一道2022年山東省預(yù)賽試題的探究

盛龍

題目 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.證明：存在圓心在原點(diǎn)的定圓，使該圓上任意一點(diǎn)的切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OA·OB=0.（2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽第12題）

試題設(shè)計(jì)平凡、樸實(shí)、常規(guī)，是學(xué)生最熟悉的題型，入手比較容易且解題的思路很多.考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，檢驗(yàn)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是一道有探究性的好題.

參考答案：（1）x26+y23=1；（2）32.

設(shè)計(jì)思路：題3的進(jìn)一步深化，S△PMN=2S△OPN，性質(zhì)3的特殊化.

基于以上對(duì)3到題目的設(shè)計(jì)，解析幾何試題考查學(xué)生用解析幾何方法解決解析幾何問(wèn)題的能力，使學(xué)生體會(huì)到對(duì)于幾何問(wèn)題，“解析化”的途徑必須進(jìn)行認(rèn)真的研究探索和選擇，同時(shí)強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的準(zhǔn)確性對(duì)于解析幾何是十分必要的.