分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用探究

馬艷華

摘要：在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中引進(jìn)分類(lèi)討論思想，可有效增強(qiáng)學(xué)生的解題能力.科學(xué)引用分類(lèi)討論思想，不僅有助于學(xué)生理解復(fù)雜問(wèn)題的水平增長(zhǎng)，促使其進(jìn)一步增強(qiáng)解題的成效，還有利于學(xué)生思維能力的進(jìn)一步增強(qiáng)，對(duì)其未來(lái)的學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)均有著十分重要的價(jià)值.本文將分類(lèi)討論思想作為研究目標(biāo)，并與其在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用準(zhǔn)則與價(jià)值相結(jié)合，將蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)作為研究案例，對(duì)其應(yīng)用實(shí)踐進(jìn)行了探究.

關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；蘇科版

分類(lèi)討論思想是指解答數(shù)學(xué)題時(shí)，因問(wèn)題的復(fù)雜性與數(shù)學(xué)的自身規(guī)律，情形并非是唯一的，此時(shí)則需要根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)分成多個(gè)類(lèi)別，挨個(gè)分析與題目要求相符的所有情況.利用分類(lèi)討論，能很好地把數(shù)學(xué)問(wèn)題“去繁就簡(jiǎn)”.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中融入分類(lèi)討論思想，可有助于學(xué)生通過(guò)更直觀的形式去領(lǐng)會(huì)題目，推動(dòng)其對(duì)較復(fù)雜題目的分析水平，在增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)成效的同時(shí)，也可以培養(yǎng)其觸類(lèi)旁通的思維能力.

1分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用的原則

1.1同一性和相稱(chēng)性原則

教師應(yīng)該發(fā)揮引導(dǎo)的效能，帶動(dòng)學(xué)生明確出分類(lèi)對(duì)象.同時(shí)，教師還必須抓得住重點(diǎn)，在分類(lèi)時(shí)應(yīng)始終堅(jiān)守認(rèn)真態(tài)度，絕不疏漏任何類(lèi)別.唯有如此，才可以在初中數(shù)學(xué)解題中有效運(yùn)用分類(lèi)思想.例如，對(duì)平面和立體圖形展開(kāi)分類(lèi)時(shí)，教師應(yīng)先讓學(xué)生知道平面與立體兩種圖形的不同之處，由此，學(xué)生在分類(lèi)過(guò)程中才能夠根據(jù)統(tǒng)一的分類(lèi)要求，將正方體、長(zhǎng)方體及圓柱等界定為立體圖形，將長(zhǎng)方形、圓形、三角形等界定為平面圖形.

1.2多層性與互斥性原則

多層性指的主要是復(fù)雜化的問(wèn)題，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)首先對(duì)其展開(kāi)逐層分類(lèi)，讓各層之間的關(guān)系直觀明了地體現(xiàn)出來(lái)，以有助于學(xué)生更正確地解題.互斥性是指分類(lèi)完成后，不同組成部分之間應(yīng)該并無(wú)關(guān)聯(lián)，是彼此獨(dú)立的.

2分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用的重要意義

2.1降低問(wèn)題理解難度

初中階段的學(xué)生在最初接觸初中數(shù)學(xué)的時(shí)候，通常會(huì)因個(gè)人知識(shí)量的儲(chǔ)備能力相對(duì)欠缺，難以適應(yīng)初中數(shù)學(xué)難度的增高.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)將面臨較高的困難與壁壘，部分學(xué)生遭受多次打擊之后，極易對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)心生退意，覺(jué)得該學(xué)科是“枯燥”“無(wú)趣”和“困難”的.教師應(yīng)該主動(dòng)引入分類(lèi)討論思想為學(xué)生提供幫助，使其學(xué)會(huì)正確的數(shù)學(xué)問(wèn)題思考模式，培養(yǎng)其思維能力，進(jìn)而讓他們突破僵化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式.科學(xué)應(yīng)用分類(lèi)討論思想，在促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)題目的同時(shí)，還可以幫助學(xué)生在對(duì)自我的持續(xù)突破中，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上由被動(dòng)參與學(xué)習(xí)變成自主學(xué)習(xí)，從而鍛煉了學(xué)生的探索能力，進(jìn)一步提升了其求知欲，對(duì)于增強(qiáng)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)成效及質(zhì)量有著十分重要的意義.

2.2簡(jiǎn)化分類(lèi)討論用法

教師要以適當(dāng)?shù)哪Ｊ剑瑤ьI(lǐng)學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論法展開(kāi)簡(jiǎn)化處理，增強(qiáng)他們理解數(shù)學(xué)題的能力，來(lái)促使學(xué)生更好更容易地解決數(shù)學(xué)題目的辦法.就初中生而言，數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想屬于一種嶄新的數(shù)學(xué)理念，因此，在運(yùn)用中會(huì)存在一定的困難，學(xué)生在最初運(yùn)用時(shí)通常會(huì)產(chǎn)生不同的問(wèn)題.所以，為促使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會(huì)對(duì)分類(lèi)討論的運(yùn)用，且?guī)椭浔M早接受該數(shù)學(xué)解題理念，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論思想展開(kāi)簡(jiǎn)化，進(jìn)而在問(wèn)題運(yùn)用實(shí)踐過(guò)程中，利用分類(lèi)討論思想來(lái)對(duì)題目開(kāi)展各類(lèi)狀況及前提下的探討與驗(yàn)證，防止因題目的復(fù)雜化影響到學(xué)生對(duì)題目的分析過(guò)程，從而產(chǎn)生其他問(wèn)題.

2.3提高學(xué)生領(lǐng)悟能力

開(kāi)展初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該對(duì)分類(lèi)討論思想的科學(xué)化應(yīng)用模式進(jìn)行主動(dòng)的研究與探索，來(lái)提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決能力.同時(shí)，教師還應(yīng)該能對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)剡x取，并科學(xué)、明確提出教學(xué)的目標(biāo)，基于對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀和能力的掌握，確保數(shù)學(xué)課堂教學(xué)計(jì)劃更合理、更科學(xué)，適當(dāng)總結(jié)與整理數(shù)學(xué)教材中的某些公式和數(shù)學(xué)定理，同時(shí)幫助學(xué)生將其用于解決數(shù)學(xué)題目的實(shí)踐過(guò)程中，并對(duì)其展開(kāi)驗(yàn)證與推斷.學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中可以對(duì)通過(guò)分類(lèi)討論思想來(lái)解題的方便與全面有所了解.另外，教師還必須確保學(xué)生的學(xué)習(xí)成效，促使其對(duì)分類(lèi)狀況進(jìn)行歸納，對(duì)分類(lèi)討論的思維和準(zhǔn)則進(jìn)行梳理，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)題目的整體解決能力，進(jìn)一步拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，同時(shí)也能增強(qiáng)教師的初中數(shù)學(xué)教學(xué)水平.

3分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的具體運(yùn)用案例

3.1注重對(duì)學(xué)生識(shí)圖能力的培養(yǎng)，從圖中找尋分類(lèi)的條件

該題屬于極具代表性的以圓的對(duì)稱(chēng)性來(lái)分類(lèi)的題型.學(xué)生所畫(huà)出來(lái)的更多是圖3，卻對(duì)圖2的情況未加注重.教師不僅應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生找出就直徑AB來(lái)說(shuō)，弦AC和弦AD在相同側(cè)或是不同側(cè)，還更應(yīng)要求學(xué)生不可循環(huán)的求解.解決好一種情況后，對(duì)于另外的一種情況，則不用再求解，僅直接寫(xiě)出答案即可.因?yàn)閳D2中∠CAD=∠DAB-∠CAB，而圖3中∠CAD=∠DAB+∠CAB.兩張圖中的∠DAB、∠CAB是一樣的.所謂數(shù)學(xué)識(shí)圖能力，說(shuō)到底就是對(duì)于幾何知識(shí)的掌握.教師在日常課堂教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)更多地帶領(lǐng)學(xué)生正確畫(huà)出圖形，使概念不再抽象難懂，以助于學(xué)生能對(duì)概念的含義與外延有更好的領(lǐng)會(huì).

3.2培養(yǎng)學(xué)生的合作互助精神，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論思想的掌握就初三的學(xué)生來(lái)說(shuō)，面對(duì)綜合程度較高的題目時(shí)，有時(shí)候會(huì)無(wú)從下手，難以找出破題思路.此時(shí)應(yīng)依靠集體力量，讓學(xué)生自主尋求伙伴幫助共同解決，既能使學(xué)生成為課堂主體，切實(shí)突顯新課程思想，還能使學(xué)生的解題能力在分類(lèi)討論思想上的掌握得到鍛煉.

例2如圖4所示，設(shè)拋物線y=ax²+bx-2和x軸相交于A（-1，0），B（4，0）兩個(gè)不同點(diǎn)，和y軸相交于點(diǎn)C.

（1） 求拋物線的解析式和∠ACB的大?。?/p>

（2） 已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=x+1與拋物線相交于另一點(diǎn)E，如果點(diǎn)P在x軸上，以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形相似于△AEB，求點(diǎn)P坐標(biāo).

該題第（2）問(wèn)是難點(diǎn)，教師可先讓學(xué)生進(jìn)行嘗試，多數(shù)學(xué)生分6種情況來(lái)討論，解題過(guò)程逐漸復(fù)雜直至無(wú)法進(jìn)行下去.教師問(wèn)“大家認(rèn)為難點(diǎn)在什么地方？”學(xué)生答“題目當(dāng)中并未給出對(duì)應(yīng)點(diǎn)”教師說(shuō)“可以試著幾個(gè)人共同商量，看能否找到題目中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)”學(xué)生自主建立了2人或者3人學(xué)習(xí)小組，不久就有學(xué)生開(kāi)始舉手，逐漸更多學(xué)生舉手表示解決了問(wèn)題.教師讓一個(gè)學(xué)生代表發(fā)言，指出只存在2種可能性，原因在于AE與BD是平行的，從中可以知道tan∠EAB=1，得到∠EAB=45°，而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，-3）后很容易得出∠DBA=45°.所以∠EAB=∠DBA，點(diǎn)A和B是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，三角形相似就只有兩種可能：△ABE～△BPD或者△ABE～△BDP，通過(guò)對(duì)應(yīng)線段成比例求出 BP 的長(zhǎng)，得到點(diǎn) P（2，0） 或P（4.4，0）.

4結(jié)語(yǔ)總而言之，初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)，同時(shí)還是中學(xué)數(shù)學(xué)整個(gè)教育機(jī)制的關(guān)鍵所在.分類(lèi)討論思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，已逐步融進(jìn)了整個(gè)初中教學(xué)機(jī)制中.教師應(yīng)基于將分類(lèi)思想在概念性?xún)?nèi)容中的融入，引導(dǎo)初中學(xué)生清楚運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使其對(duì)數(shù)學(xué)思想模式的理解得以鞏固，為未來(lái)對(duì)教學(xué)問(wèn)題的高效解決給出憑據(jù)，最終使學(xué)生的解題能力得以增強(qiáng).參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉美.淺析分類(lèi)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用［J］.科技視界，2021（6）：167168.

［2］ 路詠禎.關(guān)于分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科學(xué)咨詢(xún)（教育科研），2020（7）：223.

［3］ 姜琳琳.初中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)［J］.華夏教師，2019（2）：910.

［4］ 張思涵，王亞娟.分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.農(nóng)家參謀，2017（16）：47.

［5］ 朱冬文.數(shù)學(xué)解題過(guò)程中分類(lèi)討論思想的運(yùn)用探討［J］.教育現(xiàn)代化，2017，4（29）：145146.

［6］ 孟寧.初中數(shù)學(xué)解題中分類(lèi)討論思想的運(yùn)用［J］.教育現(xiàn)代化，2017，4（29）：299300.

［7］ 姬梁飛.分類(lèi)討論思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.教學(xué)與管理，2018（28）：4042.

［8］ 孫蕓.從一道高考題的解答談分類(lèi)討論思想［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（1）：5456.