數(shù)學(xué)小實驗：賦予學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)生長的力量

任衍蘭

摘要：發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的根本性訴求。在此過程中，數(shù)學(xué)小實驗?zāi)軌蛞龑?dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的學(xué)習(xí)過程。操作性的數(shù)學(xué)小實驗?zāi)苓€原數(shù)學(xué)學(xué)科知識之態(tài)；理解性的數(shù)學(xué)小實驗?zāi)芴骄繑?shù)學(xué)的內(nèi)在之理；思維性的數(shù)學(xué)小實驗?zāi)茏寣W(xué)生欣賞數(shù)學(xué)知識之美；而創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)小實驗?zāi)艹尸F(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識的生發(fā)、生長之序。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)小實驗；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；生長力量

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知，還要引導(dǎo)學(xué)生實踐。數(shù)學(xué)小實驗兼具“理論”與“實踐”的品質(zhì)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體。小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是直觀的、形象的，他們對于數(shù)學(xué)概念的理解、規(guī)律的推導(dǎo)、命題的判定等都離不開直觀形象思維的支撐。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)小實驗，能夠幫助學(xué)生在實驗過程中發(fā)現(xiàn)知識、建構(gòu)知識、創(chuàng)造知識，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然生長的力量，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義、應(yīng)然之舉。

一、操作性小實驗：還原數(shù)學(xué)知識之“態(tài)”

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)知識是以一種“壓縮化”的形態(tài)呈現(xiàn)的。教師必須善于“解壓縮”[1]，讓學(xué)生去經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成歷程，重走人類探索數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵步伐。操作性的數(shù)學(xué)實驗，能引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中主動觀察，主動動手做、主動嘗試。通過操作性的數(shù)學(xué)實驗，能有效還原數(shù)學(xué)知識的“過程之態(tài)”，讓數(shù)學(xué)知識得到過程性的確證與表征。在實驗過程中，學(xué)生能追溯數(shù)學(xué)知識的源頭，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

操作性小實驗，是數(shù)學(xué)實驗的一種最為常見的類型，但操作不是簡單地讓學(xué)生“動手做”，而是要融入學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和想象。從這個視角來說，操作性數(shù)學(xué)小實驗是學(xué)生的一種具身性認(rèn)知。比如教學(xué)“有余數(shù)的除法”時，當(dāng)學(xué)生第一次接觸“余數(shù)”，對于“余數(shù)”的理解僅僅是“除法計算最后不夠除而剩下的數(shù)”。而對于“余數(shù)”和“除數(shù)”之間的關(guān)系、“被除數(shù)”與“除數(shù)”和“余數(shù)”的關(guān)系，學(xué)生往往不能有效建構(gòu)。為了助推學(xué)生的關(guān)系性理解、建構(gòu)，教師可以在教學(xué)中以小實驗的方式，設(shè)計學(xué)生活動———分物品。在活動中，學(xué)生開始會像發(fā)牌那樣一個一個地發(fā)，當(dāng)學(xué)生在分發(fā)的過程中感覺疲憊的時候，便會積極主動地想著幾個一起發(fā)，以提高發(fā)放速度。進(jìn)而，學(xué)生就會積極主動地思考：能否一次分到位？這種“求簡”的意識正是創(chuàng)新的源泉。在這個過程中，教師應(yīng)及時組織學(xué)生研討：怎樣才能把牌最快分發(fā)完？由此，引導(dǎo)學(xué)生“試商”。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過多次的數(shù)學(xué)小實驗成功分完東西之后，不僅建構(gòu)了“商”的概念，同時也深刻理解了“余數(shù)”的內(nèi)涵。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，剩下來的數(shù)也就是余數(shù)，必須要比除數(shù)小。因為如果不比除數(shù)小，就可以再分，商就可以變大，商最大之后，余數(shù)一定是小于除數(shù)的。在這個過程中，學(xué)生有效地建構(gòu)了被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之間的關(guān)系。

操作性的數(shù)學(xué)小實驗，不僅能夠引導(dǎo)學(xué)生操作，還能啟迪學(xué)生思維，是一種“做思共生”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。在實驗中，學(xué)生不僅要用眼睛看，還要用手做、用大腦思考、用嘴巴表達(dá)。學(xué)生積極地觀察、模仿、實驗、猜想，能不斷地完善學(xué)生的認(rèn)知方式、思維方式和行為方式。

二、理解性小實驗：探究數(shù)學(xué)知識之“理”

理解包括三個層面的內(nèi)容：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)。理解數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)，理解學(xué)生是前提，只有理解了數(shù)學(xué)、理解了學(xué)生，才能理解教學(xué)。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要設(shè)計研發(fā)理解性小實驗，引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)學(xué)科知識之理。在設(shè)計研發(fā)理解性數(shù)學(xué)小實驗時，教師不僅要把握教學(xué)重點、難點，還要了解學(xué)生的具體學(xué)情，通過調(diào)查、訪談把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困惑、障礙、問題，把握學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)疑點、盲點。

設(shè)計研發(fā)理解性小實驗，關(guān)鍵是要揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生直觀性、形象性的理解，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腳手架”，能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深度理解。比如教學(xué)“圓柱的體積”這一部分內(nèi)容時，學(xué)生遇到了這樣的一個問題：用同樣大小的長方形紙卷成一個圓柱，有兩種卷法，這兩種卷法所形成的圓柱的體積相等嗎？為什么？面對這樣的一個問題，很多學(xué)生都認(rèn)為可以采用舉例子計算的方法來判斷。但舉例法是一種不完全歸納法，有著偶然性。為此，教師可以組織學(xué)生開展理解性小實驗，目的是讓學(xué)生借助于圓柱體體積推導(dǎo)學(xué)具，重新展開一次拼接活動。當(dāng)學(xué)生將圓柱體切拼成近似的長方體之后，引導(dǎo)學(xué)生將長方體按照不同的方向擺放，形成不同的底面積和高，由此建構(gòu)不同形態(tài)的圓柱體體積公式。通過這一數(shù)學(xué)小實驗，促進(jìn)了學(xué)生對問題結(jié)論的深度理解，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓柱的體積還可以表示成側(cè)面積的一半乘以半徑。如此，一張長方形紙無論怎樣卷，其側(cè)面積是不變的，圓柱體的體積大小的決定性變量就是圓柱的底面半徑，而一張長方形紙卷成圓柱，顯然是以長為底底面積大。由此，學(xué)生對于數(shù)學(xué)結(jié)論不僅“知其然”，還“知其所以然”。在實驗過程中，有學(xué)生還富有創(chuàng)意地將以長方形長為底的圓柱稱之為“矮胖胖”，并且認(rèn)為“矮胖胖”的體積更大。

設(shè)計研發(fā)理解性的數(shù)學(xué)小實驗，要讓學(xué)生以發(fā)現(xiàn)者的姿態(tài)參與數(shù)學(xué)探究，既要關(guān)注抽象性的數(shù)學(xué)知識，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)化屬性，又要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗化、具體化。教師要精心組織學(xué)生的理解性小實驗，為學(xué)生的數(shù)學(xué)新知建構(gòu)奠定堅實的基礎(chǔ)。從某種意義上說，理解性的數(shù)學(xué)小實驗不僅是一種教學(xué)手段、教學(xué)工具，還是教學(xué)內(nèi)容的重要組成。

三、思維性小實驗：欣賞數(shù)學(xué)知識之“美”

西方著名思想家羅素曾說：“數(shù)學(xué)具有至高無上的美，正如雕刻的美，是一種‘冷而嚴(yán)肅的美[2]?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生理解知識，還要讓學(xué)生能領(lǐng)略到數(shù)學(xué)學(xué)科知識之美。數(shù)學(xué)學(xué)科知識之美，不僅表現(xiàn)在知識的形態(tài)美，還體現(xiàn)在知識的本質(zhì)之美、關(guān)系之美、結(jié)構(gòu)之美上。這種“美”是和諧的、圓融的、互攝的。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生開展思維性小實驗，讓實驗?zāi)荏w現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科知識的內(nèi)在之美。

思維性小實驗，是要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗過程中經(jīng)歷“理智的歷險”。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種探險，隨時都有可能遭遇懸崖峭壁。思維性小實驗，就是要思考、想象“經(jīng)歷”的可能性，從而呈現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的豐富性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的開放性。思維性數(shù)學(xué)實驗，往往不需要借助于過多物質(zhì)性實驗儀器，僅僅需要學(xué)生對實驗的過程、實驗的結(jié)果作出一種可能性的分析。借助于思維性小實驗，能讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)學(xué)科知識之美、數(shù)學(xué)問題解決方法之妙。比如學(xué)生在六年級總復(fù)習(xí)的過程中遇到了這樣的一道題：3條直線兩兩相交，最多會有3個交點；4條直線兩兩相交，最多會有6個交點；100條直線相交，最多有多少個交點？1000條呢？n條呢？對于這樣的一個找規(guī)律性的問題，教師不可能讓學(xué)生一條一條地去畫，而需要在操作實物性數(shù)學(xué)實驗的基礎(chǔ)上展開數(shù)學(xué)的思想性、推理性、想象性的思維實驗。如有學(xué)生分別探究了3條直線兩兩相交、4條直線兩兩相交、5條直線兩兩相交，等等。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了每增加一條直線增加的交點個數(shù)的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“直線的條數(shù)和交點的個數(shù)的關(guān)系”，等等。由此引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)反映規(guī)律的相關(guān)數(shù)學(xué)雛形，并依托數(shù)學(xué)雛形進(jìn)行想象。學(xué)生在頭腦中“操作”，在頭腦中“下盲棋”。通過思維性的數(shù)學(xué)實驗，學(xué)生不僅能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，找到大數(shù)據(jù)直線條數(shù)兩兩相交所形成的交點數(shù)，還能建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

思維性數(shù)學(xué)小實驗是根據(jù)研究目的展開人為假設(shè)，并通過改變和控制某些變量而研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象、規(guī)律的一種實驗，往往是在學(xué)生的頭腦中完成的，而不是依靠具體的物質(zhì)性的實驗器材。思維性實驗是一種抽象分析和歸納綜合性的實驗，能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識的形式之美、邏輯之美、抽象之美。通過思維性數(shù)學(xué)小實驗，學(xué)生能領(lǐng)略到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的神奇，能感悟到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的秘妙旨趣。

四、創(chuàng)造性小實驗：呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之“序”

創(chuàng)造是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界。小學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造不同于科學(xué)家、數(shù)學(xué)家的原始創(chuàng)造，其主要是數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人將所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容再造出來[3]。創(chuàng)造性小實驗，一方面要遵循數(shù)學(xué)學(xué)科知識的邏輯演進(jìn)、發(fā)展的順序而展開；另一方面要遵循學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知特點，遵循學(xué)生的具體學(xué)情。

創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)小實驗，能呈現(xiàn)、凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科知識之“序”，要求教師要引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“學(xué)數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”，只有充分地做、充分地學(xué)，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中展開積極地遷移，主動地提煉、激活相關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗、知識，展開富有個性的創(chuàng)造。創(chuàng)造不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的一種重要方式，還是學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的根本性目的、追求。創(chuàng)造兼具工具性意義和價值性意義的雙重屬性。比如教學(xué)“長方形的面積”這一部分內(nèi)容時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生做創(chuàng)造性小實驗，通過實驗，學(xué)生緩慢地建構(gòu)長方形的面積公式。一開始，教師可以給學(xué)生提供單位面積的小正方形，讓學(xué)生用這些單位面積的小正方形去密鋪，這個時候，單位面積的小正方形的個數(shù)是足夠的。通過密鋪，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識長方形的面積就是單位面積小正方形的個數(shù)；接著，教師可以讓學(xué)生還是用這些單位面積的小正方形密鋪，但這個時候，長方形變大了，單位面積的小正方形的個數(shù)就不能鋪滿長方形了，變得“缺斤少兩”。至此，可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考：長方形中一共有多少個單位面積的小正方形？由此催生學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方形的長也就是單位面積小正方形的每行的個數(shù)，長方形的寬也就是單位面積的小正方形的行數(shù)；最后，教師可以給學(xué)生提供一個更大的長方形，由此引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)長方形的面積公式，即長方形的面積公式等于底乘高，也就是單位面積的小正方形的總個數(shù)等于每行的個數(shù)乘行數(shù)。

創(chuàng)造性的小實驗，有助于深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，教師要把握學(xué)生創(chuàng)造性實驗的起點和發(fā)展，更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗。數(shù)學(xué)實驗不是數(shù)學(xué)知識的簡單再現(xiàn)，而是必須打開數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)這樣說：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，更多的是一種實驗性的科學(xué)、歸納性的科學(xué)。”創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)小實驗，就是要引導(dǎo)學(xué)生展開直覺的猜想、想象，就是要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納、概括。

數(shù)學(xué)小實驗要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、形式化、公理化的學(xué)習(xí)過程，能充分地發(fā)揮和彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生、深度發(fā)生。

參考文獻(xiàn)：

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[2]$孫朝仁.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)內(nèi)部支持系統(tǒng)的構(gòu)建[J].數(shù)學(xué)通報，2020（8）.

[3]$張波，徐玥.我國中學(xué)數(shù)學(xué)實驗研究：現(xiàn)狀與展望[J].課程·教材·教法，2019（2）.

$見習(xí)編輯/張婷婷