數(shù)學(xué)解題教學(xué)：從“一題多解”到“一題優(yōu)解”

顧鋒 寧連華

摘 要：“一題多解”是數(shù)學(xué)解題的典型活動(dòng)，也是解題教學(xué)的普遍追求。相較而言，對(duì)“一題優(yōu)解”的認(rèn)識(shí)與重視尚顯不足。在“一題多解”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深度思考，對(duì)比、鑒別、篩選出最優(yōu)化的解法，成為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的應(yīng)然追求。判斷一道題目最優(yōu)化解法的主要標(biāo)準(zhǔn)有：簡(jiǎn)單自然，效率為先，結(jié)構(gòu)完美。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題；解題教學(xué)；一題多解；一題優(yōu)解

本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期“基于問題解決的數(shù)學(xué)抽象思維力培養(yǎng)實(shí)踐研究”（編號(hào)：2021JY14-L238）、江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“TPACK視域下的卓越教師培養(yǎng)研究”（編號(hào)：B-a/2020/01/42）的階段性研究成果。

一、 “一題多解”的優(yōu)越之狀與教學(xué)之失

“一題多解”是數(shù)學(xué)解題的典型活動(dòng)，也是解題教學(xué)的普遍追求：教師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、用不同的思維方式觀察、聯(lián)想、分析，根據(jù)問題的特定條件探索出一系列解題思路，達(dá)到“一題多解”的效果。

丘成桐先生在北京師范大學(xué)附屬中學(xué)110周年校慶的演講中，也曾著力推崇“一題多解”。他說：“數(shù)學(xué)題的解法是有很多的，比如勾股定理的證明方法至少有幾十種，不同的證明方法幫助我們理解定理的內(nèi)容。19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家高斯，用不同的方法構(gòu)造正十七邊形，不同的方法來自不同的想法，不同的想法導(dǎo)致不同方向的發(fā)展。所以，數(shù)學(xué)題的每種解法有其深厚的意義，你會(huì)領(lǐng)會(huì)不同的思想，我們要允許學(xué)生用不同的方法來解決。”［1］

可以說，“一題多解”廣受重視，其優(yōu)越性不言而喻?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的效果，不僅能幫助學(xué)生多角度地串聯(lián)知識(shí)、系統(tǒng)化地使用方法，而且能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、發(fā)散性、靈活性等。試想，對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，從代數(shù)、幾何、三角、向量、復(fù)數(shù)、統(tǒng)計(jì)等不同的視角，探索出一系列解題思路（如函數(shù)ｆ（ｘ）＝3ｘ+3+2-ｘ最大值的求解［2］），無疑能激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的強(qiáng)烈愿望，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的嫻熟運(yùn)用能力。

遺憾的是，“一題多解”也有它的教學(xué)之失：多數(shù)情況下停留在“一題多解”的境地，醉心于多種思路的呈現(xiàn)，缺少對(duì)各種方法優(yōu)劣的評(píng)判、甄別與遴選，導(dǎo)致學(xué)生的解題水平遲滯于各種招式、技巧、模型的窠臼，難以觸及批判性思維、反省性思維、創(chuàng)造性思維等高層次思維活動(dòng)，造成一種不應(yīng)有的損失。這導(dǎo)致在練習(xí)和考試中，很多學(xué)生總是采用“笨拙”的方法解題，不能找到適合問題的最優(yōu)解法，解題的質(zhì)量和效率大打折扣。鑒于此，在“一題多解”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深度思考，對(duì)比、鑒別、篩選出最優(yōu)化的解法，成為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的應(yīng)然追求。

二、 “一題優(yōu)解”的認(rèn)識(shí)之乏與境界之求

相較于對(duì)“一題多解”的關(guān)注，數(shù)學(xué)教育界對(duì)“一題優(yōu)解”的認(rèn)識(shí)與重視尚顯不足，相關(guān)的研究比較匱乏。實(shí)際上，作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，最優(yōu)化方法（也稱作運(yùn)籌學(xué)方法）廣為人知，即利用數(shù)學(xué)方法研究各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑及方案。最優(yōu)化方法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于設(shè)計(jì)、管理、控制等各個(gè)領(lǐng)域，很好地詮釋了最優(yōu)化的魅力所在。遺憾的是，這種思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要活動(dòng)——數(shù)學(xué)解題中似乎并沒有得到很好的運(yùn)用。這歸根結(jié)底在于對(duì)“一題優(yōu)解”的認(rèn)識(shí)不夠，自然也就不會(huì)有相應(yīng)的追求。

所謂“一題優(yōu)解”，是指從某個(gè)數(shù)學(xué)問題的多種解法中找到最優(yōu)化的解法。著名數(shù)學(xué)教育家G．波利亞稱之為“最優(yōu)解問題”。他認(rèn)為：“解題需要做成本核算，在最優(yōu)解問題中，既要到達(dá)目標(biāo)，又要使成本最低，或利用率最高。如同給你一定的材料和操作構(gòu)筑某種東西，但成本有限制，也許還有對(duì)材料和操作的使用的其他限制，解題者必須根據(jù)這些限制選定材料，科學(xué)地決策出最佳方案，制定施工程序（即操作序列），高效地完成任務(wù)?！保?］

“一題多解”是“一題優(yōu)解”的前提與基礎(chǔ)，“一題優(yōu)解”則是“一題多解”的推進(jìn)與升華。

例1 如圖1，四邊形ABCD中，AB⊥CB，AD⊥CD，∠BCD=60°，且AD=3，CD=53，求BC的長(zhǎng)。

無疑，這是一道有多種解法的題目，運(yùn)用平幾法、解幾法、三角法、向量法等，都可以有多個(gè)路徑達(dá)到解題目標(biāo)。只是，這林林總總的解法也是良莠不齊、特點(diǎn)各異：有的思路自然，但運(yùn)算復(fù)雜；有的目標(biāo)明確，但步驟繁繞；有的難以想到，但過程簡(jiǎn)捷。

我們利用此題在高二學(xué)生中做了測(cè)試。選取高、中、低三個(gè)層次的學(xué)生各100名，要求8分鐘之內(nèi)完成。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：共出現(xiàn)了四類（平幾、解幾、三角、向量）18種解題方法，所有學(xué)生都選擇了某種方法來解決問題，僅有15名學(xué)生沒有得出最后的結(jié)論。

學(xué)生最普遍使用的方法是三角法（見圖2，解題過程省略），約占60%。

出現(xiàn)解法種數(shù)最多的則是平幾法思路，即基于圖形特點(diǎn)添加輔助線，主要運(yùn)用勾股定理解決。這類方法多達(dá)8種（見圖3，解題過程省略），使用的學(xué)生約占32%。

此外，有少部分學(xué)生使用解幾法思路（建立平面直角坐標(biāo)系）或向量法思路解決，兩者合計(jì)僅占8%。

應(yīng)該說，本題形態(tài)各異的解法不可謂不精彩，對(duì)學(xué)生思維靈活性、深刻性的培養(yǎng)顯然大有裨益。但是，如果解題教學(xué)僅停留在各種方法的展現(xiàn)和賞析上，而不去比較不同方法的價(jià)值和優(yōu)劣，是有遺憾的，甚至可以說是敗筆。

比較本題的多種解法不難發(fā)現(xiàn)，使用最多的方法（三角法）并非最優(yōu)的解法。之所以使用此法的人數(shù)最多，恰恰是思維定式使然：思路自然但缺少必要的對(duì)比、判斷與決策，自然造成相對(duì)煩瑣的運(yùn)算，解題效率也就較為低下。而8種平幾方法，多數(shù)舍近求遠(yuǎn)，運(yùn)算過程不簡(jiǎn)單，屬于“花拳繡腿”式的招數(shù)，好看不好用；真正簡(jiǎn)單自然、高效實(shí)用的方法就是最后的兩種往外延長(zhǎng)四邊形的一組對(duì)邊得到兩個(gè)直角三角形的解法，它們才是本題的最優(yōu)解法。但是，選用這兩種法的人數(shù)僅占2%。由此可見，解題方法優(yōu)化意識(shí)與能力的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中亟待加強(qiáng)。

三、 “一題優(yōu)解”的評(píng)判之難與推廣之利

毋庸置疑，一個(gè)問題“最優(yōu)化的解法”有時(shí)候并不能很清楚地評(píng)判出來——種種解法殊途同歸、各有千秋，切入點(diǎn)不同，見解也不一樣，難以評(píng)定孰優(yōu)孰劣，這就涉及“最優(yōu)化的解法”的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)問題。著名數(shù)學(xué)家厄爾迪什曾說過：上帝是一本書，好的解法全在那本書上。對(duì)此，單壿教授評(píng)述道：上帝自然是沒有的，那本書其實(shí)就是由我們以及其他人的優(yōu)雅解法組成的一本大書。［4］這些“優(yōu)雅解法”或許各自有不同的特點(diǎn)，但也必定會(huì)形成一些共性的東西。以下是評(píng)判解法優(yōu)劣的幾個(gè)主要標(biāo)準(zhǔn)：

（一） 簡(jiǎn)單自然

好的解法應(yīng)力求簡(jiǎn)單自然。最好單刀直入，直接剖析問題的核心，不兜圈子、繞彎子，能一招解決就絕不用兩招，盡量減少?gòu)U招。［5］不自然的解法，不僅難看，也很難想到。一種奇怪的現(xiàn)象是：解題研究推崇一些看上去很漂亮的解題技巧，將某些構(gòu)思巧妙、手法奇特的解法奉為圭臬。其實(shí)，這些解法可能只是少數(shù)人苦思冥想勾畫出來的個(gè)人“專利”，或者是解題者靈感閃現(xiàn)的產(chǎn)物，雖然有一定的創(chuàng)新性，但是難以復(fù)制；而且，大多數(shù)并不自然，鑲嵌著人為雕琢的痕跡。從學(xué)習(xí)者解題的效率來看，可以欣賞，但不應(yīng)當(dāng)自慚形穢，產(chǎn)生“技不如人”的自卑感。

例2 （2021年“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷第17題第2問）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an。若a1＝12，a2＝32，求{an}的通項(xiàng)公式。

解法一：因?yàn)閍n＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2-3an＋1＝-（an＋1-3an）。因?yàn)閍1＝12，a2＝32，所以a2-3a1＝0，從而an＋1-3an＝0，即an＋1＝3an。所以，{an}是以12為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。因此，{an}的通項(xiàng)公式為an＝3ｎ-12。

解法二：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an，所以其特征方程為x2＝2x＋3，解得x1＝-1，x2＝3，因此an＝A·（-1）n＋B·3n。又因?yàn)閍1＝12，a2＝32，所以-A+3B=12，A+9B=32，解得A=0，

B=16。因此，{an}的通項(xiàng)公式為an＝3ｎ-12。

有人認(rèn)為，上述兩種方法充分利用遞推關(guān)系an＋2＝2an＋1＋3an的特征，漂亮、優(yōu)越，簡(jiǎn)潔、有效。其實(shí)，解法一由an＋2＝2an＋1＋3an變換出an＋2-3an＋1＝-（an＋1-3an）談何容易，頗具技巧性和經(jīng)驗(yàn)性，并不能自然得出；解法二使用特征方程，背后又需具備多少課外拓展知識(shí)，對(duì)此不了解的學(xué)生只能望題興嘆。因而，這類所謂的“巧解妙招”不具有代表性和普遍性。

解法三：因?yàn)閍n＋2＝2an＋1＋3an，a1＝12，a2＝32，所以a3＝92……歸納猜測(cè)：an＝3ｎ-12。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：① 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝12＝31-12，成立；② 假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)，an＝3ｎ-12，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝2ak＋3ak-1＝2×3k-12＋3×3k-22＝3k＋1-12，即an=3n-12也成立。因此，an＝3ｎ-12。

這一方法著眼于從特殊到一般的歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，簡(jiǎn)單自然，很容易想到，也符合學(xué)生的思維習(xí)慣。有不同觀點(diǎn)認(rèn)為，這一方法沒有思維含量，“套路化”明顯，顯得“笨拙”。實(shí)際上，像解法一、解法二等技巧性太強(qiáng)的解題方法，可能只是少數(shù)人的妙解、奇想；對(duì)于大多數(shù)解題者而言，像解法三這樣簡(jiǎn)單自然的解題方法才應(yīng)該是被廣泛接受和推崇的。

（二） 效率為先

解題需要拓展思維，也需要講究效率。方法雖然可行，但效率低下，則不能稱為好方法。正所謂“條條大路通羅馬，高效趨直方為優(yōu)”，不追求效益的解法算不上好方法。尤其在各類考試中，一般都有時(shí)間限制，考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，題目不僅要做得對(duì)，還要做得快，講究解題的效率。

例3 （2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第18題第1問）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B。若C=2π3，求B。

本題最自然有效的解法應(yīng)該是，將等式cos A1+sin A=ｓｉｎ 2B1+ｃｏｓ 2B右邊關(guān)于2B的三角函數(shù)化為關(guān)于B的三角函數(shù)，這樣與等式左邊對(duì)應(yīng)起來，問題迎刃而解。具體如下：

解法一：由題設(shè)得ｃｏｓ A1+ｓｉｎ A＝2ｓｉｎ Bｃｏｓ B2ｃｏｓ2 B＝ｓｉｎ Bｃｏｓ B，于是cos Acos B=sin B+sin Bsin A，所以cos （A+B）=sin B。又因?yàn)锳+B+C=π，C=2π3，所以sin B=cos（π -C）=12，因此B=π6。

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生解答本題時(shí)，舍近求遠(yuǎn)，繞來繞去，將問題做“難”、做“繁”了。

解法二：由cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B，得cos A（1+cos 2B）=sin 2B（1+sin A），得cos Acos 2B-sin Asin 2B=sin 2B-cos A，從而ｃｏｓ（A+2B）＝ｓｉｎ 2B-ｃｏｓ A。又因?yàn)镃=2π3，所以A+B＝π3，即A＝π3-B，因此ｃｏｓπ3+B+cosπ3-B=sin 2B，從而cosπ3cos B-sin π3sin B+ｃｏｓπ3ｃｏｓ B+ｓｉｎπ3ｓｉｎ B＝ｓｉｎ 2B，所以ｃｏｓ B＝2ｓｉｎ B·ｃｏｓ Ｂ。又因?yàn)椋隆?，π3，所以sin B=12，B=π6。

該方法直接“交叉相乘”，將本來角的倍數(shù)關(guān)系的暗示條件“淹沒”在等式中，使得后續(xù)三角關(guān)系的尋找、等式的變換、角的替換等運(yùn)算要求增加不少，也使得解答的難度明顯上升，解題效率大大降低。

解法三：由二倍角公式知cos A1+sin A=cos2 A2-sin2 A2cos2 A2+sin2 A2+2sin A2cos A2，由“弦化切”得該式＝1-tan2 A21+tan2 A2+2tanA2=1-tanA21+tanA2=tanπ4-tan A21+tan π4tanA2=tanπ4-A2，sin 2B1+cos 2B=2 sin Bcos B2cos2 B=sin Bcos B=tan B。

由條件式得tan π4-A2=tan B。又因?yàn)镃=2π3，所以A+B=π3，因此A、B∈0，π3，進(jìn)而π4-A2∈π12，π4，所以π4-A2=B，從而B=π6。

該方法對(duì)等式兩邊分別使用二倍角公式，化成了tanπ4-A2與tan B兩個(gè)正切函數(shù)，應(yīng)當(dāng)說達(dá)到了目的，也能看出解題者的良苦用心，但是變換出tanπ4-A2的過程需要的信息量、運(yùn)算量實(shí)在太大，至少是解法一計(jì)算量的兩三倍。這樣粗淺“蠻干”的方法不應(yīng)鼓勵(lì)。

（三） 結(jié)構(gòu)完美

眾所周知，數(shù)學(xué)具有深邃的結(jié)構(gòu)美。諸如科赫曲線、希爾伯特曲線、248維晶體對(duì)稱結(jié)構(gòu)等，都給我們展示了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)魅力。在解題時(shí)注重呼應(yīng)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美，往往能使問題完美解決。愛因斯坦就是注重結(jié)構(gòu)思維的典型代表，其“相對(duì)論”理論體系正是得益于其一貫的完整、對(duì)稱的結(jié)構(gòu)思想方法。一些經(jīng)典的問題探求也體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)美的思想。例如勾股定理的證明、代數(shù)基本定理的證明、楊輝三角形的各種性質(zhì)等，都很好地體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的認(rèn)識(shí)與欣賞。注重從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的特點(diǎn)切入，構(gòu)思出的解法往往能提升解題者對(duì)數(shù)學(xué)的理解與感悟能力。

如對(duì)前述例3，如果注意到條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用“同構(gòu)函數(shù)”思想，則可得到下述解法：

解法四：由cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B，可得sinπ2-A1+cosπ2-A=sin 2B1+cos 2B。令f（t）=sin t1+cos t，ｔ∈（0，π），則fπ2-A=f（2B）。而f（t）=2 sin t2cost22cos2t2=tant2，在（0，π）上單調(diào)遞增。又因?yàn)镃=2π3，所以A+B=π3，因此A、B∈0，π3，進(jìn)而π2-A2∈π6，π2，2B∈0，2π3，從而π2-A=2B，所以B=π2-（A+B）=π6。

該方法利用“同構(gòu)函數(shù)”的思路，有一定的靈活性和創(chuàng)新性，也能看出解題者利用所學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí)與能力，是比較智慧的一種解法。

數(shù)學(xué)中的基本結(jié)構(gòu)類似那種成批制造產(chǎn)品的機(jī)器，短時(shí)間內(nèi)能夠制造出許多件，并且每一件都造得相當(dāng)完美。數(shù)學(xué)解題也是這樣：充分把握并利用某類數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，往往能獲得漂亮、有效的解題方法。

例4 因式分解：

（1） （x+y+z）3-x3-y3-z3；

（2） （a+b）5-a5-b5；

（3） （x-y）5+（y-z）5+（z-x）5；

（4） （2x+3y）3+（3x+2y）3-125（x+y）3。

如果不注意觀察各式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不充分利用結(jié)構(gòu)美的思想尋找解題方法，而一味地展開、組合、分解，則會(huì)使解題過程煩不勝煩。如果注意到每個(gè)式子的結(jié)構(gòu)美以及其元素的對(duì)稱性，就可直接發(fā)現(xiàn)各自的因式，簡(jiǎn)潔、完美地使問題得解。

具體來說，（1）的因式有x+y、y+z、z+x，（2）的因式有a、b、a+b、a2+b2+ab，（3）的因式有x-y、y-z、z-x、x2+y2+z2-xy-yz-zx，（4）的因式有2x+3y、3x+2y、x+y。由此，只需再依據(jù)式子的恒等性，利用“特殊值法”，即可確定分解因式后的系數(shù)，從而完成因式分解。

應(yīng)當(dāng)說，利用題目本身所具備的結(jié)構(gòu)美構(gòu)思解法，在數(shù)學(xué)解題中比比皆是，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)解題的一種基本思想，也是判斷解法是否優(yōu)越、尋求“最優(yōu)解”的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。

當(dāng)然，判斷一道題目的解法是否最優(yōu)化確實(shí)有相當(dāng)?shù)碾y度，以上幾種方法僅提供了一些觀察視角。題目千差萬別，解法也琳瑯滿目，還應(yīng)該根據(jù)具體情境，結(jié)合實(shí)際情況綜合判斷，選擇最優(yōu)化的解法。

總之，從“一題多解”走向“一題優(yōu)解”，應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的境界追求。盡管對(duì)某個(gè)問題探尋出多種解法已非易事，評(píng)判、甄選出其中的“最優(yōu)解”自然更加困難，但是具備了這樣一種意識(shí)，在持續(xù)不斷的探索嘗試中，學(xué)生的“一題優(yōu)解”能力必將不斷提高。

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