論旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用

摘 要：文章對(duì)旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中如何妙用進(jìn)行討論，同時(shí)分享部分解題實(shí)例.

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)思想；初中數(shù)學(xué)；解題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）23-0024-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡(jiǎn)介：林艷娜（1982.3-），女，福建省福州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師需指引學(xué)生結(jié)合具體題目巧妙應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想，使其盡快找到解題的切入點(diǎn)，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使學(xué)生高效解答試題.

1 合理運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想，解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題

教師在平常的解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生合理運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想，對(duì)題目中的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和變形，使其明確旋轉(zhuǎn)后的變化情況，讓他們快速確定解題方案，解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題^［1］.

例1 如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，AE＝10，求CE的長(zhǎng)度為多少？

分析 利用旋轉(zhuǎn)思想，把△BCE圍繞點(diǎn)B進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，剛好可以得到一個(gè)正方形，如圖2所示，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)找到邊與邊之間的關(guān)系，即可求出CE的長(zhǎng)度.

解 將△BCE圍繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BGM，這兩個(gè)直角三角形是全等關(guān)系，C、E兩點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至G、M點(diǎn)處，BC、CE、BE分別旋轉(zhuǎn)至BG、GM、BM，∠CBG＝∠BGD＝90°，由此得到正方形BCDG，∠ABE＝∠ABM＝45°，△ABE≌△ABM，那么AM＝AE＝10，設(shè)CE是x，則有AG＝10-x，AD＝12-（10-x）＝2＋x，DE＝12-x在直角三角形ADE中，AE²＝AD²＋DE²，代入相關(guān)數(shù)據(jù)后得到10²＝（2＋x）²＋（12-x）²，解之得x₁＝4，x₂＝6，故CE的長(zhǎng)度是4或6.

2 利用旋轉(zhuǎn)思想，解決線段最值問(wèn)題

通過(guò)對(duì)初中數(shù)學(xué)計(jì)算線段最值類問(wèn)題的研究與梳理，發(fā)現(xiàn)利用旋轉(zhuǎn)思想往往能夠起到意想不到的效果，學(xué)生運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想以后找到點(diǎn)的特殊位置，根據(jù)圖形形式與勾股定理進(jìn)行求解，讓他們順利解決線段最值問(wèn)題^［2］.

例2 如圖3所示，以邊長(zhǎng)是4的正方形ABCD的C點(diǎn)為圓心，半徑是2畫(huà)圓，點(diǎn)P是圓C上面的任意一點(diǎn)，讓點(diǎn)P圍繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，把BQ連接起來(lái)，那么BQ的最大值是什么？

分析 在本題中，線段圍繞一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)圖形可知∠CDP＝∠ADQ，可得出△AQD≌△CPD，把CP與AQ連接起來(lái)，可得AQ的長(zhǎng)是定值2，點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)圓，即可求出BQ的最大值.

解 將CP與AQ連接起來(lái)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知∠QDP＝∠QDC＋∠CDP＝90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝DC，∠ADQ＋∠QDC＝90°，則∠CDP＝∠ADQ，△AQD≌△CPD，AQ＝CP＝2，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也會(huì)隨之運(yùn)動(dòng)，不過(guò)AQ保持2的定值始終不變，據(jù)此可知點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心的圓，當(dāng)BQ有最大值時(shí)，點(diǎn)Q、A、B共線，且點(diǎn)A位于點(diǎn)B與Q之間，這時(shí)BQ＝AB＋AQ＝4＋2＝6.

3 利用旋轉(zhuǎn)思想，解決線段比值問(wèn)題

處理一些涉及圖形旋轉(zhuǎn)類的初中數(shù)學(xué)題目時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)思想，找到旋轉(zhuǎn)前后圖形線段、角度之間的內(nèi)在聯(lián)系，以此確定解題思路，從而求出線段比值^［3］.

例3 如圖4所示，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形，已知一個(gè)內(nèi)角是72°，該菱形圍繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到菱形A′B′C′D′，AB與B′C′相交于點(diǎn)P，把BB′連接起來(lái)，當(dāng)五邊形A′B′BCD′是正五邊形時(shí)，求BP：AP的值.

分析 因?yàn)樾D(zhuǎn)以后得到的是一個(gè)正五邊形，可知內(nèi)角是108°，旋轉(zhuǎn)后線段長(zhǎng)度與首尾順序均不發(fā)生變化，結(jié)合菱形、等腰三角形以及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解題.

4 利用旋轉(zhuǎn)思想，解決角度計(jì)算問(wèn)題

針對(duì)角度計(jì)算類試題，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生巧用旋轉(zhuǎn)思想，通過(guò)對(duì)原圖形的旋轉(zhuǎn)與變化把一些條件整合到一起，分析圖形的特殊角度及位置，使學(xué)生結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算，從而把復(fù)雜、陌生的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單與熟悉^［4］.

例4 如圖5所示，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的值.

分析 當(dāng)學(xué)生看到題目中出現(xiàn)3、4、5的數(shù)據(jù)時(shí)，很容易想到勾股定理，是同一個(gè)直角三角形的三條邊，但是在本題中并沒(méi)有位于同一個(gè)直角三角形內(nèi)，此時(shí)他們可想到應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想，把這三條邊集中到同一個(gè)直角三角形里面.

解 先讓△APB圍繞點(diǎn)A按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△ADC，連接PD，如圖6所示，則有AD＝PA＝3，DC＝PB＝4，∠PAD＝60°，得到一個(gè)等邊三角形PAD，則PD＝PA＝3，∠ADP＝60°，在△PDC中有PD²＋DC²＝PC²，這表明△PDC是一個(gè)直角三角形，且∠PDC＝90°，由此得到∠APB＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.

5 利用旋轉(zhuǎn)思想，解決面積計(jì)算問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，求解圖形面積類的試題離不開(kāi)旋轉(zhuǎn)思想的輔助與支持，可以把零散的圖形集中起來(lái).處理這類試題的關(guān)鍵在于確定好旋轉(zhuǎn)對(duì)象與角度，教師在平常的解題訓(xùn)練中需加強(qiáng)指導(dǎo)，讓學(xué)生準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)對(duì)象和角度，幫助他們輕松解決面積計(jì)算問(wèn)題^［5］.

例5 如圖7所示，在正方形ABCD中有一點(diǎn)E，AE＝1，BE＝25，DE＝32，把AE延長(zhǎng)同CD相交于點(diǎn)F，求四邊形BCFE的面積.

分析 本題可使用旋轉(zhuǎn)思想，將△AED圍繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后把兩個(gè)三角形拼接起來(lái)，根據(jù)題意能夠判定出拼接的三角形又由兩個(gè)直角三角形構(gòu)成，結(jié)合正方形的性質(zhì)用勾股定理等即可完成解題.

旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中可謂是有著極為廣泛的應(yīng)用空間，是一種極為重要與常用的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)圍繞旋轉(zhuǎn)思想專門開(kāi)設(shè)習(xí)題訓(xùn)練活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何妙用旋轉(zhuǎn)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使其充分感受到旋轉(zhuǎn)思想在解題中的妙用，繼而提高他們的解題水平^［6］.

參考文獻(xiàn)：

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陳志高.論旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用［J］.試題與研究，2023（06）：19-21.

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［3］ 吳明艷.淺談初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效策略［J］.智力，2020（23）：61-62.

［4］ 賀群.初中數(shù)學(xué)解題能力巧提升：旋轉(zhuǎn)中的不變性問(wèn)題［J］.學(xué)苑教育，2020（05）：52.

［5］ 宋景華.例談初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練教學(xué)［J］.數(shù)理化解題研究，2020（02）：14-15.

［6］ 周麗芳.初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)思想在解題中的巧妙運(yùn)用分析［J］.散文百家（新語(yǔ)文活頁(yè)），2019（08）：152.

［責(zé)任編輯：李 璟］