一個問題引出的“微專題”

張海峰

[摘 要] 利用學(xué)生錯解、混淆點開展微專題教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，剖析致錯原因，以基本概念為抓手，逐步延伸拓展，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概括式子的幾何意義，再引導(dǎo)其思考一類函數(shù)的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，讓學(xué)生智慧的火花綻放開來.

[關(guān)鍵詞] 微專題；數(shù)形結(jié)合；絕對值

微專題教學(xué)是以某個“點”為中心，從該知識的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，內(nèi)化知識，構(gòu)建結(jié)構(gòu)進(jìn)行知識遷移，整合并能運(yùn)用基本概念和原理解決實際問題的一種“小切口”教學(xué)方法. 利用錯誤資源開展微專題教學(xué)，可以剖析致錯原因，挖掘錯誤根源，追溯問題的本質(zhì)，對已獲得的知識再現(xiàn)和再認(rèn)知，“由誤至悟”，有效培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高解題的“免疫力”.

節(jié)外生枝

在一堂試卷評講課上，筆者給學(xué)生評講這樣一道題：

（2014年安徽卷）若函數(shù)f（x）=x+1+2x+a的最小值為3，則實數(shù)a的值為

（ ）

A. 5或8 B. -1或5

C. -1或-4 D. -4或8

這道題學(xué)生的錯誤率很高，初看這道題入手很容易，但是如果選擇的方法不好，做起來就很麻煩，筆者打算利用分類討論去絕對值講解這道題，解法如下：

解：（1）當(dāng)a≥2時，

f（x）=-3x-1-a，x≤-，x-1+a，-

由圖像1可知，當(dāng)x=-時，f（x）min=f-=-1=3，可得a=8.

（2）當(dāng)a<2時，f（x）=-3x-1-a，x≤-1，-x+1-a，-1

？搖由圖像2可知，當(dāng)x=-時，f（x）=f-min=-+1=3，可得a=-4.

綜上可知，a的值為-4或8.

在講解這個方法前，筆者先提問了幾個做對的學(xué)生，目的是想看看學(xué)生是用什么方法做的，然后再引入要講的方法.以下是其中一個學(xué)生的思路和做法.

生甲：做這道題時我想起以前做過x+1+x-1≥a恒成立的問題，其中x+1、x-1可理解為數(shù)軸上的點到-1、1的距離，x+1+x-1≥a恒成立，就是讓a小于等于數(shù)軸上的點到-1和1的距離之和的最小值，利用端點代入就好了，所以我這道題就用端點代入進(jìn)去，就對了……

教師：在本題中有兩個端點，你選擇代入的是哪一個端點？

生甲：我選擇了x=-時， a=-4或8.

教師：你為什么選擇x=-代入，而不是x=-1？

生甲：因為……，我曾做過一道類似的題目（2015年重慶卷：若函數(shù)f（x）=x+1+2x-a的最小值為5，則實數(shù)a=______），就是將x=a代入得最小值，所以這道我也就選擇了x=-代入.

通過了解，筆者發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生像學(xué)生甲這樣思考，學(xué)生甲繞過了討論去絕對值研究不等式的方法，從絕對值的幾何意義思考，這給了我們一個驚喜，學(xué)生不拘一格的解題思路與方法、打破常規(guī)的思維與策略，充分說明了特殊方法解答選擇題的優(yōu)勢.但是有一個問題筆者感到困惑，真的都是代含有未知量的端點嗎？到底是巧合還是必然？它們的解決方法到底有無規(guī)律可循？如何剖析，挖掘問題的本質(zhì)內(nèi)涵，理清問題的來龍去脈，筆者感到，這是一個優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識與創(chuàng)造能力的契機(jī).

微專題教學(xué)設(shè)計

？搖經(jīng)過課后思考，筆者心里已經(jīng)有底了，為了讓學(xué)生掌握此類問題，認(rèn)清問題的本質(zhì)，筆者基于學(xué)生已學(xué)習(xí)的知識和解題中的思維障礙專門設(shè)計了一個微專題，現(xiàn)將教學(xué)過程敘述如下.

1. 探究引領(lǐng)，探尋思路

筆者沿著學(xué)生甲的思路，探索用絕對值的幾何意義解決此題，為找準(zhǔn)探索方向，突破問題瓶頸，設(shè)置以下三個探究題.

探究：（1）函數(shù)f（x）=x+1+x-2的最小值為________.

（2）函數(shù)f（x）=3x+1+x-2的最小值為________.

（3）函數(shù)f（x）=x+1+3x-2的最小值為________.

從絕對值的幾何意義出發(fā)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題，形成遞進(jìn)的問題串，學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)，這類函數(shù)的最小值取得時刻會隨著變量前系數(shù)變化而改變，函數(shù)f（x）=x+1+2x+a與函數(shù)f（x）=2x+1+x+a取得最小值時刻分別是x=-a與x=-1，并不固定在是含有未知量的端點處.

2. 問題引導(dǎo)，追溯本質(zhì)

？搖有針對性地選擇問題，讓學(xué)生帶著問題在設(shè)問和釋問的過程中參與了知識的建構(gòu)，了解知識的來龍去脈，從感悟和體驗中獲得能力.

問題：（1）實數(shù)a的絕對值a的幾何意義是什么？

（2）a-b的幾何意義是什么？

（3）a-b+a-c的幾何意義是什么？

？搖學(xué)生通過問題引導(dǎo)，回憶已有知識，實數(shù)a的絕對值a的幾何意義就是數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點A到原點的距離；而a-b的幾何意義是數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點A到坐標(biāo)為b的點B之間的距離；那么a-b+a-c就是數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點A到坐標(biāo)為b的點B與坐標(biāo)為c的點C之間的距離之和.

3. 實踐小結(jié)，提升思維

問題：若函數(shù)f（x）=x+1+2x+a的最小值為3，則實數(shù)a的值為________.

學(xué)生甲小結(jié)：數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點C到坐標(biāo)為-1的點A的距離與坐標(biāo)為-的點B的距離的2倍的和. 畫出數(shù)軸，關(guān)注坐標(biāo)為x的點C在哪距離會取得最小值.

如圖3所示，坐標(biāo)為x的點C在點A的左邊，或在點B的右邊時，距離不可能達(dá)到最小，所以點C一定落在線段AB上. 由于是到點B的距離的2倍，所以應(yīng)讓點C靠近點B，當(dāng)C在B處時距離最小. 當(dāng)點C在線段AB上時，x+1+2x+a=x+1+2x+=x+1+x++x+=AB+CB，即當(dāng)點C在B處時，距離最小. 不等式左邊的最小值為-1≥3解得a=-4或8.

？搖小結(jié)：函數(shù)f（x）=mx-a+nx-b（m>0，n>0）的最小值，是代入以{m，n}max為系數(shù)的端點以求其最小值.

課堂上利用學(xué)生已有的知識體驗，從有矛盾沖突的問題中激發(fā)學(xué)生的探究熱情，訓(xùn)練學(xué)生在數(shù)學(xué)解題的過程中運(yùn)用思想方法，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決這類題的一般規(guī)律.

4. 變式遷移，深化思維

數(shù)學(xué)問題的解決是有規(guī)律的，借助問題變式，引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動，既可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性，又能有效地培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生在變式活動中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生不只是學(xué)會，更能會學(xué)，從而促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.

在變式教學(xué)中，為揭示問題本質(zhì)屬性，掌握解決問題的一般規(guī)律，筆者對構(gòu)成問題的各個要素進(jìn)行局部調(diào)整，得到形式雖異但解法類似的變式問題，便于學(xué)生理解，學(xué)會變通，提高學(xué)生抽象、歸納、概括的能力.

變式1 函數(shù)f（x）=3x-1-x+1的值域為________.

變式2 函數(shù)f（x）=3x+1-x-1的值域為________.

變式3 函數(shù)f（x）=x-1-3x+1的值域為________.

變式4 函數(shù)f（x）=x+1-3x-1的值域為________.

筆者要求學(xué)生畫出幾個函數(shù)的圖像求解，并觀察規(guī)律，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)含絕對值函數(shù)的值域的端點值在零點處取得，通過對函數(shù)圖像的進(jìn)一步分析，師生共同探究出如下規(guī)律：

（1）f（x）=mx-a+nx-b，若m>n>0，則f（x）≥f（a）=na-b；

（2）f（x）=mx-a-nx-b，若m>n>0，則f（x）≥f（a）=-na-b；

（3）f（x）=mx-a-nx-b，若n>m>0，則f（x）≤f（b）=ma-b.

最本質(zhì)的往往是最簡單的，我們通過對簡單題目充分思考，可以讓學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識題目，加深對相關(guān)知識的理解，通過由特殊題目探究到一般本質(zhì)規(guī)律，拓寬知識的深度.

教學(xué)反思

高中數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)：課堂教學(xué)應(yīng)豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生學(xué)會自主學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的科學(xué)探究能力，幫助學(xué)生形成終身學(xué)習(xí)的意識和能力.

在本次微專題設(shè)計中，引例是基于學(xué)生學(xué)情，呈現(xiàn)的是這類題的核心部分，也是難點，由于學(xué)生線性絕對值不等式的處理方法有了一定的掌握，因此，這個題處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，是可以通過努力解決的. 為了引導(dǎo)學(xué)生解決這個難點，首先將問題設(shè)計在學(xué)生的混淆點處，與學(xué)生已有結(jié)論相矛盾，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，再回歸問題的本質(zhì)，返回到最基本的概念上，以基本概念為抓手，逐步延伸拓展，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概括式子的幾何意義；再引導(dǎo)其思考一類函數(shù)的結(jié)論，這樣就站在一個高度來審視這類問題. 學(xué)生從心理上也無懼這類問題，讓學(xué)生活躍的思維自由地、充分地展示出來，同時利于學(xué)生對這個問題的深層次把握，讓學(xué)生智慧的火花綻放開來.

在今后的教學(xué)中，對高考重點、熱點問題的強(qiáng)化和對知識盲點的引導(dǎo)，或是一種新的設(shè)題方式，抑或是變化的思維角度，都可以通過小角度、小切口的微專題教學(xué)來促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題所在，尋找、挖掘題目的背景、本質(zhì)，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，活化知識的運(yùn)用，提升學(xué)生解決問題的能力.