談理解教材與理解學(xué)生

白雪峰

北京市特級教師，現(xiàn)任北京教育學(xué)院朝陽分院副院長。曾獲全國百名優(yōu)秀班主任之星、北京市優(yōu)秀教師等榮譽(yù)稱號，全國中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比一等獎，主編《教師教學(xué)基本能力解讀與訓(xùn)練（中學(xué)數(shù)學(xué)）》等多部教師培訓(xùn)教材，參與編寫《新課程三維目標(biāo)操作叢書初中（數(shù)學(xué)分冊）》等論著十余部，在《數(shù)學(xué)通報》《中小學(xué)教師培訓(xùn)》等刊物發(fā)表論文近50篇。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011版）》）認(rèn)為：數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用[1]。數(shù)學(xué)概念作為理性思維的基本形式，既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提。因此，概念教學(xué)到底怎樣才能讓學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問題，始終是一個值得思考和研究的問題。下面就以《二元一次方程組（1）》的教學(xué)為例與同行分享筆者的粗淺思考。

一、案例回放

1.教學(xué)回顧

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

首先，教師用PPT展示了幾張姚明打籃球的照片，并播放了一段籃球比賽的視頻，然后呈現(xiàn)實(shí)際問題：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場得2分，負(fù)一場得1分。某隊(duì)在10場比賽中得到16分，那么這個隊(duì)勝負(fù)場數(shù)分別是

多少[2]？

進(jìn)而提出問題：你會用你學(xué)過的一元一次方程解決這個問題嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)、列方程，利用一元一次方程的知識得出結(jié)果，并用PPT展示此解法的關(guān)鍵步驟，又提出問題：如果設(shè)兩個變量，即設(shè)勝的場數(shù)是x，負(fù)的場數(shù)是y，你能用方程把這些條件表示出來嗎？學(xué)生很快列出方程，得出如下

結(jié)論：

解：設(shè)勝的場數(shù)是x，負(fù)的場數(shù)是y，則兩個條件可以用方程

x+y=10和2x+y=16表示。

于是，教師說“這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容”，同時板書課題。

環(huán)節(jié)2：出示定義，分層練習(xí)

教師利用PPT出示二元一次方程的定義，進(jìn)而引出二元一次方程組的定義，并利用表格從特殊到一般得出二元一次方程組的解的定義。接著是練習(xí)，最后教師總結(jié)，布置作業(yè)。

2.學(xué)生反饋

應(yīng)該說，教師教學(xué)邏輯清晰，整節(jié)課講得很順利，該完成的教學(xué)任務(wù)也都完

成了。

課間休息，筆者詢問了幾個學(xué)生：“這節(jié)課，你學(xué)會了嗎？”學(xué)生們都不假思索地說：“會了?！庇谑牵矣謫枺骸澳隳苷f說二元一次方程組的概念嗎？或者舉個例子說說?！庇械膶W(xué)生靦腆地笑了，閉口不答；有點(diǎn)則不好意思地說“忘記了”；還有個學(xué)生在一旁補(bǔ)充道：“晚上回去背背就會了?！?/p>

走出教室，筆者內(nèi)心一直不能平靜。本該是一節(jié)充滿思維樂趣和認(rèn)知挑戰(zhàn)的課，遺憾的是整節(jié)課卻沒有聽出促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的“數(shù)學(xué)味”來！

二、問題反思

事實(shí)上，從上面的教學(xué)回顧我們可以發(fā)現(xiàn)兩個問題：

1.理解教材的問題

我們知道，教師處理教材的過程其實(shí)是一個進(jìn)行創(chuàng)造性工作的過程，其創(chuàng)造性主要體現(xiàn)在對教材高屋建瓴的理解和把握，即教師要發(fā)現(xiàn)學(xué)科教材內(nèi)部知識之間的縱向與橫向聯(lián)系，及其結(jié)構(gòu)化或結(jié)構(gòu)化的特征。在教學(xué)過程中，教師要將這種聯(lián)系和結(jié)構(gòu)特征揭示或提取出來，通過優(yōu)質(zhì)的問題、有效的提問和多樣的活動促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感悟這種內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構(gòu)特征。

上述教學(xué)案例在理解教材內(nèi)容方面僅僅做到了理解教材的基本內(nèi)容，而缺少利用聯(lián)系的觀點(diǎn)和整體把握的視角研究

教材。

2.理解學(xué)生的問題

筆者認(rèn)為：上述教學(xué)案例利用籃球比賽視頻、明星照片以及與之相關(guān)的實(shí)際問題引出新知學(xué)習(xí)，這種情境化的處理方式拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，教學(xué)具有一定的親和力，確能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。但是作為教師還需要思考：難道激發(fā)學(xué)生持久的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機(jī)，讓他們真切感受數(shù)學(xué)的價值和魅力，僅僅是幾張照片和一兩段視頻就能夠達(dá)到的嗎？

理解學(xué)生，需要全面認(rèn)識學(xué)生的年齡特點(diǎn)、心理特征、學(xué)習(xí)習(xí)慣等內(nèi)容，切實(shí)把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維發(fā)展目標(biāo)，善于發(fā)現(xiàn)教材內(nèi)容在學(xué)生和諧發(fā)展中的教育價值，并將其與學(xué)生的生活學(xué)習(xí)實(shí)際有機(jī)融合起來，使學(xué)生在深入理解教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)、深刻感悟數(shù)學(xué)思想方法和深度體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維樂趣的過程中，自然生發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的持久的興趣與持續(xù)的動機(jī)。

三、教學(xué)建議

“理解數(shù)學(xué)”的第一要義是研讀教材，準(zhǔn)確深刻理解教材內(nèi)容，包括：要了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景；知道概念的邏輯意義；理解教學(xué)內(nèi)容所反映的思想方法；懂得知識發(fā)生發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源；能夠區(qū)分核心知識和非核心知識等[3]。據(jù)此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課的“數(shù)學(xué)味”源于教師在以下兩個方面研究思考的深度：

1.基于知識邏輯體系建構(gòu)解讀教材—正確理解教材內(nèi)容

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，要想達(dá)到全面而深刻理解教材內(nèi)容，就需要教師善于運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)在一個結(jié)構(gòu)體系框架內(nèi)解讀教材，善于運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法作為學(xué)科支撐，使這一完整的學(xué)習(xí)過程在具有統(tǒng)攝意義的數(shù)學(xué)思想和教學(xué)觀念下有效推進(jìn)。

一般來說，數(shù)學(xué)概念是對一類事物共同屬性或共同特征的反映或表達(dá)。因此，學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)概念的過程中，教師需要提供盡可能豐富且適量的實(shí)例，以利于學(xué)生基于實(shí)例提煉概括它們共同和本質(zhì)的特征，最終抽象出數(shù)學(xué)概念，進(jìn)行數(shù)學(xué)化地表達(dá)，并通過正例和反例進(jìn)行概念辨析，使學(xué)生全面理解概念的內(nèi)涵和外延，深刻理解概念本質(zhì)和數(shù)學(xué)表達(dá)，最終學(xué)會利用抽象的數(shù)學(xué)概念來解決問題。然而，并不是所有的數(shù)學(xué)概念都需要上述教學(xué)過程，因?yàn)?，?shù)學(xué)概念是有層次的。對于不同層次的概念，教師應(yīng)該選擇不同的教學(xué)方式和策略。

“二元一次方程組”是七年級下冊的重點(diǎn)內(nèi)容之一，根據(jù)《課標(biāo)（2011版）》概括本章核心的教學(xué)目標(biāo)如下：基于含有多個未知數(shù)的實(shí)際問題，經(jīng)歷“分析問題數(shù)量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列方程組、解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過程，基于二元一次方程組及其相關(guān)概念，能設(shè)兩個未知數(shù)、列方程組表示實(shí)際問題中兩種數(shù)量關(guān)系，掌握二元一次方程組的兩種解法，能根據(jù)二元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)解法，從中體會方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有多個未知數(shù)的問題的數(shù)學(xué)模型，體會消元的思想和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高分析和解決問題的能力[4]。

其中，二元一次方程組的“上位概念”是二元一次方程，與二元一次方程地位相同的“相關(guān)概念”是一元一次方程，而一元一次方程的“上位概念”則是方程。因此，方程、一元一次方程既是學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，也是新知學(xué)習(xí)的生長起點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)了二元一次方程組后，還要繼續(xù)學(xué)習(xí)新的方程和方程組，甚至是不等式和不等式組等，學(xué)生要從中感悟二元一次方程（組）與一次函數(shù)、直線等相關(guān)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟方程（組）與不等式（組）之間的內(nèi)在聯(lián)系，這些都是學(xué)生關(guān)于方程（組）問題學(xué)習(xí)的思維和能力的發(fā)展方向。

綜上所述：二元一次方程（組）的學(xué)習(xí)過程具有承上啟下的橋梁作用，是貫通方程（組）、函數(shù)、不等式（組）的重要紐帶。二元一次方程（組）的及其相關(guān)概念應(yīng)該成為教學(xué)的重中之重，也應(yīng)該是第一課時教學(xué)的重難點(diǎn)。在上述知識完整的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)將得到不同程度的發(fā)展，他們對“元”的認(rèn)識將得到進(jìn)一步深化，對方程思想、化歸思想的感悟也會逐漸得到強(qiáng)化。所以，支撐本單元知識的數(shù)學(xué)思想方法可以包括“元”的思想、方程的思想、化歸的思想以及類比學(xué)習(xí)方

法等。

因此，教師若只把主要精力放在為學(xué)生提供學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)素材的“精美”處理上，而忽略了挖掘現(xiàn)實(shí)情境背后的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，就會淺化和窄化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在教學(xué)過程中，為避免出現(xiàn)上述問題，需要教師既關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又關(guān)注學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的知識和能力需要，把握知識之間的縱向與橫向聯(lián)系，在一個邏輯體系內(nèi)理解教材內(nèi)容，適時適當(dāng)運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，使這一完整的學(xué)習(xí)過程變得具有思想根基和觀念支撐。

基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該聚焦在二元一次方程組及其相關(guān)概念的理解上，核心的思想方法應(yīng)落腳在“元”的思想和化歸思想方法的滲透上，一以貫之的學(xué)習(xí)方法則是類比遷移的學(xué)習(xí)方法。為此，教師要在促進(jìn)學(xué)生深刻理解二元一次方程組及其相關(guān)概念上設(shè)置問題，要對為什么可以類比以及如何類比開展學(xué)習(xí)上設(shè)置問題，以期促進(jìn)學(xué)生自覺利用類比學(xué)習(xí)的方法，自主開展探究學(xué)習(xí)，使核心的數(shù)學(xué)思想得到深化，解決問題的方法得到遷移，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力得以提升。

2.基于學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題—有效激活學(xué)生思維

學(xué)生的思維活動構(gòu)成“思維鏈”，它的產(chǎn)生、發(fā)展與完善，對于學(xué)生能否變被動接受學(xué)習(xí)為主動探究學(xué)習(xí)，往往起著決定性作用。因此，有吸引力的課堂一定是建立在對學(xué)生全面實(shí)證分析的基礎(chǔ)之上的，或者說全面準(zhǔn)確的理解學(xué)生是教師進(jìn)行有效教學(xué)的基礎(chǔ)，是促進(jìn)學(xué)生思維“實(shí)質(zhì)參與”課堂教學(xué)、實(shí)現(xiàn)高效課堂的

關(guān)鍵。

比如，在引入本課伊始，教師可以設(shè)計(jì)下面的問題鏈：

問題1：我們已經(jīng)知道了方程的定義，學(xué)習(xí)了最基本的一類方程，即一元一次方程，你能舉出幾個例子，并說說它的定

義嗎？（學(xué)生回答問題后，教師可以繼續(xù)

發(fā)問。）

問題2：哪位同學(xué)能舉例說說你對一元一次方程概念中“元”和“次”含義的理解？（教師可結(jié)合數(shù)學(xué)史料豐富學(xué)生對“元”的認(rèn)知。）

問題3：類比一元一次方程這個概念，你認(rèn)為我們還有可能學(xué)習(xí)哪些方程？（教師適時引導(dǎo)學(xué)生集中思考二元一次方程的概念，指導(dǎo)他們用自己的語言表達(dá)交流。）

說明 上面三個問題基于學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)內(nèi)部引發(fā)問題，由易到難，逐層深入，構(gòu)成一個系統(tǒng)。特別是問題3，具有一定的開放性，可使學(xué)生的思維一下子被激活。他們可能會無所顧忌地說出很多方程，甚至是n元n次方程……這組問題不僅可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的邏輯必然性的認(rèn)識，并且能給他們在思考問題時以類比的對象，有利于學(xué)生概括出二元一次方程的抽象定義，從而降低學(xué)習(xí)難度，加深他們對“元”和“次”的理解，為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)奠定發(fā)展基礎(chǔ)。

基于上述學(xué)習(xí)過程，教師再給出實(shí)際問題：

問題4：請你解決如下實(shí)際問題（詳見[2]）。（教師也可以給出其他經(jīng)典問題，如雞兔同籠問題等。）

說明 初中階段，學(xué)習(xí)任何方程，首先要強(qiáng)調(diào)的都應(yīng)是“解決實(shí)際問題”。所以，在“數(shù)學(xué)內(nèi)部”提出問題后，教師再提出一個與學(xué)生生活聯(lián)系緊密的實(shí)際問題或經(jīng)典問題，引導(dǎo)學(xué)生利用一元一次方程和二元一次方程（組）的知識將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這樣就把“理解數(shù)學(xué)（教材）”與“理解學(xué)生”對接起來，實(shí)際上也把“數(shù)學(xué)有用”真正體現(xiàn)在學(xué)習(xí)過程中；學(xué)生通過解決具體問題，發(fā)現(xiàn)自己的想法“果然有用”，其學(xué)習(xí)興趣也就“自然而然”被激發(fā)了。

在問題解決后，教師進(jìn)一步提出如下問題：

問題5：回顧上述兩種解決問題的方法，你認(rèn)為蘊(yùn)含其中的主要數(shù)學(xué)思想方法是什么？

問題6：根據(jù)以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為學(xué)習(xí)研究“二元一次方程組”的基本路徑是什么？可以利用怎樣的方法開展這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)？

說明 教師利用上述三個問題水到渠成地引出了對二元一次方程（組）及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)和研究，有利于增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間內(nèi)在聯(lián)系的感性認(rèn)識。同時，問題5和問題6直接指向?qū)W科思想滲透和學(xué)習(xí)方法遷移，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力?？梢哉f，研究解決上述問題的過程中，教師啟發(fā)式講授的“邏輯鏈”與學(xué)生自主式學(xué)習(xí)活動的“思維鏈”之間達(dá)到了相互催生牽引、和諧發(fā)展的境界，可謂“一箭雙雕”。

教材是教師對學(xué)生實(shí)施教學(xué)的重要依據(jù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)成效和能力發(fā)展取決于教師對教材的理解深度和把握程度。教學(xué)，簡單地說就是“教師教與學(xué)生學(xué)”，是一個雙邊思維互動的過程。所以缺少了對學(xué)生的理解，教師對教材的理解就變成了“片面地”內(nèi)容理解。因此，教師要將理解教材（數(shù)學(xué)）與理解學(xué)生緊密結(jié)合起來，使之在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中相輔相成發(fā)揮指導(dǎo)作用，以構(gòu)建促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的生態(tài)課堂。

章建躍博士認(rèn)為：“發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)”與“思維的教學(xué)”沒有本質(zhì)區(qū)別，把數(shù)學(xué)教好是落實(shí)核心素養(yǎng)的前提！關(guān)鍵是要“示以學(xué)生思維之道”，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“獲得對象—研究性質(zhì)—應(yīng)用拓展”的全過程，使學(xué)生學(xué)會思考，能用數(shù)學(xué)的方式認(rèn)識問題和解決問題[5]。對此，我深以為然。核心素養(yǎng)時代，教師應(yīng)努力提高教學(xué)品位，徹底摒棄“一個定義，三項(xiàng)注意，幾個例題，大量練習(xí)”應(yīng)試模式[6]。中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要著眼于數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生思維品質(zhì)的養(yǎng)成以及理性思維與科學(xué)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生自然生動和積極主動地開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這既是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這一終極目標(biāo)的要求，也是教師開展教材和學(xué)情研究的目的所在。

參考文獻(xiàn)：

[1][4]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教教科書（數(shù)學(xué)），七年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]章建躍.有效改進(jìn)課堂教學(xué)—暨第四屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動綜述[J].數(shù)學(xué)通報，2008（12）：1-6.

[5]章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（3）.

[6]章建躍.再談學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（4）.

責(zé)任編輯：肖佳曉

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