一道全國新高考Ⅱ卷題的探究與推廣*

廣東省廣州市天河外國語學(xué)校 (510627) 劉惠梅

2022年新高考全國Ⅱ卷第21題以解析幾何為背景設(shè)置了開放性試題,比往年明顯加大了開放題的創(chuàng)新力度和廣度,突出了對思維靈活性品質(zhì)的考查.在考査理性思維的同時(shí),也考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象核心素養(yǎng),體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.

一、試題呈現(xiàn)及分析

圖1

①M(fèi)在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|.

本題以雙曲線為切入點(diǎn),以探索創(chuàng)新情境為載體,聚焦結(jié)構(gòu)不良問題實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新性的考察要求,重點(diǎn)考察與中點(diǎn)有關(guān)的曲線相交問題,圍繞著圖形特征的探索,考察數(shù)學(xué)探究和空間想象素養(yǎng)以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)鍵能力,其中特別是邏輯推理能力要求較高.解題的思路有四種:(1)“設(shè)線”入手(設(shè)直線PQ方程);(2)“設(shè)點(diǎn)”入手(設(shè)P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo));(3)“點(diǎn)差法”探索與中點(diǎn)有關(guān)的問題;(4)利用“直線參數(shù)方程的幾何意義”來解決問題.下面從條件出發(fā),以“設(shè)線”入手解題.

二、試題解答

三、試題拓展

圖2

圖3

圖4

圖5

以雙曲線為載體的解析幾何研究是近兩年全國卷的熱點(diǎn)問題,雙曲線與其退化的情形(即兩條漸近線)的性質(zhì)有許多共通之處,研究雙曲線和其漸近線有關(guān)的問題時(shí),可以考慮曲直轉(zhuǎn)化.解析幾何的教學(xué)要不斷強(qiáng)化“文字語言、符號語言、圖形語言”三種語言轉(zhuǎn)化能力.幾何問題“解析化”是有方向可循的,首先我們要明確這是一個(gè)什么樣的幾何問題,即我們是將這個(gè)幾何問題視作整體的圖形去挖掘它的幾何特征,還是看作兩個(gè)或多個(gè)圖形去探索它們的關(guān)系,亦或者從數(shù)量關(guān)系角度進(jìn)行挖掘,接著研究和探索這個(gè)幾何問題需要用到哪些代數(shù)條件,再把幾何問題代數(shù)化(有時(shí)候這個(gè)代數(shù)化過程不是很直觀,需要把幾何問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的幾何問題后再進(jìn)行代數(shù)化).

因此,新高考下我們在復(fù)習(xí)備考中要強(qiáng)化自主探究,要能夠從多角度思考,深入挖掘圖形的幾何特征,掌握研究解析幾何問題的一般方法和思維方式,提升學(xué)生的解題力.