感受位值的數(shù)學(xué)智慧
——“10的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)踐與思考

湖南株洲市二中附屬小學(xué)（412007） 陳勝欽 程汝瑩

一、課前慎思

10 是學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)兩位數(shù)，它的寫(xiě)法和0～9 不同：它不再是用一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示，而是由學(xué)過(guò)的“1”和“0”這兩個(gè)數(shù)字符號(hào)組合而來(lái)的，數(shù)位是關(guān)鍵概念。對(duì)此教材是如何編排的呢？筆者對(duì)比了人教版2012 版教材及2021 版《生本學(xué)材》。人教版教材從數(shù)的意義、讀寫(xiě)、排序、組成等對(duì)“10”進(jìn)行介紹，側(cè)重于對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；而《生本學(xué)材》則突出了“十”作為計(jì)數(shù)單位的里程碑式的意義，從用1根大樹(shù)枝表示10根小樹(shù)枝，到生活中按十計(jì)數(shù)的習(xí)慣，再到用1 根小棒表示十，將人類(lèi)幾百年的創(chuàng)造位值制的歷史濃縮在一段教材內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生感受位值制的精妙。

作為入學(xué)不到三個(gè)月的一年級(jí)學(xué)生，他們又有怎樣的認(rèn)知基礎(chǔ)呢？筆者從每個(gè)班隨機(jī)選出幾名學(xué)生進(jìn)行訪談。對(duì)于問(wèn)題“請(qǐng)你幫牧羊人計(jì)數(shù)，用一根樹(shù)枝代表1 只羊，數(shù)到10 只，再來(lái)1 只羊，樹(shù)枝不夠了，怎么辦？”，不少學(xué)生的回答是可以找一塊石頭，或再折一根樹(shù)枝來(lái)計(jì)數(shù)，由此可見(jiàn)，學(xué)生的思維停留在用一個(gè)物體對(duì)應(yīng)另一個(gè)物體這種一對(duì)一的計(jì)數(shù)方法，而沒(méi)有達(dá)到“一對(duì)多”“以一當(dāng)十”的水平。

這也讓筆者想到，學(xué)生在數(shù)數(shù)時(shí)，遇到的難點(diǎn)之一就是數(shù)到幾十九后不知道接下來(lái)怎么數(shù)。實(shí)際上，學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙最根本的原因是沒(méi)有理解十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的本質(zhì)：一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，每個(gè)數(shù)位上最大的數(shù)字是9，哪一位上滿十，則應(yīng)該向前一位進(jìn)1。例如，數(shù)到29，再數(shù)一個(gè)，個(gè)位滿十向十位進(jìn)1，個(gè)位變?yōu)榱?，十位進(jìn)1 變成了3，是30。掌握了這個(gè)抽象的位值思想方法，就可以此類(lèi)推。因此，“10 的認(rèn)識(shí)”這一課的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是要讓學(xué)生體會(huì)位值的思想。

二、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了好幾個(gè)數(shù)，這節(jié)課讓我們穿越時(shí)空，和古人一起來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)吧！古代的牧羊人是怎么數(shù)羊的呢？羊圈里走出來(lái)1只羊，牧羊人就在地上擺1根樹(shù)枝。

師（課件依次出示小羊）：請(qǐng)一位小朋友當(dāng)牧羊人來(lái)數(shù)一數(shù)羊。

生1：1只、2只、3只、4只、5只、6只、7只、8只。

師：又來(lái)了1 只羊，8 添上1 是9，再來(lái)1 只羊，9添上1是幾？

生2：9添上1是10。

【設(shè)計(jì)意圖】課件依次出示小羊，讓學(xué)生在數(shù)數(shù)的過(guò)程中，理解數(shù)的本質(zhì)，初步感受“數(shù)是一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)出來(lái)的，而且一個(gè)比一個(gè)大”“9 添上1 就是10”。同時(shí)請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)模擬牧羊人數(shù)羊，屏幕上每出來(lái)1只羊，學(xué)生就擺1根小樹(shù)枝，增加數(shù)數(shù)的趣味性的同時(shí)，也讓學(xué)生體驗(yàn)一一計(jì)數(shù)的方法。

2.實(shí)踐操作，探究新知

（1）在數(shù)數(shù)中發(fā)展數(shù)感

師：大家都來(lái)當(dāng)一當(dāng)牧羊人吧！如果用一個(gè)圓片表示一只羊，應(yīng)該擺幾個(gè)呢？請(qǐng)你們從盒子里拿出圓片，快速地在桌子上擺一擺。

師：你擺了幾個(gè)圓片來(lái)表示小羊的只數(shù)？

生3：10個(gè)。

師：我們一起來(lái)數(shù)一數(shù)，看看有沒(méi)有擺對(duì)。

生（齊）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

師：很準(zhǔn)確，剛剛我們是一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，還可以怎么數(shù)呢？

生4（邊擺圓片邊數(shù)）：可以兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)，2、

4、6、8、10。

生5：10里面有5個(gè)2。

生6：三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，3、6、9，另外多出1 個(gè)，一起是10。

生7：我能五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，是5、10。

師：請(qǐng)大家像生7 這樣五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)圓片，看10里面有幾個(gè)5？

生8：10里面有2個(gè)5。

【設(shè)計(jì)意圖】用半抽象的圓片表示數(shù)，讓學(xué)生完整經(jīng)歷從實(shí)物到抽象的過(guò)程。用不同方法數(shù)出10，豐富了學(xué)生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，在數(shù)數(shù)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

（2）學(xué)習(xí)10的組成

師（出示圖1）：10 只羊和10 個(gè)圓片成了好朋友，圖上還有什么可以跟10 個(gè)圓片做好朋友？你是怎么看出10個(gè)的？

圖1 “10的認(rèn)識(shí)”教學(xué)課件

生9：我看到了10個(gè)橙子，左邊3個(gè)右邊7個(gè)。

師：觀察得真仔細(xì)，左邊3 個(gè)與右邊7 個(gè)合成10。

生10：我還看到了10個(gè)蘋(píng)果，4和6合成10。

生11：我還看到了10朵花，8和2合成10。

生12：還有10個(gè)梨，5和5合成10。

師：蘋(píng)果、橙子、梨、花，它們的形狀相同嗎？大小、顏色呢？

生13：都不相同。

師：那為什么它們都可以和10 個(gè)圓片做好朋友？

生14：因?yàn)樗鼈兌际?0個(gè)。

師：正如同學(xué)們所說(shuō)，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量都是10，所以它們都是10的好朋友。

【設(shè)計(jì)意圖】圖1 上的蘋(píng)果、梨、橙子、花的數(shù)量都指向10 的組成。讓學(xué)生觀察圖片，找10 個(gè)圓片的好朋友，學(xué)生能感受10 是物體個(gè)數(shù)為10 的集合標(biāo)記，感受數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象。

（3）學(xué)習(xí)按群計(jì)數(shù)

師：我們?cè)谶@兒數(shù)數(shù)，羊圈里的小羊們可著急了，它們也想和大家一起玩。這時(shí)，又出來(lái)1 只羊，一共有11 只羊了，可是現(xiàn)在沒(méi)有小樹(shù)枝了，牧羊人該怎么計(jì)數(shù)呢？

生15：用1個(gè)蘋(píng)果代替1只羊。

生16：用1塊石頭代替1只羊。

師：你們想到的方法都是找一個(gè)其他物品代替1只羊。古人跟你們一樣，也找了一個(gè)物品——一根大樹(shù)枝，不過(guò)是用大樹(shù)枝代替這里的10 根小樹(shù)枝，再拿出一根小樹(shù)枝，就表示了11只羊。

師：你覺(jué)得誰(shuí)的方法更好呢？

生17：我覺(jué)得古人的方法很好，用一根大樹(shù)枝表示10，我能很快知道有多少只羊。

師：誰(shuí)再說(shuō)一說(shuō)，古人是怎么用這個(gè)大樹(shù)枝表示11只羊的呢？

生18：用1 根大樹(shù)枝代替10 根小樹(shù)枝，再加上1根小樹(shù)枝。

師：10 根樹(shù)枝、10 個(gè)圓片，還有這1 根大樹(shù)枝，都可以用數(shù)字10 來(lái)表示，這就是我們今天要認(rèn)識(shí)的新朋友（把“10”貼在黑板上）。10 跟以前我們學(xué)的數(shù)有什么不一樣的地方？

生19：10 是由1 和0 兩個(gè)數(shù)字組成的，以前學(xué)的數(shù)是一個(gè)數(shù)字。

師：是的，10 是我們學(xué)的第一個(gè)兩位數(shù)。10 的左邊是1，右邊是0，合起來(lái)讀“十”，今天我們就一起來(lái)認(rèn)識(shí)10。

【設(shè)計(jì)意圖】用1根大樹(shù)枝代替10根小樹(shù)枝，讓學(xué)生經(jīng)歷從“一一計(jì)數(shù)”到“按群計(jì)數(shù)”的過(guò)程。

（4）感受計(jì)數(shù)單位“一”和“十”之間的十進(jìn)關(guān)系

師：我們的學(xué)具——小棒也想和10 做朋友，請(qǐng)從你的學(xué)具盒子里數(shù)出10 根小棒。老師跟你們一起數(shù)，比比誰(shuí)數(shù)得快！10根小棒數(shù)了幾次？

生（齊）：10次。

師：一根小棒是1個(gè)一，你們數(shù)了幾個(gè)一？

生（齊）：10個(gè)一。

師（貼1 捆小棒）：10 個(gè)一就是10，為了讓人一眼看出它是10，把它們捆在一起，這一捆就表示1個(gè)十。

師：現(xiàn)在把1捆小棒拆開(kāi)，它是10個(gè)一，再把它捆起來(lái)，它是1個(gè)十，數(shù)量沒(méi)變，那我們就說(shuō)10個(gè)一是1個(gè)十。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生經(jīng)歷玩小棒活動(dòng)，把10 個(gè)一變成1 個(gè)十，又把1 個(gè)十變成10 個(gè)一。在變的過(guò)程中，學(xué)生深刻理解10 個(gè)一就是1 個(gè)十，感知計(jì)數(shù)單位“一”和“十”的關(guān)系。

（5）初步感知位值

師：剛才我們把10 根小棒捆成一捆，用一捆來(lái)表示十。聰明的古人也用1根小棒表示了10，你們能猜到他們是用什么方法表示10的嗎？

生20：在小棒上貼1個(gè)“十”字。

生21：把小棒切成10段。

生22：在后面加個(gè)0。

生23：把小棒擺在不同的位置。

師（出示圖3）：聰明的古人把1 根小棒放在右邊的竹筒，表示1 個(gè)一；把1 根小棒放在左邊的竹筒，表示1個(gè)十。

圖3 古人表示數(shù)的方法

師：后來(lái)，人們用珠子代替小棒，計(jì)數(shù)時(shí)把珠子擺在不同的位置表示不同的數(shù)，根據(jù)這個(gè)原理，后來(lái)人們就發(fā)明了的計(jì)數(shù)器。

師（邊撥計(jì)數(shù)器的算珠邊問(wèn)學(xué)生）：老師這里有一個(gè)計(jì)數(shù)器，我們一起來(lái)數(shù)一數(shù)。我們?cè)谶@一位上撥的算珠每顆都表示1 個(gè)一，所以這一位就叫作“個(gè)位”。1個(gè)十怎么表示？

生24：在十位上撥1顆算珠。

師：個(gè)位上的10 個(gè)一表示10，十位上撥1 顆算珠是1個(gè)十，也表示10，哪種方法更簡(jiǎn)便？

生25：1個(gè)十。

師：在十位上撥的算珠每顆都表示1 個(gè)十，我們把它叫作“十位”。

師（在田字格里示范寫(xiě)10）：10這樣寫(xiě)。1后面為什么要加個(gè)0？

生26：因?yàn)閭€(gè)位上的10 顆算珠變成了十位上的1顆算珠，所以個(gè)位上就變成了0。

師：0可以省略不寫(xiě)嗎？

生27：不可以，不寫(xiě)0的話，10就變成了1。

【設(shè)計(jì)意圖】從十進(jìn)制到位值制經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程，這部分的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一個(gè)難點(diǎn)?！霸鯓佑?根小棒來(lái)表示10”學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行討論交流，想出可以把小棒放在不同的位置，進(jìn)而教師引出計(jì)數(shù)器這個(gè)學(xué)具，并用其直觀地表示“十位”“個(gè)位”作為數(shù)位，且“十”“一”作為計(jì)數(shù)單位的含義。

3.對(duì)比關(guān)聯(lián)，感受位值的精妙與簡(jiǎn)潔

師：我們跟著古人一起學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)的方法，還認(rèn)識(shí)了一個(gè)新朋友——10，你能從圖4 的每一組框里找到10嗎？

（課件出示圖4）

生28：大樹(shù)枝是10，小樹(shù)枝是1。

師：大樹(shù)枝是用幾根小樹(shù)枝換來(lái)的呢？

生29：10根。

師：在這里，我們是根據(jù)樹(shù)枝的大小來(lái)區(qū)分1和10。

生30：一捆小棒也是10。

生31：計(jì)數(shù)器十位上的1顆算珠也是10。

師：算珠的大小、數(shù)量一樣，為什么同樣的算珠表示的意思卻不同呢？

生32：因?yàn)檫@兩顆算珠所在的位置不同，右邊計(jì)數(shù)器中的算珠在個(gè)位，左邊計(jì)數(shù)器的算珠在十位。

師：你說(shuō)得太好了！同樣的一顆算珠，放在個(gè)位就表示1個(gè)一，放在十位就表示1個(gè)十，算珠所在的位置不同，表示的數(shù)量不一樣。

【設(shè)計(jì)意圖】從用1 根大樹(shù)枝表示十，到用1 捆小棒表示十，再到計(jì)數(shù)器十位上的1 顆算珠表示十，學(xué)生在對(duì)比與關(guān)聯(lián)中體會(huì)位值制的簡(jiǎn)潔與精妙。

三、教學(xué)反思

學(xué)生在上小學(xué)之前已經(jīng)會(huì)認(rèn)讀10，但僅僅是從表面上認(rèn)識(shí)。如何讓學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)10 呢？0～9 各數(shù)是一位數(shù)，只有個(gè)位，而10 是兩位數(shù)，有個(gè)位和十位兩個(gè)數(shù)位，學(xué)生認(rèn)識(shí)10 不僅要經(jīng)歷數(shù)量到數(shù)的抽象過(guò)程，更重要的是理解數(shù)位、發(fā)展數(shù)感。

1.經(jīng)歷數(shù)的抽象過(guò)程

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，本課遵循“具體—半抽象—抽象（符號(hào)）—具體”的學(xué)生認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，由小羊、蘋(píng)果、梨子、橘子、花的數(shù)量，抽象出10個(gè)圓片組成的點(diǎn)子圖，讓學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)是數(shù)量相同，進(jìn)而明確“雖然數(shù)的事物不同，只要數(shù)量相同，都可以用同樣數(shù)量的點(diǎn)子圖表示”，滲透“10 是物體個(gè)數(shù)為10 的集合的標(biāo)記”的含義，接著回到“具體”——數(shù)出10 根小棒并捆成一捆，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)10 的認(rèn)識(shí)。本課的教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生完整地經(jīng)歷了數(shù)的抽象過(guò)程。

2.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

“10 的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)，承載著培養(yǎng)數(shù)感的重任。這節(jié)課安排了大量的活動(dòng)幫助學(xué)生建立數(shù)感。

“數(shù)”出數(shù)感。數(shù)羊，一個(gè)一個(gè)、兩個(gè)兩個(gè)、五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)小圓片；數(shù)小棒、在計(jì)數(shù)器上數(shù)，不同材料、不同形式，數(shù)數(shù)的活動(dòng)達(dá)到10 次以上，充分地“數(shù)”能很好地讓學(xué)生感知10 這個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的數(shù)量是多少。

“看”出數(shù)感。牧場(chǎng)里的蘋(píng)果、梨、橙子、花數(shù)量都是10，學(xué)生在觀察圖片的過(guò)程中能形成10 有多少的直覺(jué)。

“玩”出數(shù)感。玩小棒，把10 個(gè)一變成1 個(gè)十，又把1個(gè)十變成10個(gè)一，學(xué)生能在玩的過(guò)程中感知計(jì)數(shù)單位“一”和“十”的關(guān)系，建立進(jìn)率的概念。

3.感受位值的數(shù)學(xué)智慧

為什么表示10 時(shí)沒(méi)有再用新的數(shù)字，而是從0～9 中選擇0 和1 這兩個(gè)數(shù)字呢？這里蘊(yùn)含著我們祖先計(jì)數(shù)的數(shù)學(xué)智慧——位值。如何讓剛?cè)雽W(xué)三個(gè)多月的一年級(jí)學(xué)生也能感受這一智慧，教學(xué)中設(shè)計(jì)了挑戰(zhàn)性任務(wù)。

任務(wù)1：怎么表示11只羊呢？當(dāng)學(xué)生想不出辦法時(shí)，教師提示“古人用1 根大樹(shù)枝表示十”，再引導(dǎo)“用1 根大樹(shù)枝加1 根小樹(shù)枝表示11，和你們不斷地找新物品來(lái)代替，兩種方法哪種更好？好在哪里？”。

任務(wù)2：怎么用1 根小棒表示10？當(dāng)學(xué)生想不出辦法時(shí)，教師提示“可以通過(guò)把小棒擺在不同位置來(lái)表示10”，再引導(dǎo)“用1 根小棒表示10，用1 捆小棒表示10，哪個(gè)更好？好在哪里？”。

任務(wù)3：為什么同樣一顆算珠，大小、多少都一樣，卻能表示10？有了前面兩次的比較，可以看到學(xué)生在回答這個(gè)問(wèn)題時(shí)是非常順暢的，說(shuō)明位值在他們心中已經(jīng)烙下了深深的印記，學(xué)生能充分地感知位值制的簡(jiǎn)潔美。

在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生完整經(jīng)歷了數(shù)的抽象過(guò)程，體會(huì)了位值的簡(jiǎn)潔與精妙，形成初步的數(shù)感。