認識變直觀，讓算理“看得見”，有效幫助學生理解四則運算算理的本質(zhì)。

2.反思比較，建立結(jié)構(gòu)

師關于整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算，你有什么感受？

生原來這些計算都是有聯(lián)系的。之前，我認為分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)的計算不一樣，其實，它們也有聯(lián)系的地方。

生都和計數(shù)單位有關。

生原來除法也跟計數(shù)單位有關。

生加、減、乘、除的運算都是一樣的。

師看來大家都已經(jīng)看到了計算的本質(zhì)，就是計數(shù)單位個數(shù)的運算。整數(shù)的加、減法計算時末尾對齊，小數(shù)的加、減法計算時數(shù)位對齊，異分母分數(shù)先通分再加、減，本質(zhì)上都是使計數(shù)單位一樣；乘、除法的計算也是一樣的。

比較是重要的數(shù)學思想，是學生感悟運算算理一致性的重要手段。教師有意識地引導學生從不同中找出共性，從變化中找出規(guī)律。其中，學生感觸最深的是分數(shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法的異同，雖然數(shù)的形式不同，計算方法不同，但在算理本質(zhì)上是相通的，都是計數(shù)單位個數(shù)的運算。學生的頭腦中自然而然地形成了對四則運算的結(jié)構(gòu)化認知。

（三）應用計數(shù)單位，深化四則運算的一致性

師（出示圖4）這些計算對嗎？如果不對，請說出錯誤的原因并改正。

生第一道算式，個位滿十要進到十位，而不是百位。

生第二道算式，其實就是85個0.1乘16個0.1，應該是1360個0.01。

生第三道算式，小數(shù)點沒有對齊，不能直接減。

生第四道算式，商的位置是錯的。

師總結(jié)這些題目的錯誤原因，你有什么想提醒大家的？

生數(shù)位一定要對齊，小數(shù)的小數(shù)點要對齊，這樣計數(shù)單位才相同，才能相加、減。

生小數(shù)的乘、除法可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)的乘、除法，要特別注意小數(shù)點的位置對齊，剛才我們研究過了，就是跟計數(shù)單位有關。

師在加、減法中相同數(shù)位對齊，也就是計數(shù)單位相同，才能相加、減；小數(shù)的乘、除法要關注小數(shù)點的位置。通過復習數(shù)的運算，你有什么收獲？

生之前覺得計算很簡單，沒想到藏著這么深奧的道理。

生看不同的四則運算，它們之間其實都是有聯(lián)系的，都跟計數(shù)單位有關。

生之前覺得分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)沒有什么聯(lián)系，沒想到都是相通的。

師看來大家對數(shù)的運算有了更深層次的理解，學習了六年的運算知識全都打通了，運用也更加靈活了！

算理是指“為什么這樣算”，算法是指“怎樣算”，算理是算法的依據(jù)，算法是對算理的總結(jié)與提煉。課尾，教師出示了一些錯例，考查學生對計數(shù)單位的靈活應用，促進學生從本質(zhì)上理解四則運算的算理，從而打通算法形式不同的四則運算，靈活運用算法，形成計算技能，提升運算能力。

三、課后反思

（一）立足“計數(shù)單位”，溝通運算的本質(zhì)

數(shù)概念的一致性是數(shù)的運算一致性的基礎。課始，教師帶領學生立足計數(shù)單位復習數(shù)概念，再通過4、8、12三個數(shù)組成的算式溝通四則運算的意義。接著，通過“移卡片”活動，引導學生深入思考四則運算之間的關系，理解四則運算的基礎都是加法運算，為后續(xù)深入理解四則運算算理的一致性打下基礎。

（二）凸顯“計數(shù)單位”，感悟算理的一致性

算理是算法的依據(jù)，算法是對算理的總結(jié)與提煉。因此，學生只有理解并打通四則運算的算理，才能真正地靈活運用算法。教學中，教師先通過對比兩道數(shù)字相同的豎式，引導學生溝通整數(shù)和小數(shù)加法運算的算理；接著，基于學生對加法運算算理一致性的理解，引導他們自主完成對整數(shù)、小數(shù)乘法豎式的解構(gòu)和建構(gòu)。然而，學生無法從豎式中直觀感受乘法運算算理的一致性，尤其是分數(shù)乘法。因此，教師相機呈現(xiàn)整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)乘法運算的橫式，展示算理的分解過程，促進學生直觀感悟整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘法運算算理的一致性。再運用數(shù)形結(jié)合的方法，促進學生理解整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)除法運算算理的一致性。最后，引導學生通過對比反思，進一步感悟整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算的本質(zhì)都是將計數(shù)單位的個數(shù)進行分與合。

（三）緊扣“計數(shù)單位”，建構(gòu)完整的結(jié)構(gòu)

學生對數(shù)的運算的掌握是通過一冊一冊教材、一個一個單元以及一個一個課時的學習逐步累積形成。因此，四則運算的算法和算理在學生的頭腦中大多呈疊加狀態(tài)。總復習課上的梳理和練習，是促進學生形成完整的、關聯(lián)的認知結(jié)構(gòu)的契機。教師緊扣“計數(shù)單位”這一核心概念，引導學生橫向勾連加、減、乘、除四則運算之間的關系，縱向勾連整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算之間的關系。從整體上厘清各個算法之間的內(nèi)在聯(lián)系和算理的本質(zhì)，實現(xiàn)了算理結(jié)構(gòu)化，形成了整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的認知結(jié)構(gòu)。

參考文獻：

［1］［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：22，25.