高考試題中數(shù)學建模能力的考查分析

周先華 鄭傳遠 原坤 謝發(fā)超

【摘 要】數(shù)學建模能力是應(yīng)用數(shù)學解決實際問題的關(guān)鍵能力，是推動數(shù)學發(fā)展的強勁動力。文章以2021—2023年高考數(shù)學全國卷共18套試卷為例，從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個維度對高考數(shù)學建模水平層次進行量化分析，提出了整體設(shè)計數(shù)學建?；顒?，逐步提升數(shù)學建模能力的建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學建模；數(shù)學應(yīng)用；整體設(shè)計；課程標準；高考評價

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《數(shù)學課程標準》）提出高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析［1］。結(jié)合《中國高考評價體系》教育部教育考試院任子朝博士等提出高考命題數(shù)學學科考查的關(guān)鍵能力包括五個方面，即邏輯推理能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力和創(chuàng)新能力［2］。隨著新課程、新教材、新高考的實施，人們對高考數(shù)學試題中上述關(guān)鍵能力的研究日益增多，但是針對數(shù)學建模能力考查的試題研究還比較少，大多數(shù)研究者在對數(shù)學學科核心素養(yǎng)分析時只是稍微涉及一些數(shù)學建模內(nèi)容。因此，在新高考背景下對高考試題中的數(shù)學建模能力的考查分析具有十分重要的意義。本文以2021—2023年高考數(shù)學全國卷共18套試卷中的試題為研究對象，深入分析數(shù)學建模的基本考查特征，提出提升數(shù)學建模能力的教學建議。

一、數(shù)學建模素養(yǎng)

（一）數(shù)學建模素養(yǎng)的內(nèi)涵

《數(shù)學課程標準》指出，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學建模素養(yǎng)作為高中數(shù)學學科素養(yǎng)的六大組成部分之一，是對數(shù)學學科素養(yǎng)育人的回應(yīng)，是對“三會”基本理念的實踐：“會用數(shù)學眼光觀察世界”——提出問題階段；“會用數(shù)學思維思考世界”——模型建構(gòu)階段；“會用數(shù)學語言表達世界”——模型改進階段。

《中國高考評價體系》把“關(guān)鍵能力”定義為，即將進入高等學校的學習者在面對與學科相關(guān)的生活實踐或?qū)W習探索問題情境時，高質(zhì)量地認識問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力。為更有利于高考命題，共確立了三個方面的關(guān)鍵能力群，即知識獲取能力群、實踐操作能力群（包含數(shù)學建模能力）和思維認知能力群，并把考生在這三個方面的發(fā)展層次與水平作為主要的考查內(nèi)容［3］。數(shù)學建模素養(yǎng)就是數(shù)學建模能力的內(nèi)隱，不方便直接設(shè)置成考題進行考查；而數(shù)學建模能力是數(shù)學建模素養(yǎng)的外顯，便于設(shè)置成高考試題進行考查［4］。

（二）數(shù)學建模素養(yǎng)的水平劃分

《數(shù)學課程標準》把數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個方面劃分為三個水平層次，并且每一個水平層次再通過情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個維度進行詳細表述，見表1。

其中，情境與問題這一維度包括“情境”“問題”兩個方面。在教學中，我們常常把情境指向具有一定情感氛圍的教學活動?！稊?shù)學課程標準》中的情境主要有三類：現(xiàn)實情境——來自生產(chǎn)、生活現(xiàn)實的情境，數(shù)學情境——來自數(shù)學學習與探究過程的情境，科學情境——來自科學探索的情境。這里主要指在數(shù)學探索過程中的跨學科情境。而問題指在具體的情境中提出的具體的數(shù)學問題。

在知識與技能維度中，知識是數(shù)學學科內(nèi)容中的數(shù)學知識，主要包括集合、函數(shù)（包括方程與不等式、數(shù)列、三角函數(shù)等）、向量、立體幾何、平面解析幾何、概率與統(tǒng)計等。技能是指在數(shù)學學習中通過反復(fù)訓練而形成的一些熟練動作。例如求簡單函數(shù)的定義域、利用定義討論函數(shù)的單調(diào)性等。

思維與表達主要指是在高中數(shù)學學習活動過程中所體現(xiàn)出的學生的理性思維品質(zhì)（如獨立而創(chuàng)新的看法，對某一數(shù)學問題的多角度思考、發(fā)散性或逆向地求解數(shù)學問題等）和嚴謹而精準的表達。

交流與反思主要涉及如何進行數(shù)學交流與評價方面，即能夠運用包括自然語言、符號語言和圖形語言等在內(nèi)的數(shù)學語言對數(shù)學概念、數(shù)學思想方法等進行描述、解讀、歸納總結(jié)、溝通與交流、評價等。

二、分析對象的選擇

高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導教學”的核心功能，決定了高考試題的三大工具性：學科育人目標檢測、高等學校人才選拔和中小學教學引導工具。高考數(shù)學試題對提升數(shù)學學科的育人功能、人才選拔功能起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學建模源于對現(xiàn)實生活問題的數(shù)學抽象，這也是將其作為分析對象的關(guān)鍵性依據(jù)。本文以2021—2023年高考數(shù)學全國卷18套試卷為例，采用定量分析與定性分析法相結(jié)合，從題號分布、內(nèi)容特征兩個方面分析近三年高考試題的特點及命題現(xiàn)狀。

三、數(shù)學建模素養(yǎng)的考查特征分析

（一）試題題號分布

筆者對2021—2023年高考數(shù)學全國卷的建模試題進行歸類及分析，結(jié)果如下（見表2至表4）。

從表2至表4可以看出，數(shù)學建?？陀^題的考查試題數(shù)不穩(wěn)定，一般在1—2道，多則3道，少則0道；解答題的考查試題數(shù)比較穩(wěn)定，基本上有1道以概率統(tǒng)計為背景的解答題（2022年全國甲卷文科除外）?？陀^題大多數(shù)分布在前9題，以簡單應(yīng)用情境考查基礎(chǔ)知識和基本技能，尤其是以時事為背景的試題偏多，主要考查學生從現(xiàn)實問題中提取數(shù)學問題，并運用已學知識簡單計算或推理，體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用性。解答題的題目總體上所在的位置變化不大，一般處在第17、18和19題的位置，而新高考卷變化較大，在第20、21題中均有出現(xiàn)，這說明在新高考理念下，試題加大了對實際應(yīng)用的考查，尤其側(cè)重在綜合情境下對學生能力的考查。例如2021年新高考Ⅱ卷第21題和2023年新高考Ⅰ卷第21題，分別以微生物繁殖、投籃為背景考查概率、等比數(shù)列及導函數(shù)等知識的應(yīng)用，使得試題情境復(fù)雜，解答靈活，更能體現(xiàn)新課改的力度，也印證了為什么新教材上會出現(xiàn)大量現(xiàn)實情境問題的引入案例。

（二）考查內(nèi)容特征分析

以上文表1所述的數(shù)學建模素養(yǎng)四個方面的維度以及各自在三個層次水平下的質(zhì)量描述為依據(jù)，對上述高考試題中的客觀題、解答題的考查情況做出量化分析（如圖1至圖4）。

基于以上分析，可以得出以下結(jié)論：

1.我們把數(shù)學建模素養(yǎng)的情境與問題維度下的質(zhì)量水平層次分別稱為基礎(chǔ)性關(guān)聯(lián)、一般性關(guān)聯(lián)、和綜合性關(guān)聯(lián)，分別與表1中的水平一、水平二和水平三對應(yīng)。從圖1中可以看出，客觀題和解答題在基礎(chǔ)性關(guān)聯(lián)的試題數(shù)遠超過一般性關(guān)聯(lián)。因此，從情境與問題維度來看，高考中數(shù)學建模問題著重考查對熟悉的數(shù)學模型的識別（即深刻理解其現(xiàn)實背景與數(shù)學表達）和從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學問題的能力。學生必須具備相應(yīng)的信息獲取、研究探索和科學思維能力等數(shù)學學科關(guān)鍵能力。例如2023年全國甲卷理科第6題以報名體育俱樂部作為情境考查條件概率，2023年新高考Ⅰ卷第10題在噪聲污染問題情境中考查指數(shù)、對數(shù)運算，2023年新高考Ⅱ卷第12題在信號傳輸情境中考查相互獨立事件的概率計算，2022年全國甲卷理科第19題在學校體育比賽情境中考查概率計算，2022年全國乙卷理科第4題以探月任務(wù)為情境考查數(shù)列模型。

2.知識與技能維度的特征包括三個層次：模仿型理解（水平一）、選擇型理解（水平二）、創(chuàng)造型理解（水平三）。其中，模仿型理解主要對應(yīng)技能程度的考查，即能否模仿已知的數(shù)學建模過程進行問題求解；選擇型理解則指在現(xiàn)實問題情境下進行恰當?shù)臄?shù)學模型的選擇，顯然，這依賴于對各種可能的數(shù)學模型所能解決問題的類型、參數(shù)的意義與確定、結(jié)果的檢驗與模型完善等方面的深入理解。從圖2可看出，客觀題與解答題在水平二的試題數(shù)均遠遠多于水平一。數(shù)學模型的選取取決于所考查的現(xiàn)實問題背后所蘊含的數(shù)學本質(zhì)與規(guī)律。

下面，筆者根據(jù)各知識板塊內(nèi)容對試題數(shù)量的占比進行統(tǒng)計（如圖5），以便讓大家更好地了解數(shù)學建模能力在各個知識板塊下的考查比重。

從圖5可以看出，對概率與統(tǒng)計的考查占比最大，其次是排列與組合。技能上強化了所建立的數(shù)學模型中的參數(shù)的選取、參數(shù)的數(shù)學意義（代數(shù)或幾何意義）、建立模型及求解模型的基本方法與步驟等。如2022年新高考Ⅰ卷第4題考查了在南水北調(diào)工程情境下的棱臺模型，涉及棱臺的體積計算；第20題考查在地方性疾病情境下的相關(guān)性，主要是運用相關(guān)公式進行數(shù)學運算及邏輯推理，綜合性強，對條件概率模型的識別與運用的理解要求較高；2023年新高考Ⅰ卷第10題不僅考查學生快速抽象出基本數(shù)學模型，還考查對數(shù)運算及估算等基本技能。

3.思維與表達維度包括基礎(chǔ)性運用（水平一）、關(guān)聯(lián)性運用（水平二）、本質(zhì)性應(yīng)用（水平三）。基礎(chǔ)性運用聚焦于對已學的數(shù)學模型的意義的說明；關(guān)聯(lián)性運用聚焦于在思維層面上經(jīng)歷數(shù)學建模的過程；本質(zhì)性應(yīng)用則聚焦于對數(shù)學模型所蘊含的作用與價值的理解。通過圖3，我們發(fā)現(xiàn)，客觀題與解答題在水平二的試題數(shù)遠多于水平一，即高考試題著力于考查數(shù)學建模的思維全過程。例如2022年新高考Ⅱ卷第3題考查以中國古建筑屋頂為情境的等差數(shù)列模型，需要考生通過確定等差數(shù)列的基本參數(shù)（首項與公差）建立模型，并通過模型解決問題——求數(shù)列的某一確定項。2021年新高考Ⅰ卷第16題考查在剪紙藝術(shù)情境下的等比數(shù)列模型，需要考生確定等比數(shù)列的基本參數(shù)建立模型并通過此模型解決問題——求前n項和。2023年新高考Ⅰ卷第21題考查以籃球運動為情境的概率統(tǒng)計模型，在問題解決過程中還需要根據(jù)數(shù)列遞推式構(gòu)造新數(shù)列求和，即需要確定等比數(shù)列的基本參數(shù)建立模型并求解。以上試題均聚焦于完整的數(shù)學模型建立的過程。

4.交流與反思維度包括基本性解釋（水平一）、一般化解釋（水平二）、綜合性解釋（水平三）。三個水平層次分別聚焦于借助建模結(jié)果解釋問題，通過建模思想解釋問題、闡釋規(guī)律。從圖4可以看出，客觀題和解答題均側(cè)重考查水平一。例如2021年新高考Ⅱ卷第4題考查以衛(wèi)星導航系統(tǒng)為情境的球體模型，通過球體表面積公式等相關(guān)計算結(jié)果說明衛(wèi)星信號覆蓋率情況；2021年新高考Ⅱ卷第21題考查以微生物繁殖為情境的函數(shù)模型，通過相應(yīng)概率及函數(shù)運算的結(jié)果解釋微生物繼續(xù)繁殖或滅絕的基本規(guī)律。

四、教學建議

基于上述認識，在教學實踐中，教師應(yīng)努力提升情境問題設(shè)計能力，特別是設(shè)計真實的、激發(fā)學生興趣的情境。同時，整體設(shè)計數(shù)學建?；顒拥慕虒W，讓學生在數(shù)學實踐與應(yīng)用中逐步提升數(shù)學建模核心素養(yǎng)。

（一）分層設(shè)計，重視數(shù)學建?；顒?/p>

數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要組成部分，其綜合性較強，與其他五個核心素養(yǎng)之間緊密聯(lián)系并相互融合。數(shù)學建模素養(yǎng)的提升是一個有層次且循序漸近的過程，需要在教學中整體設(shè)計，逐步滲透。根據(jù)數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展水平層次，可以進行以下7個層次的整體過程設(shè)計。

1.設(shè)計實際情境：為幫助學生理解數(shù)學基礎(chǔ)知識而進行實際情境設(shè)計。例如為理解指數(shù)函數(shù)而設(shè)計人口增長、病毒繁殖的函數(shù)模型。

2.理解實際意義：直接或間接地運用數(shù)學知識得到有實際意義的結(jié)果或解釋結(jié)果的實際意義。例如根據(jù)指數(shù)函數(shù)計算出經(jīng)過10次繁殖后的病毒數(shù)量，理解短期內(nèi)感染人數(shù)的劇烈增長。

3.初識實際問題：通過講解、合作等方式，帶領(lǐng)學生解決一些簡單、具體的實際應(yīng)用問題。

4.解決簡單問題：讓學生獨立自主地解決一些簡單、具體的實際應(yīng)用問題。

5.提出實際問題：在給出的生產(chǎn)生活情境中，引導學生自主提出實際問題，然后師生再共同進行“建立模型”“模型求解”兩個過程的數(shù)學活動，讓學生初步經(jīng)歷數(shù)學建模活動經(jīng)驗。

6.部分自主建模：在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、模型選擇、模型建立、模型求解、結(jié)果解釋等環(huán)節(jié)中，教師部分參與（即主要提供思維方向引導），讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的選題、開題、做題與結(jié)題的全過程。

7.全過程自主建模：讓學生獨立經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，并在此過程中自主決定是否尋求教師的指導。

其中，第1—3層次應(yīng)在日常教學中完成，第4層次則在章末復(fù)習時完成，最后再根據(jù)學生的具體情況，逐步實現(xiàn)第5—7層次的要求。

（二）逐步滲透，提升數(shù)學應(yīng)用意識

學以致用是素質(zhì)教育的根本目的。在數(shù)學學習中，可以在知識學習的同時，將典型的生產(chǎn)生活應(yīng)用與之建立聯(lián)系。以貼近生活、社會、時代的生活實踐和學習探索情境為載體，聯(lián)系社會發(fā)展、科學進步、生產(chǎn)生活實際進行應(yīng)用性考查，讓學生體會數(shù)學源于生活，并應(yīng)用于生活。例如，指數(shù)函數(shù)與病毒繁殖、指數(shù)爆炸；半衰期和聲強的對數(shù)模型；概率與運動擊中目標（如投籃、射擊等）；數(shù)列與存款的本息和；三角函數(shù)與高度、長度、角度；等等。教師將數(shù)學知識在生活中的應(yīng)用滲透于每一節(jié)課中，讓學生將模型應(yīng)用到實際當中，并用計算結(jié)果去說明實際問題。這樣不僅能讓學生強化知識，而且對提升學生的數(shù)學應(yīng)用意識和學習數(shù)學的興趣都會產(chǎn)生積極作用。

（三）追根求源，挖掘概念應(yīng)用背景

重要的數(shù)學概念，其產(chǎn)生一定具有某種應(yīng)用背景，讓學生體會數(shù)學概念的生成過程，實現(xiàn)從被動接受數(shù)學概念到主動參與數(shù)學概念的誕生，對提升其數(shù)學應(yīng)用意識具有重要價值。如復(fù)數(shù)的產(chǎn)生歸根于在求解部分實系數(shù)一元三次方程中無法回避的問題——求一元二次方程x2=-1的根；數(shù)列遞推公式——大自然中的斐波那契數(shù)列；而函數(shù)的概念源于17世紀人們對運動的研究。挖掘并引導學生理解重要的數(shù)學概念的應(yīng)用（包括生活中的應(yīng)用或數(shù)學自身的應(yīng)用）背景，還可以提升學生對數(shù)學的科學價值、文化價值甚至審美價值的認識。

（四）順藤摸瓜，梳理重要結(jié)論的應(yīng)用

重要的數(shù)學結(jié)論應(yīng)用非常廣泛。如余弦定理是勾股定理的一般性結(jié)論，不僅可以解決直角三角形問題，還可以解決任意三角形的相關(guān)問題；圓錐曲線的焦點性質(zhì)，決定了其對光學的聚合作用，從而在電影機、手電筒等光學器材，甚至建筑領(lǐng)域的應(yīng)用；函數(shù)的周期性在未知領(lǐng)域的規(guī)律探索中的應(yīng)用；坐標系在衛(wèi)星導航中的應(yīng)用；等等。

在數(shù)學教學中，教師要用心引導學生經(jīng)歷以下學習過程：從已學過的知識與方法，到自主選擇知識與方法解決實際問題；從套用已學的數(shù)學模型，到自主選擇恰當?shù)臄?shù)學模型解決實際問題；從簡單、熟悉的情境，到復(fù)雜、綜合的情境；從單純做題，到發(fā)現(xiàn)生活中的問題的數(shù)學解釋，從而進行數(shù)學探究和數(shù)學建模；從單純的數(shù)學知識與方法的學習，到解決實際問題，并在此過程中獲得充分的數(shù)學活動經(jīng)驗，從而提升學生數(shù)學建模能力。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數(shù)學科考試內(nèi)容改革實施路徑［J］. 中國考試，2019（12）：27-32.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［4］原坤，吳智敏，謝發(fā)超，等. 高考試題中運算求解關(guān)鍵能力的考查分析：以2019—2021年高考全國卷中解析幾何試題為例［J］. 教育科學論壇，2022（4）：37-39.

（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】周先華，高級教師，成都市特級教師，主要研究方向為中學數(shù)學教育教學；鄭傳遠，一級教師，主要研究方向為中學數(shù)學教育教學；原坤，一級教師，成都高新區(qū)學科帶頭人，主要研究方向為中學數(shù)學教育教學；謝發(fā)超，成都市玉林中學校長，成都市學科帶頭人，主要研究方向為學校管理、中學數(shù)學教育教學。

【立項課題】四川省2022年度教育科研重點課題“從復(fù)現(xiàn)到運用——回歸知識脈絡(luò)的問題情境教學研究”（SCJG22A033）；四川省教育學會2022年度教育科研課題“深度學習視閾下高中數(shù)學課堂教學設(shè)計研究”（川教學會〔2022〕18號）；成都市2022年度教育科研規(guī)劃名師專項課題“回歸知識脈絡(luò)的問題情境教學研究”（CY2022ZM28）