探究圓錐曲線中一組斜率乘積定值

四川省名山中學(xué)(625100) 高繼浩

廣東省中山市桂山中學(xué)(528463) 余鐵青

一、提出問題

題目(貴州名校聯(lián)盟2021-2022 學(xué)年度高二下期期末聯(lián)考)已知橢圓C:過點(diǎn)且橢圓的左、右焦點(diǎn)與短軸的端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)F的直線l1,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線l2:x=4 交于M,N,線段MN的中點(diǎn)為E,求證:EF⊥PQ.

易得試題第(1)問橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為試題第(2)問中直線l2恰好是橢圓的右準(zhǔn)線,這是否具有一般性? 若將右焦點(diǎn)變?yōu)閤軸上其它點(diǎn),直線l2變?yōu)槠淦叫芯€,直線EF和PQ又有怎樣的關(guān)系? 將左頂點(diǎn)變?yōu)槠渌旤c(diǎn),結(jié)果又如何?

將試題第(2)問一般化得到:

命題1設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過橢圓右焦點(diǎn)F(c,0)的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別與直線

二、拓展探究

交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)為E,則EF⊥PQ.

上述命題中,當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,垂直關(guān)系顯然;當(dāng)直線PQ的斜率存在時,意味著直線EF和PQ的斜率之積為?1.這使筆者自然地思考:若將右焦點(diǎn)變?yōu)閤軸上其它點(diǎn),兩線斜率之積是否為定值? 于是探究得到:

命題2設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過點(diǎn)T(m,0)()的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別與直線交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)為E,直線ET,PQ的斜率分別為k1,k2,則.

命題3設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),過點(diǎn)T(m,0)()的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別與直線x=n()交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)為E,直線ET,PQ的斜率分別為k1,k2,則.

證明設(shè)直線PQ的方程為x=ty+m(0),與橢圓方程聯(lián)立,消去x得

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

直線AP的方程為令x=n得,同理得,故

注記1若將命題3 中的左頂點(diǎn)改為右頂點(diǎn),則類似地,若將命題3 中的點(diǎn)T(m,0)()改為點(diǎn)T(0,m)(),直線x=n()改為直線y=n(),則當(dāng)A是下頂點(diǎn)時,當(dāng)A是上頂點(diǎn)時,k1k2=.

三、類比探究

命題4設(shè)A是雙曲線的左頂點(diǎn),過點(diǎn)T(m,0)()的直線與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別與直線x=n()交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)為E,直線ET,PQ的斜率分別為k1,k2,則.

注記2若將命題4 中的左頂點(diǎn)改為右頂點(diǎn),則.

命題5設(shè)O是拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn),過點(diǎn)T(m,0)(0)的直線與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),直線OP,OQ分別與直線x=n()交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)為E,直線ET,PQ的斜率分別為k1,k2,則.

證明設(shè)直線PQ的方程為x=ty+m(0),與拋物線方程聯(lián)立,消去x得y2?2pty?2pm=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=2pt,y1y2=?2pm.直線OP的方程為令x=n得同理故