體會(huì)乘法運(yùn)算本質(zhì)的一致性

王加林

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)中，設(shè)計(jì)并實(shí)施《乘法運(yùn)算總復(fù)習(xí)》一課，一步步地引導(dǎo)學(xué)生打通整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法算法上的關(guān)聯(lián)，體會(huì)乘法運(yùn)算算理上的一致性，把握乘法運(yùn)算的本質(zhì)：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，個(gè)數(shù)與個(gè)數(shù)相乘得到新的個(gè)數(shù)。具體教學(xué)環(huán)節(jié)有：復(fù)習(xí)舊知，梳理乘法運(yùn)算的知識(shí)體系；明確算法，初步感受乘法運(yùn)算的相通之處；分析算理，充分體會(huì)計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的關(guān)鍵作用；提煉本質(zhì)，真正理解乘法運(yùn)算的一致性。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；總復(fù)習(xí)；乘法運(yùn)算；一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）更強(qiáng)調(diào)“課程（教學(xué)）內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”。［1］對(duì)此，新課標(biāo)特別提出，在小學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。［2］為此，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了計(jì)數(shù)單位的概念。如：“通過(guò)數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算有機(jī)結(jié)合，感悟計(jì)數(shù)單位的意義，了解運(yùn)算的一致性?！保?］“通過(guò)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用，感悟運(yùn)算的一致性?！保?］“在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性?！保?］

根據(jù)這樣的要求，筆者在小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)中，設(shè)計(jì)并實(shí)施了《乘法運(yùn)算總復(fù)習(xí)》一課，一步步地引導(dǎo)學(xué)生打通整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法算法上的關(guān)聯(lián)，體會(huì)乘法運(yùn)算算理上的一致性，把握乘法運(yùn)算的本質(zhì)：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，個(gè)數(shù)與個(gè)數(shù)相乘得到新的個(gè)數(shù)。

一、復(fù)習(xí)舊知，梳理乘法運(yùn)算的知識(shí)體系

師今天，我們要復(fù)習(xí)乘法運(yùn)算。首先，請(qǐng)大家回憶一下：小學(xué)階段，我們學(xué)過(guò)哪些乘法運(yùn)算？

（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，梳理形成如圖1所示的板書(shū)。）

師（出示圖2—圖7）下面，請(qǐng)同學(xué)們看一下教材中的幾個(gè)情境與例題，想一想怎么列式，說(shuō)一說(shuō)算式的意義。

（學(xué)生依次回答問(wèn)題。）

師整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法分別有什么意義？是怎樣計(jì)算的？

生整數(shù)乘法的意義是求幾個(gè)相同加數(shù)的和，如13×24就表示24個(gè)13或13個(gè)24相加，計(jì)算方法是：先用13乘24中的4，再用13乘24中的20，最后把兩次計(jì)算結(jié)果相加。

師小數(shù)和分?jǐn)?shù)是整數(shù)的擴(kuò)充，整數(shù)乘法的意義就是乘法的基本意義。這里需要注意：用13乘24中的4和20也分別是分為幾步的哦。

生（補(bǔ)充）先用13中的3乘4，再用13中的10乘4，最后把兩次計(jì)算結(jié)果相加……

生小數(shù)就是分母為10、100、1000……的分?jǐn)?shù)，小數(shù)乘法的意義和分?jǐn)?shù)乘法的意義一樣。小數(shù)乘法的計(jì)算方法和整數(shù)乘法差不多，不同之處在于：計(jì)算后數(shù)一數(shù)乘數(shù)中有幾位小數(shù)，就在積的末尾數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

生分?jǐn)?shù)乘法的意義是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾，計(jì)算方法是：分子乘分子，分母乘分母。

師分?jǐn)?shù)乘法的意義可以這樣理解，但是沒(méi)有說(shuō)到本質(zhì)上，還沒(méi)說(shuō)出與整數(shù)乘法意義的相通之處。這正是我們本節(jié)課要重點(diǎn)解決的問(wèn)題。讓我們從三種乘法的算法開(kāi)始探索。

乘法運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)幾乎貫穿于小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。因此，課始，筆者引導(dǎo)學(xué)生全面回顧小學(xué)階段乘法運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，分整數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法、小數(shù)乘法三類，梳理相應(yīng)的知識(shí)體系。特別地，筆者利用學(xué)生熟悉的教材情境與例題，更好地喚醒與激活學(xué)生的記憶，引導(dǎo)學(xué)生回憶各種乘法運(yùn)算的意義及算法，適度激發(fā)認(rèn)知沖突，為后面探索乘法運(yùn)算的一致性打好基礎(chǔ)。

二、明確算法，初步感受乘法運(yùn)算的相通之處

師老師準(zhǔn)備了幾組乘法運(yùn)算的習(xí)題，我們來(lái)具體地看一看乘法是怎么運(yùn)算的，它們有什么共同點(diǎn)。（出示三組算式，如圖8）你是怎么計(jì)算的？

生第一組的2×30，我是這樣計(jì)算的：先計(jì)算2×3＝6，再在得數(shù)后面添上１個(gè)“0”。20×30也是先計(jì)算2×3＝6，再在得數(shù)后面添上2個(gè)“0”。

生第二組的2×37可以看成21×37，積的分子是2×3＝6，分母是1×7＝7，得數(shù)是67。25×37的計(jì)算方法是一樣的，都是分子乘分子，分母乘分母，得數(shù)是635。

生第三組的2×03和02×03的計(jì)算方法一樣，都是先按整數(shù)乘法計(jì)算，再確定積的小數(shù)位數(shù)。

師同學(xué)們，三組算式的計(jì)算方法看起來(lái)并不相同，它們之間有沒(méi)有聯(lián)系呢？

生每個(gè)算式的計(jì)算都含有2×3＝6這一步。

在小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累了大量的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。尤其是算法，因?yàn)榉磸?fù)使用，所以掌握得比較牢固。由此出發(fā)，筆者設(shè)計(jì)三組關(guān)系密切的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法算式，通過(guò)具體的算式，幫助學(xué)生明確算法。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)共同的計(jì)算步驟“2×3＝6”，初步感受各種乘法運(yùn)算的相同之處，從而為后面分析算理，明白一致性的根源（運(yùn)算的本質(zhì)）做鋪墊。

三、分析算理，充分體會(huì)計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的關(guān)鍵作用

師為什么會(huì)這樣呢？我們嘗試用畫(huà)圖的方法分析背后的道理，即算理。你會(huì)畫(huà)圖表示2×30嗎？（出示圖9）誰(shuí)來(lái)解釋一下？

生根據(jù)這幅圖，我們可以把一行10個(gè)小方格看成一個(gè)計(jì)數(shù)單位“十”，那么，30就是3個(gè)十，2×3＝6說(shuō)明有6個(gè)十，也就是60。

師不錯(cuò)。認(rèn)識(shí)數(shù)，學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)法（數(shù)的組成）時(shí)，我們就強(qiáng)調(diào)過(guò)，整數(shù)其實(shí)是由計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)組成的。以此為基礎(chǔ)，這里的2×3＝6其實(shí)就是個(gè)數(shù)相乘得到新的個(gè)數(shù)。用完整的計(jì)算過(guò)程說(shuō)明算理，就是2×30=（2×3）×10=60。那20×30呢？（出示圖10）誰(shuí)來(lái)解釋？

生這里，我們把十行十列（10×10）100個(gè)小方格作為一個(gè)計(jì)數(shù)單位“百”，那么2行、3列，2×3=6，一共有6個(gè)百。用完整的計(jì)算過(guò)程說(shuō)明算理，就是20×30=（2×3）×（10×10）=600。

師剛才的計(jì)數(shù)單位“十”是由計(jì)數(shù)法直接得到的，這里的計(jì)數(shù)單位“百”又是怎么得到的？為什么要得到這個(gè)新的計(jì)數(shù)單位？

生這里的“百”是由20的計(jì)數(shù)單位“十”和30的計(jì)數(shù)單位“十”相乘得到的?？捶礁駡D可以發(fā)現(xiàn)，該式的計(jì)算結(jié)果用“十”作為計(jì)數(shù)單位來(lái)計(jì)數(shù)太麻煩了，用“百”作為計(jì)數(shù)單位更方便。

師如果是200×300呢？畫(huà)圖應(yīng)該怎么表示？用完整的計(jì)算過(guò)程說(shuō)明算理呢？

生200×300=（2×3）×（100×100）=60000。

師剛才，我們用畫(huà)圖的方法理解了2×30、20×30、200×300這些整數(shù)乘法的算理。那么，分?jǐn)?shù)乘法的算理你會(huì)畫(huà)圖分析嗎？

生（展示畫(huà)法，如圖11）37的計(jì)數(shù)單位是17，37中有3個(gè)17，2×3=6說(shuō)明有6個(gè)17。用完整的計(jì)算過(guò)程說(shuō)明算理，就是2×37=（2×3）×17=67。

師那25×37呢？

生（展示畫(huà)法，如圖12）計(jì)算25×37，可以把25的計(jì)數(shù)單位15和37的計(jì)數(shù)單位17相乘，也就是“分母相乘”，得到135，作為結(jié)果的計(jì)數(shù)單位，也就是圖中的一小格；2×3=6即“分子相乘”，說(shuō)明有6個(gè)135。用完整的計(jì)算過(guò)程說(shuō)明算理，就是25×37=（2×3）×15×17=635。

師再來(lái)看小數(shù)乘法的算理。

生我們可以根據(jù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，把小數(shù)看作分?jǐn)?shù)來(lái)理解算理。（展示畫(huà)法，如圖13）比如2×0.3，把0.3看作310。用完整的計(jì)算過(guò)程說(shuō)明算理，就是2×0.3=（2×3）×0.1=0.6。

生（展示畫(huà)法，如圖14）同理，0.2×0.3=（2×3）×（0.1×0.1）=0.06。

相對(duì)而言，學(xué)生對(duì)算理比較生疏——除了新授課探索算法時(shí)需要理解算理，后續(xù)的具體計(jì)算中主要是在運(yùn)用算法。而算理決定算法，是算法的本質(zhì)，故探索乘法運(yùn)算的一致性，主要是分析算理，回歸運(yùn)算的基本意義，發(fā)現(xiàn)不同運(yùn)算根本上的相通之處。因此，筆者借助方格圖，引導(dǎo)學(xué)生分析三組乘法算式算法背后的算理，尋找共同的計(jì)算步驟“2×3＝6”出現(xiàn)的根本原因。在多次探索算理的過(guò)程中，學(xué)生能夠體會(huì)到乘法運(yùn)算其實(shí)就是計(jì)數(shù)（數(shù)方格），其關(guān)鍵就是數(shù)概念中的計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)。此外值得一提的是，筆者在引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖分析整數(shù)乘法算理的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地讓學(xué)生自主畫(huà)圖分析分?jǐn)?shù)乘法和小數(shù)乘法的算理——一來(lái)體現(xiàn)整數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)作用，二來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)聯(lián)遷移（舉一反三）能力。

四、提煉本質(zhì)，真正理解乘法運(yùn)算的一致性

師剛才，我們通過(guò)畫(huà)格子圖，理解了整數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法和小數(shù)乘法的算理?，F(xiàn)在，你有沒(méi)有進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)這三種乘法運(yùn)算之間的共性呢？

（教師集中出示圖9—圖14和6個(gè)完整的計(jì)算過(guò)程。）

生我發(fā)現(xiàn)，6個(gè)式子中的2×3=6其實(shí)都是在算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，只不過(guò)6個(gè)式子算出的計(jì)數(shù)單位不一樣。

生我覺(jué)得，乘法運(yùn)算的算理都可以理解成兩個(gè)乘數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘得到新計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

生我覺(jué)得，乘法作為加法的簡(jiǎn)便計(jì)算，其實(shí)也是在計(jì)數(shù)，只不過(guò)為了方便，我們會(huì)根據(jù)算式中的乘數(shù)來(lái)選擇合適的計(jì)數(shù)單位，然后用乘法來(lái)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

師同學(xué)們總結(jié)得非常好！乘法運(yùn)算的本質(zhì)就是計(jì)數(shù)，也就是計(jì)數(shù)單位的累加。乘法運(yùn)算可以統(tǒng)一表達(dá)為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，個(gè)數(shù)與個(gè)數(shù)相乘得到新的個(gè)數(shù)。（稍停）復(fù)習(xí)到此，與以前相比，你對(duì)乘法運(yùn)算有了什么新的理解？還有什么問(wèn)題？

生我有個(gè)問(wèn)題：上課開(kāi)始有同學(xué)提到的13×24，怎么用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)理解？

生我知道，可以利用數(shù)位分解和乘法對(duì)加法的分配律把13×24拆開(kāi)來(lái)，也就是13×24=10×20+10×4+3×20+3×4。這樣，就能用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)理解了。

在對(duì)具體乘法算式明確算法、分析算理的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較歸納，提煉出乘法運(yùn)算的本質(zhì)，從而真正理解乘法運(yùn)算的一致性。特別值得一提的是，最后兩位學(xué)生的問(wèn)答很好地補(bǔ)充了筆者教學(xué)設(shè)計(jì)的不足，關(guān)注了多個(gè)計(jì)數(shù)單位累計(jì)的數(shù)（可以分解成幾個(gè)單一計(jì)數(shù)單位累計(jì)的數(shù)）的乘法，進(jìn)一步豐富了乘法運(yùn)算一致性的內(nèi)涵。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 趙鴻，趙瑞生.“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”，更好地實(shí)現(xiàn)“學(xué)生主體”——以“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）百分之幾”的教學(xué)改進(jìn)為例［J］．教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2022（12）：63.

［2］［3］［4］［5］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：18，22，25，85.