思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)踐與反思

張躍驁

［摘? 要］ 良好的思維能力對(duì)學(xué)生而言就是一把破解難題的利刃，可以確保學(xué)生遇到難題時(shí)能迎刃而解. 想要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，就要將落腳點(diǎn)放在學(xué)生的思維能力上，教師可以借助思維導(dǎo)圖把握學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)的心理，這有利于教師因材施教；當(dāng)教師把握學(xué)生的心理規(guī)律后去設(shè)計(jì)思維導(dǎo)圖，思維導(dǎo)圖不僅能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)以及解題起到引導(dǎo)作用，還可以成為學(xué)生解題時(shí)能夠直接拿來運(yùn)用的工具. 研究思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，關(guān)鍵就是研究學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)題目時(shí)的心理，研究學(xué)生是如何組織知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的. 在解題教學(xué)中，教師要高度重視思維導(dǎo)圖的作用，要將思維導(dǎo)圖作為解題教學(xué)的主要線索.

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；思維導(dǎo)圖；解題教學(xué)；應(yīng)用

對(duì)于當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，無論是面向高考的教學(xué)，還是面向核心素養(yǎng)的教學(xué)，都有一個(gè)無法回避的過程，那就是思維能力的培養(yǎng). 從當(dāng)前高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的角度來看，思維能力顯然不是指學(xué)生在解答基本習(xí)題過程中表現(xiàn)出來的解題能力，而是在面對(duì)相對(duì)復(fù)雜的問題時(shí)表現(xiàn)出來的解題能力. 這種解題能力的養(yǎng)成，能否借助傳統(tǒng)的習(xí)題重復(fù)訓(xùn)練來實(shí)現(xiàn)，要打一個(gè)大大的問號(hào). 筆者認(rèn)為，如果只是基于基本題型的重復(fù)訓(xùn)練，那么只能讓學(xué)生再次面對(duì)這些題型時(shí)表現(xiàn)出良好的直覺，而面對(duì)真正有難度的題目或者面對(duì)陌生情境中的題目時(shí)，重復(fù)訓(xùn)練起到的效果是極其有限的. 也就是說想要培養(yǎng)學(xué)生解答難題的能力，還要將落腳點(diǎn)放在學(xué)生的思維能力上，良好的思維能力對(duì)學(xué)生而言就是一把破解難題的利刃，可以確保學(xué)生遇到難題時(shí)能迎刃而解.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，實(shí)際上是教師共識(shí)，只不過通過怎樣的方式去培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是仁者見仁、智者見智. 既然簡單的重復(fù)訓(xùn)練無法有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，那么怎樣的教學(xué)思路才能讓學(xué)生的思維能力得以有效培養(yǎng)呢？這個(gè)問題最佳的答案之一，應(yīng)當(dāng)是思維導(dǎo)圖的應(yīng)用. 當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的領(lǐng)域中，思維導(dǎo)圖是一個(gè)熱點(diǎn)，這是一件好事，意味著思維導(dǎo)圖的作用得到了普遍認(rèn)同. 研究思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的作用和應(yīng)用，具有很強(qiáng)的實(shí)際意義，可以確保學(xué)生在思維導(dǎo)圖的幫助下，將所積累的數(shù)學(xué)信息與解題所要用的數(shù)學(xué)工具銜接起來，從而在明確解題方向的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)最佳的整合與運(yùn)用.

教師想提升自己對(duì)思維導(dǎo)圖的運(yùn)用能力，想讓思維導(dǎo)圖成為學(xué)生解題的有效工具，必然要進(jìn)行實(shí)踐研究. 由于思維導(dǎo)圖的存在，解題教學(xué)的行動(dòng)軌跡、師生在解題過程中的互動(dòng)都會(huì)出現(xiàn)更加積極明顯的變化，而教學(xué)研究就需要抓住這些變化，以確保思維導(dǎo)圖能夠成為解題教學(xué)的主要線索，能夠成為促進(jìn)學(xué)生思維能力提升的助力器.

思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值

有研究表明，將思維導(dǎo)圖教學(xué)方法引入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)性學(xué)習(xí)和學(xué)科知識(shí)整合，改變學(xué)生的認(rèn)知方式，大大提高學(xué)習(xí)效果，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力及解題能力的有效途徑［1］. 這樣的判斷無疑是正確的，同樣也是非常宏觀的，其能夠幫助教師堅(jiān)定對(duì)思維導(dǎo)圖的運(yùn)用，認(rèn)識(shí)思維導(dǎo)圖的價(jià)值. 當(dāng)然，只從宏觀的角度認(rèn)識(shí)思維導(dǎo)圖的價(jià)值是不夠的，只有在具體的教學(xué)過程中，尤其在解題教學(xué)過程中認(rèn)識(shí)思維導(dǎo)圖的價(jià)值，那么思維導(dǎo)圖才能真正起到指導(dǎo)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的作用.

作為一種學(xué)習(xí)工具，思維導(dǎo)圖最大的好處在于可以將學(xué)生內(nèi)隱的思維過程，以外顯的圖形體現(xiàn)出來. 上文提到的思維能力，實(shí)際上是一個(gè)高度抽象的概念，對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的思維能力的高低，往往是通過能否順利解決問題，尤其是能否順利解決復(fù)雜問題來判斷的. 這種判斷實(shí)際上是一種間接判斷，并不指向?qū)W生的思維本身，因此很難對(duì)學(xué)生的思維過程起到指導(dǎo)作用. 想培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，最好的抓手自然是思維本身，如果能夠了解學(xué)生的思維過程，或者想方設(shè)法優(yōu)化學(xué)生的思維過程，這樣的努力顯然更加直接，起到的效果自然就更加理想.

筆者認(rèn)為，教師最好站在學(xué)生的角度去認(rèn)識(shí)思維導(dǎo)圖在解題中的價(jià)值，因?yàn)槿绻诮虒W(xué)研究中不考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)過程以及學(xué)習(xí)感受，那么教師很容易犯“想當(dāng)然”的錯(cuò)，一旦學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與教師預(yù)設(shè)的教學(xué)過程不相吻合，教師就會(huì)去責(zé)怪學(xué)生，而忽視自己所預(yù)設(shè)的教學(xué)過程有可能并不科學(xué)——就解題教學(xué)而言，也就是教師所預(yù)設(shè)的學(xué)生思維發(fā)展過程，實(shí)際上并不符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).

基于學(xué)生視角去看思維導(dǎo)圖的價(jià)值，能夠發(fā)現(xiàn)如果用思維導(dǎo)圖反映學(xué)生的解題思路，那么教師就可以借助這些思維導(dǎo)圖把握學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)的心理，而這自然有利于教師因材施教；如果教師把握了學(xué)生的心理規(guī)律后去設(shè)計(jì)思維導(dǎo)圖，那么這樣的思維導(dǎo)圖不僅能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)以及解題起到引導(dǎo)作用，還可以成為學(xué)生解題時(shí)能夠直接拿來運(yùn)用的工具. 很顯然，思維導(dǎo)圖一旦成為學(xué)生的解題工具，學(xué)生就能夠借助思維導(dǎo)圖來反思自己的思維過程，促使自己解題時(shí)面向思維，做到揚(yáng)長避短，而這也就意味著學(xué)生思維能力以及解題能力已提升.

所以總體而言，思維導(dǎo)圖在解題教學(xué)中的作用非常顯著，教師要充分利用好思維導(dǎo)圖這一工具，來促進(jìn)解題教學(xué)效益的提升.

思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)踐

站在數(shù)學(xué)的角度看思維導(dǎo)圖，可以認(rèn)為思維導(dǎo)圖就是能夠?qū)?fù)雜的數(shù)量關(guān)系、空間形式形象化的邏輯圖. 思維導(dǎo)圖可以實(shí)現(xiàn)抽象思維的可視化，可以幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的知識(shí)脈絡(luò)和推理形式，因此在解題過程中具有較高的應(yīng)用價(jià)值［2］. 既然研究的是思維導(dǎo)圖在解題中的應(yīng)用，那么就要將思維導(dǎo)圖與學(xué)生的解題過程呼應(yīng)起來，要確保思維導(dǎo)圖能夠反映學(xué)生的解題過程，能夠優(yōu)化學(xué)生的解題過程.

值得一提的是，研究解題教學(xué)不能只研究題目本身，也要研究學(xué)生在解題過程中的思維過程. 這里重點(diǎn)有兩個(gè)：一是學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)題目時(shí)，能否準(zhǔn)確確定解題方向，也就是從哪個(gè)角度去解題；二是對(duì)解題方向有了大致判斷后，能否找到有效的解題工具，也就是能否找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解題. 這兩個(gè)重點(diǎn)同時(shí)存在、相輔相成的，學(xué)生判斷解題方向，本身就會(huì)借助自己所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)去進(jìn)行，而明確了解題方向后，選擇數(shù)學(xué)知識(shí)的空間就變得更小且更準(zhǔn)確. 很顯然，想讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)重點(diǎn)，前提就在于學(xué)生對(duì)自己的思維過程有一個(gè)清晰的把握，而思維導(dǎo)圖正可以發(fā)揮這樣的促進(jìn)作用. 所以研究思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，關(guān)鍵就是研究學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)題目時(shí)的心理，要借助思維導(dǎo)圖研究學(xué)生是如何組織知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的.

關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的組織，通常取決于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 由于不同學(xué)生個(gè)體所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)不同，所以他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也有差異. 舉一個(gè)簡單的例子：如圖1所示，這是關(guān)于“圓錐曲線”的一個(gè)知識(shí)框架圖——實(shí)際上也可以視為思維導(dǎo)圖. 如果學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與這一知識(shí)結(jié)構(gòu)相吻合，那么這樣一個(gè)知識(shí)框架圖就可以反映學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)知結(jié)構(gòu). 當(dāng)學(xué)生遇到具體題目時(shí)，如果學(xué)生能夠借助思維能力，將題目給出的信息與該圖中的具體知識(shí)點(diǎn)銜接起來，那么就意味著學(xué)生通過自己所選擇的知識(shí)點(diǎn)，可以完成該題目的解答. 如果學(xué)生的解題過程驗(yàn)證了這一點(diǎn)，那么就說明學(xué)生的思維過程是正確的；反之，則說明學(xué)生的思維過程是錯(cuò)誤的. 從解題準(zhǔn)備的角度來看，如果學(xué)生大腦中的這一思維導(dǎo)圖越完整，那么學(xué)生提取知識(shí)點(diǎn)時(shí)就會(huì)越順利，這也可以夯實(shí)解題的基礎(chǔ).

當(dāng)然，對(duì)學(xué)生解題起決定性作用的，還是學(xué)生提取了知識(shí)點(diǎn)后，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合的過程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維越清晰，解題質(zhì)量也就越高. 教師有一個(gè)很重要的任務(wù)就是借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生形成清晰的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生梳理、反思解題過程. 比如這樣一道題：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（－2，0），（2，0），且過點(diǎn)，－，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

從難易程度來看，本題并不是一道難度大的題目，但從學(xué)生思維能力的角度來看，這道題目可以在學(xué)生初學(xué)橢圓的知識(shí)時(shí)，幫助學(xué)生形成最基本的求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的思維. 借助思維導(dǎo)圖來梳理本題的求解過程，最基本的做法就是通過審題把握給出的信息以及所求對(duì)象——本題給出了橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)以及橢圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)，所求的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 學(xué)生需要借助這三點(diǎn)的坐標(biāo)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系，來形成一個(gè)解題思路，其對(duì)應(yīng)的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

因此，相應(yīng)的求解過程，就應(yīng)當(dāng)是基于“橢圓的焦點(diǎn)在x軸上”這一信息，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（a>b>0），然后結(jié)合橢圓的定義，建立關(guān)系式2a=+=2，得到a=. 又c=2，所以b2=a2－c2=6. 最終求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.

當(dāng)然，本題還可以結(jié)合其他信息形成新的求解思路，如下面這種解法：因?yàn)閏=2，所以b2=a2－c2=a2－4. 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，將點(diǎn)，－代入上式，解得a=. 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

不論是哪種解法，都對(duì)應(yīng)著學(xué)生具體的解題思路，而這些解題思路的背后，都反映著學(xué)生的解題思維. 在上文分析中已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過，學(xué)生的解題思維越清晰，那么解題過程就越順利. 隱性的解題思維，可以借助形象的思維導(dǎo)圖展現(xiàn)出來，而這些形象的思維導(dǎo)圖又可以發(fā)揮很重要的作用，比如讓教師清晰把握學(xué)生的思維過程，又或者借助思維導(dǎo)圖優(yōu)化學(xué)生的思維過程……思維導(dǎo)圖在解題教學(xué)中的作用正是體現(xiàn)在這些方面上.

思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用反思

從上文的理論分析以及具體的解題教學(xué)案例中可以發(fā)現(xiàn)，思維導(dǎo)圖的作用是非常明顯的——應(yīng)用思維導(dǎo)圖來優(yōu)化解題教學(xué)，可以讓學(xué)生的思維過程變得可視化，可以讓教師的教學(xué)過程變得清晰化. 如果說思維導(dǎo)圖是教師解決教學(xué)問題的一個(gè)重要抓手的話，那么對(duì)于學(xué)生而言，思維導(dǎo)圖就是一個(gè)重要的解題工具.

在實(shí)踐過程中，筆者還有一個(gè)非常重要的收獲，那就是思維導(dǎo)圖不僅可以成為教師的教學(xué)工具，還可以成為學(xué)生的學(xué)習(xí)工具. 當(dāng)學(xué)生習(xí)慣運(yùn)用這一工具后，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合解題教學(xué)，讓學(xué)生自己建構(gòu)思維導(dǎo)圖. 可以說這是思維導(dǎo)圖教學(xué)的一個(gè)很重要的境界. 如果學(xué)生能夠借助思維導(dǎo)圖來優(yōu)化自己的解題過程，那么就達(dá)到了“知其然且知其所以然”的認(rèn)知水平. 學(xué)生可以借助思維導(dǎo)圖反思自己的解題思路，在這個(gè)過程中，即使學(xué)生所建構(gòu)的思維導(dǎo)圖有缺陷，那也是一個(gè)非常重要的教學(xué)與反思的契機(jī). 教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生抓住這一機(jī)會(huì)，借助思維導(dǎo)圖反思解題中的不足，這相對(duì)于讓學(xué)生盯住自己在解題中的錯(cuò)誤步驟去反思，效果要好得多. 畢竟指向思維的反思，要比指向解題步驟的反思更具代表性，學(xué)生所獲得的也是思維能力的培養(yǎng).

總體而言，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要高度重視思維導(dǎo)圖的作用，要將思維導(dǎo)圖作為解題教學(xué)的主要線索之一，要在思維導(dǎo)圖的引導(dǎo)下把握好學(xué)生的思維，這樣學(xué)生對(duì)自己的解題過程就會(huì)有一個(gè)更加清晰的認(rèn)識(shí)，從而有助于學(xué)生對(duì)培養(yǎng)自己解題能力的過程有一個(gè)更加精準(zhǔn)的把握.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 楊慧娟. 思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的運(yùn)用［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（09）：54-55.

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