“集合的基本運(yùn)算”類(lèi)比教學(xué)研究

劉逸晴

［摘 要］類(lèi)比作為重要的數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著豐富的應(yīng)用。以“集合的基本運(yùn)算”為例，教師可以采用類(lèi)比教學(xué)，在舊知識(shí)與新知識(shí)之間建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)縱向的認(rèn)知推進(jìn)和橫向的知識(shí)遷移。

［關(guān)鍵詞］集合；基本運(yùn)算；類(lèi)比教學(xué)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號(hào)］ ? ?1674-6058（2023）11-0016-03

波利亞曾說(shuō)：“類(lèi)比的核心是關(guān)系上的相似?！睆谋举|(zhì)上看，類(lèi)比即類(lèi)同、類(lèi)異、類(lèi)推，借同化、順應(yīng)與平衡納入認(rèn)知圖式，進(jìn)而探索元素、對(duì)象、系統(tǒng)之間的內(nèi)在關(guān)系，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展和遷移。從思維上看，類(lèi)比是“從特殊到特殊”或“從一般到一般”的推理。類(lèi)比作為重要的數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著豐富的應(yīng)用。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）路徑類(lèi)比，集合運(yùn)算學(xué)習(xí)的起始點(diǎn)

【教學(xué)片段1】

教師：實(shí)數(shù)有加、減、乘、除等運(yùn)算，集合是否也有類(lèi)似的運(yùn)算？

問(wèn)題1：類(lèi)比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，你能得出下列集合之間的關(guān)系嗎？

（1）[A=1，3，5]，[B=2，4，6]，[C=1，2，3，4，5，6]。

（2）[A=xx是有理數(shù)]，[B=xx是無(wú)理數(shù)]，[C=xx是實(shí)數(shù)]。

問(wèn)題2：你還能列舉出類(lèi)似的三個(gè)集合滿足上述關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：實(shí)數(shù)的研究是從含義與表示到大小關(guān)系再到四則運(yùn)算，類(lèi)比得出“集合的含義與表示→集合的關(guān)系→集合的運(yùn)算”的研究路徑。類(lèi)比實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，引入集合的運(yùn)算，讓學(xué)生感受探究集合運(yùn)算的必要性。一般地，問(wèn)題發(fā)現(xiàn)和提出的過(guò)程有三種途徑：一是根據(jù)生產(chǎn)生活的需要，通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)運(yùn)算學(xué)習(xí)的必要性，從而抽象出集合的運(yùn)算；二是類(lèi)比方法遷移，類(lèi)比實(shí)數(shù)的運(yùn)算研究，重現(xiàn)從特殊到一般的歸納以及從一般到特殊的演繹；三是通過(guò)法則的逆運(yùn)算發(fā)現(xiàn)新的法則。問(wèn)題2的舉例，建議從數(shù)學(xué)、生活等不同角度切入，觀察分析，豐富實(shí)例，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象概念的直觀理解。

（二）形式類(lèi)比，概括三種語(yǔ)言的關(guān)鍵點(diǎn)

【教學(xué)片段2】

教師：類(lèi)比前一節(jié)“子集的三種語(yǔ)言表述”，你能分別用自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)上述關(guān)系嗎？

自然語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合[A]或?qū)儆诩蟍B]的元素組成的集合，稱(chēng)為集合[A]與[B]的并集，記作[A∪B]（讀作“[A]并[B]”）。

符號(hào)語(yǔ)言：[A∪B=xx∈A，或x∈B]。

圖形語(yǔ)言：[A][B]。

思考：對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們會(huì)從它的運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則以及運(yùn)算結(jié)果來(lái)認(rèn)識(shí)它。那么你能說(shuō)說(shuō)并集的運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則以及運(yùn)算結(jié)果嗎？

追問(wèn)1：?jiǎn)栴}1中的集合關(guān)系如何利用符號(hào)表示呢？

追問(wèn)2：如果問(wèn)題1中的集合[A=1，2，3，5]，[B=2，4，6]，[C=1，2，3，4，5，6]，那么[A∪B=C]依然成立嗎？

注意，在求兩個(gè)集合的并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。

［例題1］設(shè)[A=4，5，6，8]，[B=3，5，7，8]，求[A∪B]。

［例題2］設(shè)集合[A=x-1

思考：下列關(guān)系式成立嗎？

（1）[A?A=A]；（2）[A??=A]。

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比子集的三種語(yǔ)言，給出并集的定義及其三種語(yǔ)言表示。類(lèi)比學(xué)習(xí)，滲透集合的三種語(yǔ)言，對(duì)后面的交集等其他集合運(yùn)算的規(guī)范表述產(chǎn)生正遷移。設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題串，進(jìn)一步建構(gòu)概念，結(jié)合實(shí)數(shù)的符號(hào)運(yùn)算、關(guān)聯(lián)類(lèi)比，分別從三種表征中掌握并集的運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則和運(yùn)算結(jié)果。整個(gè)過(guò)程從特殊到一般，從具體到抽象，猜想、探索、歸納形成概念，再?gòu)囊话愕教厥?，熟練轉(zhuǎn)換三種語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用并集的概念驗(yàn)證、解釋運(yùn)算規(guī)律，自然進(jìn)行認(rèn)知體系的再建構(gòu)、再擴(kuò)充，感受并集運(yùn)算的存在性和合理性，達(dá)到“既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林”的效果。

（三）過(guò)程類(lèi)比，探究交集運(yùn)算的接力點(diǎn)

【教學(xué)片段3】

教師：實(shí)數(shù)有加、減、乘、除等多種運(yùn)算，集合的基本運(yùn)算除了并集，是否還有其他運(yùn)算？

問(wèn)題3：觀察實(shí)例，你能否得出以下集合之間的關(guān)系？

（1）[A=2，4，6，8，10]，[B=3，5，8，12]，[C=8]；

（2）[A=xx]是我校2022級(jí)女[生]，[B=xx]是我校2022級(jí)8班學(xué)[生]，[C=xx] 是我校2022級(jí)8班女[生]。

問(wèn)題4：你還能列舉出類(lèi)似的三個(gè)集合滿足上述關(guān)系嗎？

追問(wèn)1：你能分別用自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)上述關(guān)系嗎？

自然語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合[A]且屬于集合B的元素組成的集合，稱(chēng)為集合[A]與[B]的交集，記作[A∩B]（讀作“[A]交[B]”）。

符號(hào)語(yǔ)言：[A∩B=xx∈A，且x∈B]。

圖形語(yǔ)言：[A][B]。

教師：對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們會(huì)從它的運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則以及運(yùn)算結(jié)果來(lái)認(rèn)識(shí)它。那么你能說(shuō)說(shuō)交集的運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則以及運(yùn)算結(jié)果嗎？

追問(wèn)2：?jiǎn)栴}3如何利用符號(hào)表示呢？

追問(wèn)3：如果集合[A=1，2]，[B=3]，求[A?B]。

注意，當(dāng)兩個(gè)集合[A]、[B]沒(méi)有公共元素時(shí)，不能說(shuō)它們沒(méi)有交集，[A∩B=?]。

教師：下列關(guān)系式成立嗎？

（1）[A?A=A]；（2）[A??=?]。

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比并集的學(xué)習(xí)路徑，學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，得到交集的定義以及符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等多元表征。層層設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定義的合理性和唯一性進(jìn)行解釋?zhuān)沂酒渲刑N(yùn)含的類(lèi)比思想。讓學(xué)生充分經(jīng)歷運(yùn)算的建構(gòu)過(guò)程，其中交集定義是核心，豐富實(shí)例是重點(diǎn)，運(yùn)算法則是難點(diǎn)。

（四）結(jié)構(gòu)類(lèi)比，辨析比較兩者的不同點(diǎn)

【教學(xué)片段4】

教師出示交集、并集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如下表所示：

[并集、交集的對(duì)應(yīng)關(guān)系 并 ∪ 或 交 ∩ 且 ]

練習(xí)（幾何畫(huà)板實(shí)驗(yàn)操作）：集合[A=x2≤x<4]，[B=xx≥3]，求[A∪B]，[A∩B]。

變式：集合[A=x2≤x<4]，[B=xx≥2]，求[A∪B]，[A∩B]。

設(shè)計(jì)意圖：比較兩種集合運(yùn)算的記法，辨析“并”“或”與記號(hào)“[∪]”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及“交”“且”與記號(hào)“[∩]”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。練習(xí)及其變式，通過(guò)簡(jiǎn)單的變化，將學(xué)生的思維引向深入，實(shí)現(xiàn)不同情形的轉(zhuǎn)化。將零散的、具有內(nèi)在聯(lián)系的、易混淆的概念和定義等歸類(lèi)，類(lèi)同也類(lèi)異，深刻揭示知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，在辨析中加深理解，在對(duì)比中強(qiáng)化記憶，達(dá)到提質(zhì)增效的目的。

（五）思想類(lèi)比，補(bǔ)集運(yùn)算學(xué)習(xí)的探究點(diǎn)

【教學(xué)片段5】

問(wèn)題5：你是否能求出方程[（x-2）（x2-3）=0]在有理數(shù)范圍和實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集？

追問(wèn)1：你還能列舉出類(lèi)似的三個(gè)集合滿足上述關(guān)系嗎？

（有理數(shù)集、無(wú)理數(shù)集與實(shí)數(shù)集）

追問(wèn)2：全集和補(bǔ)集之間是什么關(guān)系呢？

（補(bǔ)集是相對(duì)全集而言的，全集不同，補(bǔ)集一般不同。補(bǔ)集是全集的子集）

教師：對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們會(huì)從它的運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則以及運(yùn)算結(jié)果來(lái)認(rèn)識(shí)它。那么你能說(shuō)說(shuō)補(bǔ)集的運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則以及運(yùn)算結(jié)果嗎？

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比并集、交集的研究過(guò)程，補(bǔ)集的學(xué)習(xí)采用“具體問(wèn)題→共同特征→抽象概念→概念表示→概念應(yīng)用”的研究路徑，以學(xué)生熟悉的實(shí)例為切入點(diǎn)，由此自然引入全集與補(bǔ)集。運(yùn)用橫向類(lèi)比的方式，以并集、交集為基礎(chǔ)，為學(xué)生搭建自主探究的平臺(tái)，完善學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)新知的內(nèi)化。需要注意的是，類(lèi)比學(xué)習(xí)要避免表面化和形式化，相對(duì)于并集與交集，補(bǔ)集是較難理解的，教學(xué)中教師需啟發(fā)學(xué)生深入本質(zhì)去思考問(wèn)題，培養(yǎng)辨析思維，多借助韋恩圖的直觀性幫助學(xué)生理解。

（六）歸納類(lèi)比，數(shù)學(xué)思想方法的延伸點(diǎn)

【教學(xué)片段6】

問(wèn)題6：回顧本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答以下問(wèn)題。

（1）什么是集合？如何研究集合？

（2）在研究集合的過(guò)程中，你學(xué)到了什么數(shù)學(xué)思想方法？

（3）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，可以使我們更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。本章中我們類(lèi)比數(shù)與數(shù)的關(guān)系和運(yùn)算研究了集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算。你認(rèn)為這樣的類(lèi)比對(duì)發(fā)現(xiàn)和提出集合的問(wèn)題有什么意義？

（4）你能類(lèi)比數(shù)的減法運(yùn)算給出集合的減法運(yùn)算嗎？

引入一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象后，需思考所需要研究的內(nèi)容和途徑等有哪些。由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的推理形式稱(chēng)為類(lèi)比。類(lèi)比是數(shù)學(xué)研究的一種重要思維方法。

設(shè)計(jì)意圖：集合學(xué)習(xí)遵循“含義與表示→基本關(guān)系→基本運(yùn)算”的圖式研究規(guī)律，實(shí)現(xiàn)縱向類(lèi)比，形成可復(fù)制、可推廣、可引申的研究路徑，為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做進(jìn)一步的鋪墊。整體支架下總結(jié)本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成單元知識(shí)框架，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性以及思維的系統(tǒng)性。以問(wèn)題的形式提煉研究方法及數(shù)學(xué)思想，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)以致用。實(shí)際上，類(lèi)比作為一種思維工具，利用已知生發(fā)出新知的增長(zhǎng)點(diǎn)，能進(jìn)行豐富的再創(chuàng)造工作，例如思想類(lèi)比、歸納類(lèi)比，以此得出數(shù)學(xué)思想方法的普適性。

二、教學(xué)反思

“集合的基本運(yùn)算”處于集合章節(jié)的最終篇，也是開(kāi)啟邏輯用語(yǔ)的起始篇。教材里的內(nèi)容并不多，部分教師在教授本節(jié)內(nèi)容時(shí)容易照本宣科，忽略對(duì)類(lèi)比思想的應(yīng)用。倘若基于類(lèi)比組織教學(xué)，就能在原有內(nèi)容的基礎(chǔ)上有所提升，不僅引出集合的研究?jī)?nèi)容和研究方法，還能讓學(xué)生掌握研究一類(lèi)問(wèn)題的基本途徑，為學(xué)生自主研究差集等集合運(yùn)算提供理論支持，也為后續(xù)其他章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（一）三條主線：明線、暗線、反思線

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，圍繞主線對(duì)同一類(lèi)概念進(jìn)行多元聯(lián)系表示，有利于揭示概念的本質(zhì)。本節(jié)課中，教學(xué)明線是集合的基本運(yùn)算，主要圍繞并集、交集和補(bǔ)集三種集合的運(yùn)算展開(kāi)循序漸進(jìn)的教學(xué)。穿插其中的教學(xué)暗線是數(shù)學(xué)思想方法的滲透，類(lèi)比實(shí)數(shù)的研究路徑，定位集合的運(yùn)算研究；類(lèi)比子集的形式化語(yǔ)言，得出并集的三種語(yǔ)言表述；類(lèi)比并集的研究過(guò)程，呈現(xiàn)交集的運(yùn)算特征；類(lèi)比并集和交集的運(yùn)算，分類(lèi)辨析兩者的異同點(diǎn)；類(lèi)比并集和交集的研究思路，探究全集和補(bǔ)集的概念要義；類(lèi)比歸納知識(shí)體系，總結(jié)遷移至其他數(shù)學(xué)問(wèn)題?！邦?lèi)比是一個(gè)偉大的領(lǐng)路人”，凸顯了數(shù)學(xué)思想在問(wèn)題解決中的應(yīng)用價(jià)值。第三條主線是反思線。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，教學(xué)過(guò)程中教師通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生不斷反思、重構(gòu)。課堂小結(jié)以問(wèn)題的形式啟發(fā)思維，從知識(shí)技能層面上升到過(guò)程方法層面，串點(diǎn)成線，明晰知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，深度挖掘，促進(jìn)學(xué)習(xí)正向遷移。

（二）三輪類(lèi)比：類(lèi)同、類(lèi)異、類(lèi)推

類(lèi)比遷移是指用熟悉的方法去解決陌生的問(wèn)題的一種策略，通過(guò)分析、概括和綜合源問(wèn)題而獲得一種圖式規(guī)則，并成功地把這一圖式規(guī)則運(yùn)用于靶問(wèn)題。本節(jié)課中，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷從實(shí)數(shù)到集合的“類(lèi)同”、從并集到交集的“類(lèi)異”、從并集交集到全集補(bǔ)集的“類(lèi)推”等多元過(guò)程，不斷引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同化與順應(yīng)，使學(xué)生多次感受“研究對(duì)象變化，而研究方式不變、數(shù)學(xué)思想不變”的本質(zhì)屬性，一隅三反，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）三個(gè)階段：感性類(lèi)比階段、理性類(lèi)比階段、再感性類(lèi)比階段

第一階段是“感性類(lèi)比階段”，感性類(lèi)比是一種相對(duì)簡(jiǎn)單的類(lèi)比，例如路徑類(lèi)比、形式類(lèi)比就屬于感性類(lèi)比。在感性類(lèi)比階段，學(xué)生往往可以通過(guò)自己的觀察比較發(fā)現(xiàn)新舊事物的相似之處，進(jìn)而得到初步的遷移規(guī)律，產(chǎn)生新的類(lèi)比結(jié)論，但這類(lèi)結(jié)論往往停留于文字變動(dòng)的機(jī)械替換，學(xué)生對(duì)規(guī)律本質(zhì)的理性思考仍然存在不足。第二階段是“理性類(lèi)比階段”，如過(guò)程、結(jié)構(gòu)的類(lèi)比均屬于理性類(lèi)比，理性類(lèi)比階段是類(lèi)比學(xué)習(xí)最為關(guān)鍵的階段，在這一階段中，學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)和理解類(lèi)比規(guī)律背后的本質(zhì)特征，從“形似”過(guò)渡到“神似”。第三階段是“再感性類(lèi)比階段”，在這個(gè)階段主要是進(jìn)行更為深入的類(lèi)比規(guī)律應(yīng)用，以及豐富的再創(chuàng)造，比如進(jìn)行思想類(lèi)比、歸納類(lèi)比，類(lèi)比的寶貴之處也恰恰體現(xiàn)在這一階段，需要針對(duì)不同對(duì)象，分時(shí)段地、長(zhǎng)期地滲透。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）