利用導(dǎo)數(shù)研究常見(jiàn)四類不等式問(wèn)題

馬青蓮 馬宇超 魏俊潮

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

馬宇超,男,碩士研究生,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究;

魏俊潮,男,博士,教授,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

不等式問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的常見(jiàn)問(wèn)題,結(jié)合函數(shù)命題常需要構(gòu)造函數(shù),導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的利器,可更好地幫助學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.常見(jiàn)的題型有比較大小、解不等式恒成立、證明不等式成立、解不等式這四類.本文結(jié)合近幾年的高考題和各地模擬題,對(duì)這四類問(wèn)題的解決方法進(jìn)行探究.

1 利用導(dǎo)數(shù)比較大小

A.a

C.c

令f(x)=ln(1+x)-x(x>-1),

當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f′(x)>0;

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,

所以函數(shù)f(x)在(-1,0)單調(diào)遞增,在(0,+∞)單調(diào)遞減.

即b>c.

(2)c=-ln0.9=-ln(1-0.1),

令h(x)=ex(x2-1)+1,則

h′(x)=ex(x2+2x-1).

所以g(0.1)>g(0)=0.

即0.1e0.1>-ln0.9.

所以a>c.

構(gòu)造h(x)=(1-x)ex,h′(x)=-xex,

當(dāng)x>0時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

所以h(0.1)

所以a

綜上可得c

評(píng)注對(duì)于這類無(wú)法直接比較大小的情況,首先需要觀察已知表達(dá)式的特點(diǎn)并進(jìn)行整理[1],使表達(dá)式的數(shù)字部分相互建立聯(lián)系,其次將數(shù)字部分統(tǒng)一為自變量x,作差或作商構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù),最后求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況進(jìn)行求解.

2 利用導(dǎo)數(shù)解不等式恒成立問(wèn)題

當(dāng)x>0時(shí),x2-2x+1≥0,

即x(x-2)≥-1.

所以φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又φ(2)=0,故當(dāng)0

當(dāng)x>2時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

評(píng)注對(duì)于參數(shù)易于分離的不等式可使用分離參數(shù)法,將原不等式分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.部分題目判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)需要二次甚至三次求導(dǎo),在求導(dǎo)函數(shù)時(shí)要注意導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)原函數(shù)的增減.

3 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例3(2021年全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).

(1)求a;

解析(1)a=1;

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=ln(1-x)<0,所以xf(x)<0;

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=ln(1-x)>0,所以xf(x)<0.

只需證x+f(x)>xf(x),

只需證x+ln(1-x)>xln(1-x),

只需證x+(1-x)ln(1-x)>0即可.

令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),則

h′(x)=-ln(1-x).

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x∈(-∞,0)∪(0,1)時(shí),h(x)>h(0)=0,即x+(1-x)ln(1-x)>0在(-∞,0)∪(0,1)上恒成立,即證g(x)<1.

評(píng)注求導(dǎo)判斷單調(diào)性時(shí),一定要注意原函數(shù)的定義域,僅判斷定義域內(nèi)的函數(shù)單調(diào)性即可,避免部分導(dǎo)函數(shù)在定義域范圍外的正負(fù)不易判斷的情況,使簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化.

4 利用導(dǎo)數(shù)解不等式

g′(x)<0.

所以g(x)是偶函數(shù).

故選B.

評(píng)注不同區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的判斷難度不同,若已知原函數(shù)的奇偶性和周期性,可巧用函數(shù)的奇偶性和周期性簡(jiǎn)化判斷.此時(shí)可選擇易于判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的區(qū)間,再利用對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性相同、偶函數(shù)單調(diào)性相反,周期函數(shù)各個(gè)周期上的函數(shù)單調(diào)性相同進(jìn)行判斷.

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的強(qiáng)有力工具,可將函數(shù)單調(diào)性、極值和最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行求解.本文針對(duì)比較大小、解不等式恒成立、證明不等式和解不等式這四類常見(jiàn)的不等式問(wèn)題進(jìn)行了研究,總結(jié)了利用導(dǎo)數(shù)研究這類問(wèn)題的做題方法和注意事項(xiàng),希望能對(duì)學(xué)生有所幫助.