論題、論挫、論法、論道
——2022年高考全國(guó)乙卷理科第12題評(píng)析

安徽省濉溪縣第二中學(xué)(235100) 丁正義 祝峰

研究試題,啟示教學(xué),是中學(xué)數(shù)學(xué)教師教研活動(dòng)的形式之一.高考試題的探討應(yīng)在論題、論挫、論法的基礎(chǔ)之上,深入至論道層面.論題聚焦問(wèn)題的本質(zhì)揭示;論挫集中分析試題難度,定位學(xué)生解題的思維挫點(diǎn)及挫因;論法則圍繞探究自然、合理的問(wèn)題解決方法開(kāi)展;論道意在揭示知識(shí)本質(zhì),給出啟發(fā)性、鞏固性變式,總結(jié)一般觀念,反思對(duì)高考備考的啟示,體會(huì)試題對(duì)教學(xué)、特別是高考備考教學(xué)的引領(lǐng)性.下文以2022年高考全國(guó)乙卷理科第12 題為例,呈現(xiàn)論題、論挫、論法、論道的過(guò)程,旨在為高考試題的教研提供一個(gè)鮮活案例.

1 試題

題目(2022年高考全國(guó)乙卷理科第12 題)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

為行文方便,記

函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,所以

2 論題

考查函數(shù)奇偶性、周期性、圖像對(duì)稱性,以及三者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).兩函數(shù)f(x)、g(x)密切相關(guān),圖像均具有雙對(duì)稱性、均為周期函數(shù),且相關(guān)復(fù)合函數(shù)具備奇偶性.在題設(shè)條件下,以下基本事實(shí)成立.

事實(shí)1 函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱

且以下五命題等價(jià):g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱?g(2+x)為偶函數(shù)?g(2+x)=g(2?x)?g(2+x)圖像關(guān)于y對(duì)稱?g(x)=g(4?x).

事實(shí)2 函數(shù)g(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱

證明①中用x?4 替換x,得f(x?4)+g(6?x)=5,結(jié)合②得g(x)+g(6?x)=12.設(shè)P(x,g(x))為函數(shù)g(x)圖像上任意一點(diǎn),則其關(guān)于(3,6)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(6?x,12?g(x)).注意到g(6?x)=12?g(x),所以點(diǎn)P′在函數(shù)g(x)圖像上,所以函數(shù)g(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱.

進(jìn)一步,以下五命題等價(jià):函數(shù)g(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱?函數(shù)g(3+x)?6 為奇函數(shù)?g(3+x)+g(3?x)=12?g(x)=12?g(6?x)?函數(shù)g(3+x)?6 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(附:或者②中用x+4 替換x,得g(x+4)?f(x)=7,結(jié)合①得g(2?x)+g(x+4)=12,再用2?x換x,也可得g(x)+g(6?x)=12.)

事實(shí)3 函數(shù)g(x)是以4 為周期的函數(shù)

證法一注意到對(duì)稱中心(3,6)關(guān)于對(duì)稱軸x=2 的對(duì)稱點(diǎn)(1,6),也是函數(shù)g(x)的對(duì)稱中心.所以g(x)+g(2?x)=12,又g(x)=12?g(6?x),故g(2?x)=g(6?x),用2?x替換x得g(4+x)=g(x),即g(x)為周期函數(shù),4 為其一個(gè)周期.

證法二注意到對(duì)稱軸x=2 關(guān)于對(duì)稱中心(3,6)的對(duì)稱直線x=4,也是函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸.所以g(x)=g(8?x),又g(x)=g(4?x),所以g(8?x)=g(4?x),用4?x替換x得g(4+x)=g(x),即g(x)為周期函數(shù),4 為其一個(gè)周期.

事實(shí)4 函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

證明由①得f(x)=5?g(2?x),則f(?x)=5?g(2+x),結(jié)合③,得f(x)=f(?x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

事實(shí)5 函數(shù)f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(?1,?1)中心對(duì)稱

證明①中用2?x換x得f(2?x)+g(x)=5,結(jié)合②得f(2?x)+f(x?4)=?2,所以f(x)圖像關(guān)于(?1,?1)中心對(duì)稱.(證法同事實(shí)2,過(guò)程略)

事實(shí)6 函數(shù)f(x)為周期函數(shù)

T=4(結(jié)合事實(shí)4、5,證法同事實(shí)3,過(guò)程略)

3 論挫

3.1 難度

為了考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和關(guān)鍵能力,以數(shù)學(xué)情境為載體.看似平淡無(wú)奇,但新穎、嚴(yán)肅、規(guī)范、工整的呈現(xiàn)方式,別致的問(wèn)題情境,巧妙的設(shè)問(wèn),讓學(xué)生在“嘗鮮”中發(fā)揮自己的問(wèn)題解決能力.這種獨(dú)特的情境,對(duì)學(xué)生而言是陌生的.

從信息量看,兩個(gè)函數(shù)、兩個(gè)關(guān)系、一個(gè)性質(zhì)、一個(gè)特值、一個(gè)和式、四個(gè)選項(xiàng).量大、關(guān)系錯(cuò)綜,隱蔽性、干擾性、迷惑性強(qiáng),且內(nèi)隱著重要的數(shù)學(xué)思想、解題策略和數(shù)學(xué)模型.

從運(yùn)算和推理的角度看,問(wèn)題解決過(guò)程中涉及的函數(shù)均為抽象函數(shù),沒(méi)有具體的解析式可用.運(yùn)算和推理基本上都以符號(hào)進(jìn)行,步驟多、思維量大、邏輯性強(qiáng)、指向性不明確,對(duì)考生心理的沖擊力強(qiáng).

從知識(shí)的關(guān)聯(lián)性看,試題在函數(shù)奇偶性、周期性、圖像的對(duì)稱性、圖像變換等,多個(gè)邏輯關(guān)系較強(qiáng)的知識(shí)交匯處命制,且設(shè)置在選擇題壓軸題的位置.這種綜合性及特定位置,給學(xué)生的心理暗示是復(fù)雜、困難.

陌生的問(wèn)題情境,冗雜的知識(shí)信息,繁瑣的運(yùn)算推理,多重的知識(shí)交匯,特定的壓軸位置,這些因素共同促高了試題的客觀難度.

3.2 挫點(diǎn)、挫因

(3)函數(shù)g(x)圖像關(guān)于x=2 對(duì)稱,不能順利向事實(shí)1中的其它四個(gè)命題轉(zhuǎn)化,這是知識(shí)缺陷導(dǎo)致.

(4)看待“元”、“方程”的視角狹窄,沒(méi)有把f(x)+g(2?x)=5 及g(x)?f(x?4)=7 這兩條件結(jié)合,消去其中一個(gè),獲得另一個(gè)函數(shù)性質(zhì)表達(dá)式的意識(shí),這是問(wèn)題解決的一般觀念薄弱導(dǎo)致.

(5)賦值法.考生基本上都具有這種觀念和能力,但僅對(duì)變量賦常數(shù)有感覺(jué),對(duì)諸如用x替換x?4 等這樣,給變量賦變量的賦值問(wèn)題,應(yīng)用不夠熟練.主要是對(duì)賦值的思維來(lái)源模糊導(dǎo)致,不能按需要恰當(dāng)構(gòu)造所需的抽象結(jié)構(gòu)式.

4 論法

解法1(聚焦g(x),歸納得結(jié)果)由①得f(x)=5?g(2?x),結(jié)合③得f(x)=5?g(2+x),所以

把①中x換成x?4 得

結(jié)合②、④得

令x=2,代入⑤有g(shù)(2)+g(6?2)=12,所以g(4)=8;令x=3,代入⑤有g(shù)(3)+g(6?3)=12,所以g(3)=6;注意到y(tǒng)=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,所以g(0)=g(4)=8,g(1)=g(3)=6.

令x=1,代入⑤得g(5)=6.可見(jiàn),g(1)=6,g(2)=4,g(3)=6,g(4)=8,g(5)=6,g(6)=4,···,g(k)的值呈現(xiàn)周期性變化,周期為4.所以

點(diǎn)評(píng)化歸思想下,“g(x)圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,g(2)=4”均是函數(shù)g(x)的性質(zhì),所以想到借助①,把轉(zhuǎn)化為問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)的問(wèn)題,聚焦函數(shù)g(x),消元法思想和賦值法統(tǒng)領(lǐng)下,①、②結(jié)合得g(x)+g(6?x)=12.至此,函數(shù)g(x)具備兩個(gè)性質(zhì)、一個(gè)特值,按需要賦值,歸納推理下,發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值呈周期性變化,獲得結(jié)果.

上述解法,可從以下不同方向細(xì)微調(diào)整:

方向1g(x)+g(6?x)=12 獲得的另一方式.x+4 替換②中的x得g(x+4)?f(x)=7,結(jié)合①得g(x+4)+g(2?x)=12.類似解法繼續(xù)解下去即可.當(dāng)然,只需用x?4 替換x即可獲得g(x)+g(6?x)=12.

方向2歸納、猜想發(fā)現(xiàn)g(x)函數(shù)值呈周期性變化,獲得結(jié)果是正確的.選擇題這樣解無(wú)可厚非,但邏輯上欠完整,為了更嚴(yán)密,可參考事實(shí)3,嚴(yán)格證明函數(shù)g(x)是周期為4 的函數(shù).

解法2(聚焦f(x),歸納求解)

由①得f(x)=5?g(2?x),則f(?x)=5?g(2+x),結(jié)合③,得f(x)=f(?x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).①中用2?x替換x,得f(2?x)+g(x)=5,結(jié)合②得

令x=3,由⑥得f(1)=?1;令x=2,由②得f(2)=?3;x=5,由⑥得f(3)=?1;令x=6,由⑥得f(4)=1;令x=7,由⑥得f(5)=?1,··· ,可見(jiàn),f(x)函數(shù)值呈現(xiàn)周期性變化,T=4.所以

點(diǎn)評(píng)關(guān)鍵有三,一是把g(2?x)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)為偶函數(shù),二是結(jié)合①②獲得函數(shù)f(x)的性質(zhì)表達(dá)式⑥,三是把g(2)=4 利用②轉(zhuǎn)化為f(2)=?3.完成這三個(gè)轉(zhuǎn)化后,問(wèn)題只與函數(shù)f(x)有關(guān),按需要賦值,發(fā)現(xiàn)周期性規(guī)律,即可解決問(wèn)題.集中體現(xiàn)了化歸思想和賦值法的應(yīng)用.類比事實(shí)3,可嚴(yán)格證明函數(shù)f(x)是以4 為周期的函數(shù).

解法3(特殊函數(shù))注意到y(tǒng)=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,g(2)=4,令符合這兩已知兩條件.由①得

則

點(diǎn)評(píng)抽象函數(shù)問(wèn)題中,可列舉符合條件的具體函數(shù),輔助理解問(wèn)題,探究思路.客觀題中甚至可以直接用這樣的函數(shù)解決問(wèn)題.瞄準(zhǔn)函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,g(2)=4 這兩個(gè)特征,構(gòu)造一個(gè)符合條件的函數(shù)并在此基礎(chǔ)上用①求出進(jìn)一步檢驗(yàn)此函數(shù)也符合條件②.所以構(gòu)造的函數(shù)符合題設(shè)中所有條件,是滿足題設(shè)的其中一組函數(shù),可以直接利用這兩函數(shù)解決問(wèn)題.

值得關(guān)注的是,所構(gòu)造函數(shù)必須滿足題設(shè)中所有條件,同時(shí)應(yīng)清楚滿足條件的函數(shù)不唯一.

5 論道

5.1 知識(shí)

奇偶性和周期性是函數(shù)重要的基本性質(zhì),在圖像上均有直觀體現(xiàn).奇偶性、周期性定義的基礎(chǔ)上,復(fù)合函數(shù)的奇偶性有以下常見(jiàn)規(guī)律.

f(x)為定義在R 上的函數(shù),a,b∈R.

(1)關(guān)于偶函數(shù),以下五句話等價(jià)

f(a+x)為偶函數(shù)?f(a+x)=f(a?x)?f(a+x)的圖像關(guān)于y對(duì)稱?f(x)的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱?f(x)=f(2a?x).

(2)關(guān)于奇函數(shù),以下五句話等價(jià)

f(a+x)?b為奇函數(shù)?f(a+x)+f(a?x)=2b?f(a+x)?b的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱?f(x)=2b?f(2a?x).

(3)關(guān)于周期函數(shù),有以下結(jié)論

①若f(a+x)=f(a?x),且f(b+x)=f(b?x),即函數(shù)f(x)圖像有兩條對(duì)稱軸,則f(x)為周期函數(shù),2(a?b)為其一個(gè)周期.

②若f(a+x)+f(a?x)=2m,且f(b+x)+f(b?x)=2n,(m,n∈R)即函數(shù)f(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱軸中心,則f(x)為周期函數(shù),2(a?b)為其一個(gè)周期.

③若f(a+x)=f(a?x),且f(b+x)+f(b?x)=2n,即函數(shù)f(x)圖像有一條對(duì)稱軸,一個(gè)對(duì)稱軸中心,則f(x)為周期函數(shù),4(a?b)為其一個(gè)周期.

上述結(jié)論,類比基本事實(shí)1、2、3 可證,不予贅述.

5.2 變式

變式1(不定項(xiàng)選擇)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,g(2)=4,則( )

A.f(0)=1 B.g(1)=?6

C.f(?1)=f(7) D.g(?1)=g(2)

變式2已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,g(2+x)為偶函數(shù),g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

變式3已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,為偶函數(shù),g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

變式4已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7,g(x)=g(4?x),g(2)=4,則=( )

A.?21 B.?22 C.?23 D.?24

變式5(2022年新高考I 卷第12 題)已知f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的定義域均為R.記g(x)=f′(x).若g(2+x)均為偶函數(shù),則( )

A.f(0)=0 B.

C.f(?1)=f(4) D.g(?1)=g(2)

變式6(2022年新高考Ⅱ卷第8 題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1,則=( )

A.?3 B.?2 C.0 D.1

5.3 觀念

鞏固知識(shí)、深化理解、提高能力是解題教學(xué)的基本目的,教學(xué)中應(yīng)超越具體問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的知識(shí)、方法和技巧,上升到學(xué)生學(xué)科一般觀念發(fā)展的層面.學(xué)科一般觀念是指對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學(xué)思想方法和基本思維策略方法.[1]學(xué)科一般觀念直觀、簡(jiǎn)明、易懂但難深入;它們?cè)趩?wèn)題解決中具有統(tǒng)攝性、一般性和普適性.這道試題探究和解決的過(guò)程,至少體現(xiàn)以下一般觀念.

聚焦關(guān)鍵復(fù)雜問(wèn)題解決過(guò)程中,何為關(guān)鍵所在? 何為次要因素? 這道試題要求性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵;而結(jié)合條件①,得f(x)=5?g(2+x),所以

此時(shí),關(guān)鍵在函數(shù)g(x)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).排除干擾因素,聚焦問(wèn)題的主要方面,抓住關(guān)鍵所在,是一種重要的問(wèn)題解決能力,是問(wèn)題解決中所需的一種基本觀念.

轉(zhuǎn)化與化歸問(wèn)題的求解中,一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式不是無(wú)聊的游戲,而是問(wèn)題解決的杠桿,沒(méi)有它,難能走遠(yuǎn)、走深.面對(duì)問(wèn)題,應(yīng)從運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、發(fā)展的視角認(rèn)識(shí)才能發(fā)現(xiàn)本質(zhì)所在,而構(gòu)建聯(lián)系,觸及本源的最有效手段就是轉(zhuǎn)化與化歸,即不斷地尋求關(guān)聯(lián),改變形式.把轉(zhuǎn)化為、把g(x)圖像關(guān)于x=2 對(duì)稱轉(zhuǎn)化為g(2+x)=g(2?x)、把題設(shè)中性質(zhì)的混合表達(dá)式①②轉(zhuǎn)化為g(x)+g(6?x)=12 等等,這些轉(zhuǎn)化是問(wèn)題得以解決的最有效思維元素.

消元解題中,常稱一些對(duì)象為“元”.方程、代數(shù)式、函數(shù)中,把具有固定結(jié)構(gòu)的可變對(duì)象視為一個(gè)“元”,如一元二次方程、二元代數(shù)式、多元函數(shù)即是基于這種認(rèn)識(shí)所賦予的稱謂.[2]應(yīng)多視角認(rèn)識(shí)和構(gòu)造“元”,否則會(huì)影響問(wèn)題求解的靈活性、速度和正答率.試題求解中,對(duì)于條件①②,可把f(x)、g(x)視為兩個(gè)“元”.若把轉(zhuǎn)化為則需消去f(x),得g(x)的性質(zhì)表達(dá)式;若直接求解則需消去g(x),得f(x)的性質(zhì)表達(dá)式.這種“消元”的觀念,在問(wèn)題的解決的過(guò)程具有重要的導(dǎo)向作用.

賦值抽象函數(shù)問(wèn)題解決過(guò)程中,賦值法特別關(guān)鍵.“對(duì)稱賦值”和“按需要賦值”是常用的兩種賦值基本技巧.“對(duì)稱賦值”一般用在與奇偶函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題中,本題解答中主要是“按需要賦值”.如解法1 中把①中x換成x?4,是結(jié)合②消去f(x?4)使然,令x=2,代入⑤有g(shù)(2)+g(6?2)=12,是想知道g(2)=4 能獲得什么? 等等,均是在“按需要”賦值觀念下的獲得的思維靈感.

5.4 啟示

高考試題除選拔功能外,更重要的是對(duì)教學(xué)的引領(lǐng)作用,備考過(guò)程中,高考試題是重要育人資源.高考試題的解題教學(xué),應(yīng)在“論題”、“論挫”“論法”基礎(chǔ)上,上升到“論道”層面.

首先,反對(duì)大量“刷題”.無(wú)論是從本題看,還是從今年全國(guó)卷的六套試卷看,試題均靈活多變.低效率的大量刷題,搞“地毯式轟炸”,通過(guò)刺激—反應(yīng)訓(xùn)練形成的“條件反射”,會(huì)使數(shù)學(xué)的思維屬性喪失殆盡,與智慧、思維能力沒(méi)有太多關(guān)系.

其次,辯證地看待“題型”.對(duì)試題適當(dāng)?shù)姆诸惻c辨識(shí)是值得肯定的,但教學(xué)中應(yīng)注意防止題型的“泛化”,以及對(duì)于“機(jī)械記憶與簡(jiǎn)單模仿”的不恰當(dāng)強(qiáng)調(diào).[3]“少而精”是題型選擇和歸納的基本原則;“變式訓(xùn)練”是題型深化理解、技能有效提升的有效手段,能夠很好實(shí)現(xiàn)“講一題,通一類,得一法”;還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行分析和思考,以及更高層次的綜合,抓住重點(diǎn),以主帶次,提質(zhì)升效.

再次,杜絕解題活動(dòng)算法化、程序化.數(shù)學(xué)問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性,思維活動(dòng)又常表現(xiàn)出的非邏輯性(很多時(shí)候是靈感或頓悟),所以實(shí)際上解題活動(dòng)常具有或然性和個(gè)體性.通過(guò)典型高考試題的解題訓(xùn)練,提升學(xué)生的辨識(shí)能力,很好地掌握相應(yīng)的“解法”,并進(jìn)一步凝練出解題策略、體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,從而在遇到困難時(shí)能夠獲得一定的啟示.當(dāng)然,僅有這些還是不夠,我們應(yīng)該由具體問(wèn)題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略,轉(zhuǎn)向一般性思維策略與思維品質(zhì)的提升.也就是要超越具體的知識(shí)(起碼教師要具備這種意識(shí)),逐步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)解題逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考,努力提升學(xué)生思維的整體性與靈活性、自覺(jué)性與創(chuàng)造性.[4]

最后,應(yīng)幫助學(xué)生提升“題后反思”的自覺(jué)性.引導(dǎo)學(xué)生理解為什么應(yīng)當(dāng)積極從事“解題活動(dòng)”? 解題實(shí)踐中應(yīng)特別重視哪些方面或問(wèn)題? 實(shí)際上“題后反思”是解題活動(dòng)成功與否的一個(gè)重要因素.通過(guò)題后反思學(xué)生才能夠獲得包括“發(fā)現(xiàn)的眼光、洞察本質(zhì)的智慧、數(shù)學(xué)分析和解決問(wèn)題的思想方法”[5]在內(nèi)的學(xué)科一般觀念.這些“觀念”層面的東西,不僅對(duì)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)性理解、落實(shí)“四基”“四能”很重要,對(duì)轉(zhuǎn)變教的方式、學(xué)的方式也很重要,更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土.