文/張偉俊
在生活和學(xué)習(xí)中,我們經(jīng)常采用“類比”和“對比”的思想方法來研究問題、探求新知,在分式和分式方程的學(xué)習(xí)中更是如此。
所謂類比,就是由兩個對象的某些相同或者相似的性質(zhì),推斷出它們的其他性質(zhì)也有可能相同或相似的推理形式。
再如,在分式運算的學(xué)習(xí)中,我們同樣可以采用類比的方式展開。兩個分式之間如何進(jìn)行加減乘除運算呢?我們可以類比分?jǐn)?shù)運算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,形成對分式運算法則的推導(dǎo)過程,將分式的加減分成“同分母”和“異分母”兩種情形展開探究。由“異分母”聯(lián)想到利用“分式的基本性質(zhì)”進(jìn)行“通分”,從而轉(zhuǎn)化成“同分母”的情形進(jìn)行加減;將分式除法轉(zhuǎn)化成分式乘法,然后進(jìn)行“約分”等。這樣的探究過程,就是在類比中遷移運用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和運算法則,構(gòu)建起分式基本性質(zhì)和運算法則,突顯了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和類比思想方法的魅力。
當(dāng)然,我們在借助類比探究新知的過程中,在“求同”的同時,也要關(guān)注新知與原有知識之間的不同之處,更好把握新知的本質(zhì)特征。我們知道了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和分式基本性質(zhì)的相同之處,那么它們之間又有什么不同之處呢?
所謂對比,就是把兩個對象的某些性質(zhì)進(jìn)行對照比較,發(fā)現(xiàn)它們具有的不同之處或明顯差異的思想方法。
在分式方程的學(xué)習(xí)中,如何來解分式方程呢?首先從形式上看,它和解含分母的一元一次方程類似。因此,類比解一元一次方程的步驟,我們能得到解分式方程的步驟,即去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1 等。它們解方程的步驟是一樣的,那么解分式方程與解含分母的一元一次方程有沒有不同之處呢?這就需要我們?nèi)ケ容^兩者每一步的變形及其依據(jù)有何不同。
通過比較,我們不難發(fā)現(xiàn),在去分母時,方程兩邊同時乘各分母的最簡公分母,其中一元一次方程的最簡公分母是一個整數(shù),而分式方程的最簡公分母是一個整式。更重要的是,去分母后,分式方程轉(zhuǎn)化成了整式方程(比如一元一次方程),這樣我們就忽略了分式分母不為0 這種情況。如此一來,轉(zhuǎn)化后的整式方程的根,有可能使原分式方程中的分母為0,這便是產(chǎn)生增根的原因。因此,解分式方程必須增加驗根的過程。
總的來說,類比是基于兩種不同事物或道理的類似,由此及彼,引發(fā)猜想,指引探究;對比是將兩種不同事物或者同一事物的不同方面放在一起進(jìn)行對照比較,辨別是非,把握本質(zhì)。綜合運用類比和對比,是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。