例談促進(jìn)高中生深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略

【摘要】本文基于課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)學(xué)科核心素養(yǎng)的論述，探索深度學(xué)習(xí)與培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，結(jié)合教學(xué)實(shí)例論述在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的策略，提出解決實(shí)際問題、設(shè)置挑戰(zhàn)性任務(wù)、用好數(shù)學(xué)史實(shí)以及展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美等教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí) 核心素養(yǎng) 高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）17-0063-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理念，指出高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。深度學(xué)習(xí)是指在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞有意義的學(xué)習(xí)主題，全身心投入，開展形成深度理解、發(fā)展批判思維和培養(yǎng)創(chuàng)新精神的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?？梢姡瑪?shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生思維的橋梁，是一種指向能力和素養(yǎng)的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不僅意味著掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還意味著形成數(shù)學(xué)思維、感悟數(shù)學(xué)文化、感知數(shù)學(xué)之美和提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。由于深度學(xué)習(xí)追求的是學(xué)生思維的深度和廣度，所以深度學(xué)習(xí)有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。本文在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視域下以案例形式呈現(xiàn)促進(jìn)高中生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略。

一、解決實(shí)際問題，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用

《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，數(shù)學(xué)直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展。《課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程結(jié)構(gòu)中專門編排了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及與其他學(xué)科的聯(lián)系，以期提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。然而，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)大多比較注重解題教學(xué)，忽視數(shù)學(xué)的應(yīng)用。根據(jù)布魯姆分類理論，淺層學(xué)習(xí)的認(rèn)知水平體現(xiàn)在識(shí)記和理解層次，是對(duì)知識(shí)的機(jī)械記憶或復(fù)制，深度學(xué)習(xí)的認(rèn)知水平體現(xiàn)在應(yīng)用、分析、綜合和評(píng)價(jià)層次；機(jī)械化的解題訓(xùn)練忽視了數(shù)學(xué)應(yīng)用，讓學(xué)生缺失深度學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。因此，教師在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中可以以實(shí)際問題導(dǎo)入，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于實(shí)際并運(yùn)用于實(shí)際，通過提供一些數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的案例，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)，從而進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

例如，在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中教師提出問題：如何測(cè)量一端在高層、另一端在底層控制室內(nèi)的三根導(dǎo)線（如圖1所示）的電阻？解決該問題的難點(diǎn)在于，使用電阻表測(cè)量導(dǎo)線的電阻需要將儀器并聯(lián)在電阻兩端，而導(dǎo)線一端在樓底一端在樓頂，顯然這種方式不方便測(cè)量。學(xué)生自行探究后，教師首先肯定學(xué)生的做法，然后引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建三元一次方程組模型來解決這個(gè)問題：設(shè)這三根導(dǎo)線的電阻分為x、y、z，適當(dāng)串聯(lián)其中的兩根導(dǎo)線，則可在底層或者高層用電阻表測(cè)得x+y、y+z、z+x的值，解方程組即得三根導(dǎo)線的電阻。通過建立一個(gè)簡(jiǎn)單的三元一次方程組就能解決現(xiàn)實(shí)中的難題，想必學(xué)生經(jīng)歷這一過程后會(huì)嘆服數(shù)學(xué)應(yīng)用之妙。

在日常教學(xué)中，教師宜選用能反映或解決實(shí)際問題的試題，讓學(xué)生在真實(shí)的問題情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)。例如，在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，教師選用以下試題能夠幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，發(fā)展數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物。血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患病。下面是兩種化驗(yàn)方法。

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止。

方案乙：先任取3只動(dòng)物，將它們的血液混在一起化驗(yàn)。若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)。

（Ⅰ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望。

因?yàn)樗袑W(xué)生都曾經(jīng)歷過新冠病毒采樣檢測(cè)，或單檢或混檢，不同的檢測(cè)方式效率不同，所以這個(gè)問題能夠引起學(xué)生的興趣。教學(xué)中教師通過引導(dǎo)學(xué)生思考：哪種方式能夠更快（即化驗(yàn)次數(shù)少）地找到患病動(dòng)物？更快地找到患病動(dòng)物有助于減少成本，而決策錯(cuò)誤則意味著成本增加。學(xué)生解決這個(gè)問題的過程有助于他們體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，即數(shù)學(xué)有助于我們做出正確的決策，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，逐漸形成用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的意識(shí)，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力。因此，在數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)視域下，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)應(yīng)在教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題。

二、布置挑戰(zhàn)性任務(wù)，提升思維能力

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該利用數(shù)學(xué)自身的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中布置挑戰(zhàn)性任務(wù)有助于激發(fā)學(xué)生的探究興趣，激活學(xué)生的思維，提高學(xué)生的參與度，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力。數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決都離不開思考，都是對(duì)學(xué)生思維能力的挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的核心內(nèi)容。學(xué)生畢業(yè)后很容易忘掉具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想等隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使學(xué)生受益終生。也就是說，數(shù)學(xué)不僅是知識(shí)，還是一種思考方式、一種理性精神。深度學(xué)習(xí)發(fā)生的前提是學(xué)生要面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的問題，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)意味著學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想思考和解決問題，形成理性精神。

在課堂上，學(xué)生的思維是圍繞教師所提出的數(shù)學(xué)問題發(fā)散的，問題的深度決定學(xué)生思維的深度。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求教師向?qū)W生提供有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生思考，提升其思維能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思考。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求促進(jìn)學(xué)生思考，提升學(xué)生的思維能力。教師應(yīng)該營造和諧的思考氛圍，給足學(xué)生思考的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生在觀察比較、質(zhì)疑問難、回顧反思中積極地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生成為敢于思考、勤于思考、善于思考、熱愛思考的人，提升他們的邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng)。

三、用好數(shù)學(xué)史實(shí)，豐富文化體驗(yàn)

借鑒數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，能夠豐富和拓展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)，將對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到促進(jìn)作用。高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中合理融入數(shù)學(xué)史，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和定理的來龍去脈，促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、掌握數(shù)學(xué)方法，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)史既有作為數(shù)學(xué)科學(xué)自身發(fā)展歷史的史學(xué)內(nèi)涵，又包含數(shù)學(xué)科學(xué)在自身推進(jìn)過程中對(duì)人類文明所帶來的影響的文化內(nèi)涵?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育對(duì)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)、改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)等具有重要作用。

然而，當(dāng)前多數(shù)教師并沒有注意到數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，缺少在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的實(shí)踐。沒有文化體驗(yàn)的學(xué)習(xí)只是停留在表面的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)需要重視數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

例如，教師在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中引入七橋問題供學(xué)生探索：在哥尼斯堡（現(xiàn)俄羅斯加里寧格勒），有七座橋?qū)⒑又袃蓚€(gè)島以及島與河岸連接起來，是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點(diǎn)？

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，將問題抽象為點(diǎn)線問題（如圖2所示），這樣一來，問題就轉(zhuǎn)化為能否從A點(diǎn)出發(fā)不走重復(fù)路線回到A點(diǎn)。教師啟發(fā)學(xué)生理解能夠“一筆畫”的圖形的點(diǎn)及連線數(shù)量的關(guān)系，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)能夠“一筆畫”的封閉圖形中所有的點(diǎn)都是偶點(diǎn)（有偶數(shù)條線與之相連的點(diǎn)稱為偶點(diǎn)，起點(diǎn)有出有回，其他點(diǎn)有進(jìn)有出）；能夠“一筆畫”的非封閉圖形則只有起點(diǎn)和終點(diǎn)，該圖形中的所有點(diǎn)是奇點(diǎn)（有奇數(shù)條線與之相連的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，起點(diǎn)只出不回，終點(diǎn)只進(jìn)不出）。而七橋問題中的封閉圖形的四個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，故不可能“一筆畫”，即不可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點(diǎn)。七橋問題是引發(fā)數(shù)學(xué)新分支——幾何拓?fù)鋵W(xué)的著名問題之一，將其融入教學(xué)不僅有利于學(xué)生了解和感受數(shù)學(xué)文化，也有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的重要價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

又如，教師基于落實(shí)核心素養(yǎng)的要求，以數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的視角導(dǎo)入對(duì)數(shù)這一課題。教師介紹蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)的動(dòng)機(jī)和過程，深度激發(fā)學(xué)生探究的欲望，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中，經(jīng)歷納皮爾發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的思維過程。學(xué)生了解對(duì)數(shù)背后的數(shù)學(xué)文化，有助于他們深度理解對(duì)數(shù)的概念，達(dá)成數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

法國偉大的數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊曾說：“如果我們想要預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)的未來，那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀?！苯柚鷶?shù)學(xué)史展示知識(shí)形成和發(fā)展的過程，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)情感態(tài)度，使學(xué)生汲取數(shù)學(xué)思想養(yǎng)料，理解數(shù)學(xué)概念和思想方法的發(fā)展過程。在提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程中，數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化是助推劑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中用好數(shù)學(xué)史實(shí)，遵循科學(xué)性、實(shí)用性、趣味性和廣泛性原則，對(duì)發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能、落實(shí)立德樹人根本任務(wù)具有重要意義。

四、展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，提高審美素養(yǎng)

數(shù)學(xué)不僅為生產(chǎn)、生活服務(wù)，還處處閃耀著美的光輝。數(shù)學(xué)美包含數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、和諧、對(duì)稱、統(tǒng)一和奇異。數(shù)學(xué)美是一種深層次的、本質(zhì)的美，是一種理性的體驗(yàn)，但卻常常被忽視。深層感受數(shù)學(xué)美的兩個(gè)重要途徑是：在潛心思考后所獲的靈感與頓悟中感受數(shù)學(xué)美、在超越自然后所獲的自由與統(tǒng)一中感受數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)伴隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的感知和體驗(yàn)。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度看，數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)深層次目標(biāo)，就應(yīng)該遵循感受心理過程的規(guī)律，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的感受或體驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)之美，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義。充分挖掘蘊(yùn)含在知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中的數(shù)學(xué)美，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)美認(rèn)知活動(dòng)，能激起學(xué)生對(duì)美的追求，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙指出，數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)教育有美觀、美好、美妙和完美四個(gè)層次。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過展示數(shù)學(xué)的和諧美激發(fā)學(xué)生的求知欲、通過探究數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想以及通過感知抽象美啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維等方式，將數(shù)學(xué)美滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中。

數(shù)學(xué)美存在于社會(huì)生活的方方面面，數(shù)學(xué)的抽象美是人類智慧的體現(xiàn)。在教學(xué)中，通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)美認(rèn)知活動(dòng)，可使學(xué)生受到美的熏陶，產(chǎn)生觀賞美的愉悅，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解必然包含著對(duì)數(shù)學(xué)美的感悟，提升學(xué)生的審美素養(yǎng)是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的必然要求。教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，利用數(shù)學(xué)美來陶冶學(xué)生的情操，啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在美的感知與體驗(yàn)中獲得深刻的領(lǐng)悟，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等核心素養(yǎng)。

學(xué)習(xí)要有深度，才能實(shí)現(xiàn)從“學(xué)”到“用”、從“用”到“悟”的轉(zhuǎn)變，才能使知識(shí)內(nèi)容真正為己所用，進(jìn)而升華思維、打開格局。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)意味著在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)形成數(shù)學(xué)思維、感悟數(shù)學(xué)文化、感知數(shù)學(xué)之美和提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)教師需要樹立終身學(xué)習(xí)的理念，提高研究意識(shí)，不斷鉆研，研究《課程標(biāo)準(zhǔn)》、新教材、新教法和新技術(shù)，努力成為研究型教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，用好數(shù)學(xué)史實(shí)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想思考和解決問題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

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注：本文系廣西教育科學(xué)規(guī)劃2021年度課題“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展下的高中生深度學(xué)習(xí)策略研究”（2021C735）的研究成果。

作者簡(jiǎn)介：關(guān)劍鋒（1974— ），高級(jí)教師，桂林市學(xué)科帶頭人，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)教育。

（責(zé)編 劉小瑗）