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    一道自主招生試題的簡證及變式
    
                
    2023-08-26 03:43:00湖南省桃江縣第一中學(xué)413400胡芳舉
    
                
    關(guān)鍵詞：外心內(nèi)切圓桃江縣
    
                    
    湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400) 胡芳舉
    該題是一道自主招生試題形式優(yōu)美,但證明較難,搜遍全網(wǎng),只找到了一個(gè)解答(這個(gè)解答非常繁瑣,見文[1]),本文將給出這個(gè)不等式的一個(gè)簡證以及幾個(gè)變式.
    一、簡證
    要證原不等式,等價(jià)于證9∑cosA≤2∑sin2A+9=∑(1-cos2A)+9=12-∑cos2A?
    二、變式
    變式3 設(shè)ΔABC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,三邊長分別為a,b,c,則∑a2≥18Rr.
    注：由正弦定理及變式2可得.
    變式4 設(shè)ΔABC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,外心與重心的距離為d,則R2-2Rr≥d2.
    圖1
    變式5 已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2+2xyz=1,則9(x+y+z)-4xyz≤13.
    

    
                        
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