例談新課程背景下RMI原則的教育價(jià)值

戴鍇寧 陳碧芬

【摘 要】 ??“關(guān)系映射反演原則”（簡(jiǎn)稱(chēng)RMI原則）是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其實(shí)質(zhì)是“矛盾轉(zhuǎn)移法”.在新課程背景下，對(duì)RMI原則進(jìn)行教育價(jià)值的重新挖掘，發(fā)現(xiàn)在應(yīng)用RMI原則的過(guò)程中可以培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的眼光、辯證思維能力和創(chuàng)造性思維品質(zhì)，潛移默化地落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，并用例子解析如何實(shí)現(xiàn)這些教育價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】 ?新課程；RMI原則；教育價(jià)值；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

1 ??問(wèn)題提出

新課程背景下，教育聚焦于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).教育要為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，使學(xué)生終身受益.數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展[1].數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的教學(xué)不僅關(guān)注具體數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，還關(guān)注滲透數(shù)學(xué)思想方法以幫助學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”.而數(shù)學(xué)的思維方式承載了獨(dú)特的數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值，是可教、可學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).因此，可立足“數(shù)學(xué)思維”教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)思維教學(xué)應(yīng)當(dāng)分兩個(gè)不同階段，即從“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維”走向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，努力提升學(xué)生思維品質(zhì)[2].第一步“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維”，在本文指RMI原則.第二步“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，即跳出了專(zhuān)業(yè)的范圍從更大的視角上看待數(shù)學(xué)教育的價(jià)值.那么，RMI原則的教育價(jià)值有哪些？如何實(shí)現(xiàn)這些價(jià)值呢？

2 ??RMI原則教育價(jià)值

關(guān)系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）原則是由中國(guó)學(xué)者徐利治教授于1983年首先提出的.這一方法已被發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有著十分廣泛和重要的應(yīng)用；如果從數(shù)學(xué)思想方法角度去進(jìn)行分析，我們又可以提出更為一般的化歸原則.通常把彼此之間具有確定的數(shù)學(xué)關(guān)系的數(shù)學(xué)對(duì)象的集合稱(chēng)為關(guān)系結(jié)構(gòu).明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)中被稱(chēng)為映射[3].映射是實(shí)現(xiàn)由未知到已知化歸的一個(gè)重要手段.由于在應(yīng)用映射法解決問(wèn)題過(guò)程中，有關(guān)的映射在相反的方向上又得到了應(yīng)用，即首先用原來(lái)的問(wèn)題去引出新的問(wèn)題，后來(lái)又用相應(yīng)的解答去引出所尋求的原來(lái)的解答.因此，有必要對(duì)相反方向上的映射重新區(qū)分為逆映射，即反演，同時(shí)求解新問(wèn)題的解需要選擇合適的“數(shù)學(xué)手續(xù)”，這一過(guò)程稱(chēng)為定映.最后有必要說(shuō)明，在求解復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，可能需要多步的RMI程序.綜上所述，我們可以用框圖1的形式總結(jié)如下：

若跳出了數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域看待RMI原則，其實(shí)質(zhì)是“矛盾轉(zhuǎn)移法”，即培養(yǎng)了學(xué)生辯證思維品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力.學(xué)生通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的積累，使思維的變通性、靈活性得到提升，明白事物存在普遍聯(lián)系.RMI原則正是基于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，用“聯(lián)系”的眼光構(gòu)造合適的映射和定映方法，從而建立對(duì)應(yīng)的橋梁.2.1 有助于形成聯(lián)系的觀點(diǎn)

“聯(lián)系”是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)化的主要特征.數(shù)學(xué)內(nèi)部之間、數(shù)學(xué)與外部世界都存在普遍聯(lián)系.因此，教師在教學(xué)時(shí)要啟發(fā)學(xué)生用聯(lián)系的眼光思考，促進(jìn)其在更加廣闊的思維空間中思考，通過(guò)類(lèi)比、推廣、特殊化等方式解決問(wèn)題.從RMI原則的應(yīng)用過(guò)程看，有特殊與一般的聯(lián)系、靜與動(dòng)的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系等，是“聯(lián)系”實(shí)現(xiàn)了映射和反演.因?yàn)镽MI原則中的“映射”是可逆映射，可定映映射.例如，解析方法可以用于處理平面幾何和立體幾何問(wèn)題；通過(guò)對(duì)數(shù)映射，我們可把乘、除、開(kāi)方等復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加、減、乘、除等簡(jiǎn)單的運(yùn)算；函數(shù)、方程、不等式可以相互轉(zhuǎn)化和化歸.這些基本思想方法都符合RMI原則.從這個(gè)意義上看待“RMI”的教育價(jià)值即實(shí)現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)方式育人”，體悟到普適性的數(shù)學(xué)思想方法.

2.2 有助于提升學(xué)生辯證思維

辯證思維能力是科學(xué)思維能力的集中體現(xiàn).學(xué)生辯證思維發(fā)展的不足，不僅影響看問(wèn)題的全面性，而且也會(huì)影響人生觀和世界觀的形成.RMI原則的實(shí)質(zhì)是“矛盾轉(zhuǎn)移法”，其應(yīng)用范圍絕不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域.而矛盾的觀點(diǎn)是唯物辯證法的根本觀點(diǎn)，矛盾分析法是唯物辯證法的根本方法[4].RMI原則不僅可以用于得出肯定性解答，還可用以得出否定性解答，從矛盾中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、尋找聯(lián)系，以新視角化解矛盾才能獲得內(nèi)心平靜.例如，在轉(zhuǎn)化與化歸的過(guò)程中，懂得辯證分析，即將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題特殊化變?yōu)槎c(diǎn)進(jìn)行求解，或者尋找變化中不變的量.因此，RMI原則的教育價(jià)值對(duì)加強(qiáng)辯證思維能力，對(duì)學(xué)生形成科學(xué)的人生觀和價(jià)值觀具有重要意義.2.3 有助于提升學(xué)生創(chuàng)造性思維教育必須超越知識(shí).知識(shí)當(dāng)然重要，但是知識(shí)不是教育的全部?jī)?nèi)容[5].數(shù)學(xué)教育指向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維.從RMI原則的應(yīng)用過(guò)程看，創(chuàng)造性思維不僅體現(xiàn)在靈活地選擇“映射”工具上，也蘊(yùn)含在定映過(guò)程的目標(biāo)映象求解過(guò)程中.學(xué)生能靈活地選擇映射工具和數(shù)學(xué)手續(xù)，先漂亮地轉(zhuǎn)化問(wèn)題，再更好地求解問(wèn)題.例如：學(xué)生在解題時(shí)能準(zhǔn)確地定位中學(xué)常見(jiàn)的函數(shù)法、向量法、參數(shù)法等來(lái)解決問(wèn)題.另外，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題能用數(shù)學(xué)抽象通過(guò)構(gòu)造函數(shù)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，創(chuàng)造性地解決了現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題.同時(shí)，在定映過(guò)程中，能熟練地進(jìn)行邏輯推理計(jì)算，展現(xiàn)清晰簡(jiǎn)潔的思路.可以看出，學(xué)生尋求“映射橋梁”轉(zhuǎn)化問(wèn)題、巧妙地求解問(wèn)題的過(guò)程，體現(xiàn)了思維的靈活、變通特點(diǎn)，也是創(chuàng)造性思維的動(dòng)力.因此，RMI原則指導(dǎo)下的教學(xué)可以提升學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì).2.4 有助于落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向標(biāo).核心素養(yǎng)之所以是“高級(jí)素養(yǎng)”，還有兩個(gè)原因，核心素養(yǎng)是跨學(xué)科的，高于學(xué)科知識(shí); 核心素養(yǎng)是綜合性的，是對(duì)于知識(shí)、能力、態(tài)度的綜合與超越[6].RMI原則指導(dǎo)下的轉(zhuǎn)化和化歸過(guò)程中落實(shí)了“三會(huì)”，同時(shí)，在不同知識(shí)領(lǐng)域應(yīng)用RMI原則，對(duì)于六大核心素養(yǎng)的側(cè)重也不同.

例如：在探究活動(dòng)領(lǐng)域培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的過(guò)程中，首先，應(yīng)用RMI原則對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”，完成映射；其次，通過(guò)數(shù)學(xué)手續(xù)分析求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的解，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)思維”，完成定映；最后，通過(guò)將求得的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”，完成反演. 在以上過(guò)程中，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)育人的方式，發(fā)揮了數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)就潛移默化、潤(rùn)物無(wú)聲地得到了落實(shí).

3 ??案例解析

為了更好說(shuō)明如何實(shí)現(xiàn)RMI原則的教育價(jià)值，本文將圍繞2018年浙江省高考數(shù)學(xué)第8題進(jìn)行案例解析.

例題 ?已知四棱錐 S-ABCD 的底面是正方形， 側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E 是線(xiàn)段 AB 上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）， 設(shè) SE 與 BC 所成的角為 θ1，SE 與平面 ABCD 所成 的角為 θ2，二面角 S-AB-C 的平面角為 θ3，則（ ?）.

A．θ1≤ θ2≤θ3 ??B．θ3≤ θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2 ??D. θ2≤θ3≤θ1

3.1 理清目標(biāo)原象，尋找映射實(shí)現(xiàn)聯(lián)系，完成轉(zhuǎn)化

解法1 ?解析幾何——建立函數(shù)模型（如圖2）

師：本題中四棱錐是動(dòng)態(tài)的，對(duì)每一個(gè)給定的四棱錐，棱AB 上的點(diǎn)E也是動(dòng)態(tài)的，對(duì)于動(dòng)態(tài)的量我們最先想到是借助什么工具來(lái)描述呢？生：建立空間直角坐標(biāo)系.

師：很好.這就是我們應(yīng)用RMI原則進(jìn)行解題時(shí)做的第一步，即分析題目中的已知條件的關(guān)系，尋找可以實(shí)現(xiàn)映射的工具.

師生活動(dòng)：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2a，四棱錐高為b，點(diǎn)E（a，t，0），其中-a

cosθ1= |SE ·BC | |SE |·|BC | = a ???a2+b2+t2 ?，

cosθ2= |SE ·OE | |SE |·|OE | = ???a2+t2 ????a2+b2+t2 ?，

cosθ3= |SE ·OE0 | |SE |·|OE0 | = a ???a2+b2 ?.

解法2 ?極限思想——化動(dòng)為靜（如圖3）

師：如果對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題把握不好， 是否可以充分利用選擇題的特點(diǎn)，化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)呢？

生：可以嘗試特殊化點(diǎn)E的坐標(biāo)，特殊化正四棱錐的大小.

師生活動(dòng)：將正四棱錐特殊為所有棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐，將點(diǎn) E 無(wú)限接近于端點(diǎn) A.

解法3 ?化繁為簡(jiǎn)——降維（如圖4）

師生活動(dòng)：回憶空間角概念，所有空間角最后都降維成線(xiàn)線(xiàn)角，因此只要在正四棱錐內(nèi)作出 θ1，θ2，θ3即可.記E0為棱 AB 的中點(diǎn)，頂點(diǎn)S在底面的射影為 O（易知O為底面正方形的中心） ，過(guò)點(diǎn)O作OO1∥AB，過(guò)點(diǎn) E 作 EO1∥E0O，則 易證EO1⊥SO1． 聯(lián)結(jié) SE，SE0可得∠SEO1=θ1，∠SEO=θ2， ∠SE0O=θ3 分析 ?理清題目中目標(biāo)原象的特點(diǎn)是利用RMI原則進(jìn)行解題的首要步驟.教師需要幫助學(xué)生梳理已知條件和回憶相關(guān)的知識(shí)，尋找構(gòu)建映射的方法，并介紹常用的“映射工具”，如參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法等等.解法1、解法2和解法3選擇不同的映射方法，建立了知識(shí)的聯(lián)系.與此同時(shí)，不同映射工具的選取和定映求解的實(shí)現(xiàn)，體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活和變通特點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考，激活創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生“求異”的眼光.其中解法2的極限思想對(duì)于學(xué)生思維訓(xùn)練價(jià)值更大，突出靈活和變通特點(diǎn).同時(shí)，本題也有利于學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.2 分析映象結(jié)構(gòu)，尋找演算工具，靈活推理，完成定映師：將原來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，就需要對(duì)目標(biāo)映象進(jìn)行求解，那用什么方法比較好呢？生：解法1直接進(jìn)行代數(shù)化簡(jiǎn)即可；解法2假設(shè)當(dāng)點(diǎn)E無(wú)限接近端點(diǎn)A時(shí)求解；解法3可以利用正切值來(lái)比較空間角的大小即可.師生活動(dòng)： 解法1 ?化簡(jiǎn)比較結(jié)果

易得cosθ1≤cosθ3，又cos2θ2=1- a2 a2+b2+t2 ，cos2θ3=1- b2 a2+b2 ，所以cosθ3≤cosθ2，故cosθ1≤cosθ3≤cosθ2.

解法2 ?點(diǎn)E無(wú)限接近于端點(diǎn)A，cosθ1→ 1 2 ，cosθ2→ ???2 ?2 ，cosθ3= ???3 ?3 .

解法3 ?tanθ1= SO1 EO1 = SO1 E0O ≥ SO E0O =tanθ3，又tanθ3= SO E0O ≥ SO EO =tanθ2.

分析 ??實(shí)現(xiàn)關(guān)系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化之后，接下來(lái)需要求解映象結(jié)構(gòu)中的解.求解過(guò)程即為定映過(guò)程.實(shí)現(xiàn)定映需要學(xué)生掌握一系列的“數(shù)學(xué)手續(xù)”.凡是由數(shù)值計(jì)算、代數(shù)計(jì)算、解析計(jì)算、邏輯演算以及數(shù)學(xué)論證等步驟構(gòu)成的形式過(guò)程都稱(chēng)之為“數(shù)學(xué)手續(xù)”[3]. 教師對(duì)于學(xué)生基本知識(shí)和基本技能的考查和訓(xùn)練是有必要的.解法2采用了化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，體現(xiàn)了辯證思維特點(diǎn)和矛盾轉(zhuǎn)移的方法.解法1，2，3都通過(guò)不同的 “數(shù)學(xué)手續(xù)”恰當(dāng)?shù)乇硎境隽撕瘮?shù)值的大小，其過(guò)程突出了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).3.3 反演回歸目標(biāo)原象檢驗(yàn)結(jié)果，注意思維嚴(yán)密性師：得出函數(shù)值后，需要做什么？

生：再次檢查題目中要求的量與當(dāng)前求得的解是否一致.師生活動(dòng)：

解法1：由cosθ1≤cosθ3≤cosθ2，即θ2≤θ3≤θ1.

解法2：由cosθ1= 1 2 ，cosθ2= ???2 ?2 ，cosθ3= ???3 ?3 ，即θ2≤θ3≤θ1

解法3：由tanθ1≥tanθ3≥tanθ2，即θ2≤θ3≤θ1.

師：很好.這也就是要反演回原來(lái)的題目，檢查目標(biāo)原象的解的正確性.最后，我們嘗試運(yùn)用RMI原則來(lái)表示三種解法的程序框架圖： ???解法1 ?如圖5所示：

解法2 ?如圖6所示：

解法3 ?如圖7所示：

分析 ?思維的邏輯性與嚴(yán)密性是理性思維的兩個(gè)基本特征.因此，教師應(yīng)該注重學(xué)生良好的習(xí)慣，在求出目標(biāo)映象的解之后，我們不能忘記要反演回歸原問(wèn)題的解，并檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.尤其在數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)模型時(shí)，應(yīng)該允許一定的誤差.學(xué)生思維培養(yǎng)不是“無(wú)源之水，無(wú)本之木”，它是“接地氣”的.回顧整個(gè)理解RMI原則解決問(wèn)題過(guò)程，它要求學(xué)生有良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，并通過(guò)具體教與學(xué)過(guò)程來(lái)支撐.解法1，2，3都需要學(xué)生有聯(lián)系的眼光和辯證轉(zhuǎn)化 的思維.解法2的極限思想相對(duì)較難，但對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練和創(chuàng)造性品質(zhì)的培養(yǎng)有相對(duì)的價(jià)值.

總之，新課程背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)要克服重教書(shū)輕育人的傾向，強(qiáng)調(diào)關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科思想、數(shù)學(xué)思維方式的教學(xué).RMI原則立足數(shù)學(xué)本身的學(xué)科特點(diǎn)，蘊(yùn)藏了普遍的教育價(jià)值和廣闊的發(fā)展空間.本文只體現(xiàn)了其在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的“冰山一角”.就教學(xué)工作而言，只有注意數(shù)學(xué)思想方法的分析，才能將數(shù)學(xué)知識(shí)“講活”“講懂”“講深”.數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)教育學(xué)都不是封閉的體系，都會(huì)隨著時(shí)代發(fā)展而發(fā)展.站在新時(shí)代，作為教育工作者應(yīng)面向未來(lái)，加強(qiáng)自我革新，努力積極實(shí)踐，那么RMI原則下的教學(xué)必將結(jié)出更多的碩果.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介 ?戴鍇寧（1997—），女，浙江金華人，碩士研究生；主要研究學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）.

陳碧芬（1979—），女，浙江奉化人，副教授，碩士生導(dǎo)師；主要研究數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.