化抽象為具體，優(yōu)化“集合”教學(xué)

顧偉強(qiáng)

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)中，集合這個(gè)章節(jié)是高中數(shù)學(xué)的入門(mén)課，也是比較抽象的一節(jié)課，抽象的知識(shí)點(diǎn)要讓學(xué)生概念清晰、理解透徹，需要教師在課的設(shè)計(jì)和教學(xué)中化抽象為具體，通過(guò)生活中的一些實(shí)例來(lái)讓學(xué)生感受到集合的存在，并且通過(guò)對(duì)比和探究等手段讓學(xué)生掌握牢固，也培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

[關(guān)鍵詞] 集合；探究；高中數(shù)學(xué)；概念

集合這個(gè)章節(jié)的教學(xué)，最終就是使學(xué)生能夠了解什么叫集合，集合有哪些要素，常用數(shù)集及其記法都是哪些，元素和集合之間的又有何關(guān)系，能選擇平常語(yǔ)言、集合專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)描述不一樣的具體問(wèn)題，那么教師具體如何來(lái)化抽象為具體達(dá)成這些教學(xué)的最終目的呢？

生活實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生觀察導(dǎo)入集合概念

教學(xué)開(kāi)始，如果教師硬生生地把課本中集合的概念宣讀，學(xué)生即使記得，估計(jì)也只是生搬硬套的死記，即使每個(gè)學(xué)生都能把集合的概念背得滾瓜爛熟，在解決問(wèn)題的過(guò)程中還是會(huì)錯(cuò)誤百出的，這時(shí)候，如果教師引導(dǎo)學(xué)生想象一些場(chǎng)景或者提供一些諸如在電影院看電影的人群、草原上成群的駿馬等群體性的圖片，首先來(lái)給學(xué)生欣賞，用圖片給學(xué)生建立直觀的印象，并且提出問(wèn)題：對(duì)比老師提供的圖片，同學(xué)們還能有哪些例子可以跟大家共享？我們聯(lián)想的場(chǎng)景跟老師列舉的這些圖片和我們同學(xué)舉的例子有什么一樣的地方嗎？它們所表達(dá)的特性有共同之處嗎？通過(guò)圖片和問(wèn)題的導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想和探討，教師再適時(shí)加以引導(dǎo)和概括，從而得出結(jié)論：像這樣的在一定范疇里面對(duì)所研討的事物加以類(lèi)別化，并且歸納分類(lèi)以后常用一些專(zhuān)用術(shù)語(yǔ)來(lái)描繪它們，例如“群體”“全體”“集合”. 這樣由直觀到具體、由探究到概括得出集合的概念，學(xué)生也就能在腦海中建立比較清晰的印象了.

再比如，得出集合的概念以后，怎樣使學(xué)生進(jìn)一步理解集合的含義呢？如何判斷某些元素合并在一起以后到底是不是集合呢？其實(shí)這一階段是對(duì)集合這個(gè)概念的加深理解，也是集合中元素三要素的性質(zhì)的體現(xiàn). 同樣的，教師可以用一些帶有生活場(chǎng)景感的或者學(xué)生特別能夠理解的問(wèn)題把學(xué)生帶入學(xué)習(xí)中. 比如“高一新生中高個(gè)子的同學(xué)”、“學(xué)習(xí)中最易解決的問(wèn)題”、“我們班耐久跑水平比較高的同學(xué)”能否分別組成一個(gè)集合呢？為什么？教師提出問(wèn)題，給學(xué)生思考討論的空間，讓學(xué)生們來(lái)討論這三個(gè)表述中所表達(dá)的意義，用“怎樣才算高個(gè)子同學(xué)”、“學(xué)習(xí)中問(wèn)題解決的難易程度如何區(qū)分”、“難題的標(biāo)準(zhǔn)是什么”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺(jué)這個(gè)表述的不準(zhǔn)確性，概念的模糊性、不具體性，從而導(dǎo)出集合的元素必須是確定的，引導(dǎo)出了集合中元素的確定性這個(gè)要素.

元素的其他兩大特性“互異性”和“無(wú)序性”也可以用同樣的方法讓學(xué)生清晰地概括歸納小結(jié). 比如：某超市近期進(jìn)了兩批貨物，第一批進(jìn)的是牛奶、蛋糕、巧克力、筆記本、方便面共計(jì)5個(gè)品種，第二批進(jìn)的是牙刷、牛奶、水杯、電池、巧克力共計(jì)5個(gè)品種，問(wèn)同學(xué)們?cè)摮幸还策M(jìn)了多少個(gè)品種的貨物呢？是不是5+5=10（種）呢？為什么？有領(lǐng)悟力的學(xué)生馬上會(huì)觀察到兩批貨物中牛奶和巧克力都存在，它們是一樣的貨品，所以進(jìn)貨沒(méi)有10個(gè)品種，只有8個(gè). 再比如，英文單詞“book”，中間2個(gè)“o”是一樣的，要說(shuō)這個(gè)集合里面的要素肯定也就是只有3個(gè)而不是4個(gè). 通過(guò)這些學(xué)生能理解的或者學(xué)習(xí)生活中能遇到的事物，直觀地向?qū)W生展示了集合的又一個(gè)元素的特性——互異性. 通過(guò)生活化的、學(xué)生觸手可得的實(shí)例，學(xué)生理解起來(lái)也就更為簡(jiǎn)單了.

用實(shí)戰(zhàn)題目來(lái)加深集合概念的鞏固和理解

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，集合這一概念理解的準(zhǔn)確性也足以證明這一點(diǎn).學(xué)生對(duì)于集合的概念有了一定的認(rèn)知水平以后，就應(yīng)該要具備判斷一個(gè)集合的構(gòu)成是否正確的能力了，那么這樣的一種能力怎樣培養(yǎng)呢？教師又可以通過(guò)怎樣的手段來(lái)讓學(xué)生清晰地知道自己是否具備這樣的能力呢？這時(shí)候判斷、選擇這些小題就是給學(xué)生一試身手的地方了. 比如，這樣的一個(gè)判斷題：判斷下列各個(gè)說(shuō)法對(duì)不對(duì)？你這樣判斷的原因是什么？

（1）？搖某服裝店里出售的好看的衣服組成一個(gè)集合；

（2）？搖1，，，，-這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素；

（3）？搖由a，b，c組成的集合與由b，a，c組成的集合是同一個(gè)集合.

這三個(gè)判斷題非常具有代表性，是集合中元素的三要素的特性的典型認(rèn)知，學(xué)生在判斷出正確與否的同時(shí)，教師還要要求學(xué)生回答出理由，并且要求學(xué)生能夠自己舉出一些構(gòu)成集合的例子和不能構(gòu)成集合的例子，并且說(shuō)明理由，教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)給予及時(shí)的評(píng)價(jià)，來(lái)跟蹤學(xué)生對(duì)三個(gè)要素即準(zhǔn)確性、互異性和無(wú)序性的理解.

如果說(shuō)判斷題更多的是考驗(yàn)的概念方面的理解，那么有些變式練習(xí)題就是考驗(yàn)學(xué)生對(duì)于這個(gè)概念的理解及其實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用與自身思維的嚴(yán)密性. 比如，為了幫助學(xué)生理解“確定性：給定一個(gè)集合，任何對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的了.”如：x∈A與x？埸A必具其一.我們可以從學(xué)生的數(shù)學(xué)情境出發(fā)進(jìn)行變式詢(xún)問(wèn).

問(wèn)題1：我們班高個(gè)子的女生能構(gòu)成集合嗎？

問(wèn)題2：我們班個(gè)子最高的女同學(xué)能構(gòu)成集合嗎？

像這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)，不光練習(xí)到了學(xué)生的概念范疇，也更加注重練習(xí)了學(xué)生對(duì)于“確定性”的理解，思維的縝密性有所增強(qiáng).

對(duì)比教學(xué)指導(dǎo)學(xué)生集合的表示

根據(jù)學(xué)生的預(yù)習(xí)以及教科書(shū)上的描述，教師在集合表示這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，注重學(xué)生自己的能力培養(yǎng)，提出問(wèn)題：“要表示一個(gè)集合常用的方法有哪些”、“在用自然語(yǔ)言、列舉法和描述法表示集合時(shí)，這些集合都表現(xiàn)出怎樣的特點(diǎn)？適用的對(duì)象是什么”、“如何根據(jù)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉ā?，通過(guò)諸如此類(lèi)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，使學(xué)生弄清楚三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)，使學(xué)生能夠體會(huì)到這三種表達(dá)方法的必要性和適用對(duì)象. 并且通過(guò)一些例題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比例題中文字表達(dá)的準(zhǔn)確性，更加明確三種表達(dá)方法的適用范圍. 比如，“投擲運(yùn)動(dòng)中的三個(gè)項(xiàng)目能組成一個(gè)集合嗎？它有幾個(gè)元素？你能把這個(gè)集合表示出來(lái)嗎？”結(jié)論是投擲運(yùn)動(dòng)的三大項(xiàng)目是具體明確的，可以組成集合，它有三個(gè)元素，該集合可以表示為{鉛球，鐵餅，標(biāo)槍}，這樣能把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫作列舉法，學(xué)生會(huì)輕易地理解列舉法的意義，列舉法也是比較容易讓學(xué)生掌握的一個(gè)表達(dá)方法，因?yàn)樗哂锌删唧w可精確的特性，學(xué)生也容易掌握.

列舉法的概念導(dǎo)出以后，再引導(dǎo)出描述法也就不是難事了. 教師在學(xué)生能夠用列舉法表示集合以后，同樣可以?huà)伋鰡?wèn)題：“你能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎？”教師給予學(xué)生一定的思考過(guò)后，自然會(huì)得出結(jié)論，這個(gè)解集無(wú)法用列舉法來(lái)表示. 因?yàn)檫@個(gè)集合中的元素有無(wú)數(shù)個(gè)，是列舉不完的，而且沒(méi)有明顯的規(guī)律性. “那么這個(gè)解集中的所有元素具有什么樣的共同特征？如何表示這個(gè)集合呢？”在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生能夠得到答案. 這樣一種能夠總括集合所含的元素的共有的特性來(lái)記錄集合的方法稱(chēng)為描述法.

為了讓學(xué)生更加了解這兩種表示集合的區(qū)別，教師可以有意識(shí)地再舉出實(shí)例或者請(qǐng)學(xué)生自己舉例，讓學(xué)生去比較這兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系，得出描述法其實(shí)描述的是一個(gè)集合的通性，列舉法是列舉的集合當(dāng)中的一個(gè)個(gè)的個(gè)體，相對(duì)來(lái)說(shuō)，前者是一個(gè)籠統(tǒng)的范圍，后者則是一個(gè)個(gè)具體的列舉，前者所能表示的集合后者不一定能表示，但是后者表示的集合前者一定能表達(dá). 這樣，學(xué)生對(duì)于兩種表示方法也就會(huì)產(chǎn)生更為深刻的印象，做題的時(shí)候也就變得更加簡(jiǎn)單清晰明了了.

總之，教師在集合這個(gè)章節(jié)的教學(xué)中，一定要讓學(xué)生弄清楚集合的關(guān)鍵要素究竟有哪些，如何依據(jù)三要素的特性來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題. 在用描述法表示集合時(shí)，必須要體現(xiàn)描述法的形成，不能漏寫(xiě)該集合的代表元素及元素所具有的性質(zhì)，而且要用“|”隔開(kāi). 如果描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)之外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說(shuō)明它的含義或指出它的取值范圍究竟怎樣. 如此，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)、直觀的圖片演示、由淺到深的層層遞進(jìn)、知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比分析、有針對(duì)性的題目練習(xí)，并且引導(dǎo)學(xué)生檢查好自己這一知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，有的放矢地鞏固提高，相信學(xué)生掌握的程度肯定不會(huì)差了.