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    只能“平行于x軸”嗎?

    2023-08-11 13:54:58張培強(qiáng)
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2023年3期
    關(guān)鍵詞:切點(diǎn)過點(diǎn)雙曲線

    1 問題呈現(xiàn)

    題目 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸、y軸,且過A(0,-2),B(32,-1)兩點(diǎn).

    (1)求E的方程;

    (2)設(shè)過點(diǎn)P(1,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn),過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足MT=TH.證明:直線HN過定點(diǎn).

    本題是2022年高考全國乙卷理科的第20題,也是文科的第21題(以下簡稱考題).用待定系數(shù)法易得E的方程為x23+y24=1,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.第(2)問研究動(dòng)直線過定點(diǎn)問題,是解析幾何中的熱點(diǎn)問題,常考常新.

    2 解法探究

    命題4 如圖7,已知P為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點(diǎn),過點(diǎn)P作橢圓C的切線,切點(diǎn)分別為Q,R,過點(diǎn)P的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),過M且平行于PR(PQ)的直線與線段RN(QN)交于點(diǎn)H,則線段MH的中點(diǎn)T在直線RQ上.

    (證明留給讀者自行完成)

    通過以上的探究,可見考題是“命題2+命題4”下的特殊狀態(tài):點(diǎn)A與切點(diǎn)R重合于橢圓的下頂點(diǎn),切線PA與x軸平行.而在一般的狀態(tài)下,切線PR與x軸不平行,平行線的不同作法,會造就不一樣的動(dòng)點(diǎn)T在定直線上和動(dòng)直線NH過定點(diǎn),更顯解析幾何“動(dòng)中取靜”的精彩.

    圓錐曲線的魅力就在于一個(gè)結(jié)論的精彩往往不只在一條曲線中綻放.在雙曲線、拋物線中同樣可探得如下的結(jié)論:

    命題5 已知A為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),過點(diǎn)A的三條直線分別交雙曲線C于M,B,N三點(diǎn)(均異于點(diǎn)A),滿足1kAM+1kAN=2kAB.過M且平行于x軸的直線與直線AN交于點(diǎn)H,則線段MH的中點(diǎn)T在直線AB上.

    命題6 已知P為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外一點(diǎn),過點(diǎn)P作雙曲線C的切線,切點(diǎn)分別為Q,R,過點(diǎn)P的直線交雙曲線C于M,N兩點(diǎn),過M且平行于PR(PQ)的直線與直線RN(QN)交于點(diǎn)H,則線段MH的中點(diǎn)T在直線RQ上.

    命題7 已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),過點(diǎn)A的三條直線分別交拋物線C于M,B,N三點(diǎn)(均異于點(diǎn)A),滿足1kAM+1kAN=2kAB.過M且平行于x軸的直線與直線AN交于點(diǎn)H,則線段MH的中點(diǎn)T在直線AB上.

    命題8 已知P為拋物線C:y2=2px(p>0)外一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的切線,切點(diǎn)分別為Q,R,過點(diǎn)P的直線交拋物線C于M,N兩點(diǎn),過M且平行于PR(PQ)的直線與直線RN(QN)交于點(diǎn)H,則線段MH的中點(diǎn)T在直線RQ上.

    參考文獻(xiàn)

    [1] 張培強(qiáng).對一道解析幾何聯(lián)考試題的拓展探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(上半月),2022(5):32-35.

    [2] 張培強(qiáng).九層之臺 起于累土——對一道解析幾何題的賞析[J].中國數(shù)學(xué)教育(高中版),2021(5):50-53.

    [3] 張培強(qiáng).幾何畫板助力橢圓中的蝴蝶翻飛——對橢圓中“斜率定商”的探索[J].?dāng)?shù)學(xué)之友,2017(12):80-84.

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