探究初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用

黎春

【摘要】使用逆向思維的核心是深入探究與積極思考問題，并建立與正向思維完全相反的思維方式.逆向思維運(yùn)用在初中數(shù)學(xué)解題過程中，可以有效地打破常規(guī)的思維方式，創(chuàng)造出不一樣的問題解決方式.初中學(xué)生運(yùn)用逆向思維不僅可以快速解決問題，還能提高學(xué)生的創(chuàng)造能力，深化創(chuàng)新意識.本文重點(diǎn)分析逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的作用，并針對逆向思維的有效應(yīng)用提出具體的策略，供廣大數(shù)學(xué)教師借鑒，并嘗試應(yīng)用到課堂教學(xué)中.

【關(guān)鍵詞】逆向思維；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要對課程的內(nèi)容進(jìn)行精煉，增強(qiáng)“逆向思維”的應(yīng)用，這樣可以幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題，并加深對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識，從而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促使學(xué)生能夠從全方位角度解題，提高學(xué)生的解題能力和效率.

1 逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的作用

1.1 可增進(jìn)數(shù)學(xué)解題思維的全面延展

在初中數(shù)學(xué)課中，教學(xué)內(nèi)容以解法為主，許多數(shù)學(xué)題采用傳統(tǒng)的解題方式，不僅效率低下，且易錯概率增大，而逆向思維則可以輕易地達(dá)到目的，其中最具代表性的就是逆向運(yùn)算.初中數(shù)學(xué)教科書中大部分公式、運(yùn)算規(guī)則等都是正向思維，在學(xué)習(xí)時容易產(chǎn)生固定的思維方式，以致在解決某些數(shù)學(xué)問題時，出現(xiàn)模式化的解答，從而極大地制約了學(xué)生思考能力的發(fā)展，限制學(xué)生思維多元化發(fā)展.所以，在解題時，應(yīng)著重于讓同學(xué)們用逆向思維法解答所遇到的問題，既能加深學(xué)生的思考深度，又能加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識的理解，為以后學(xué)習(xí)高難度的數(shù)學(xué)知識打下堅實的基礎(chǔ).

1.2 可增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深刻認(rèn)知

數(shù)學(xué)概念的講解與運(yùn)用是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要內(nèi)容之一，特別是運(yùn)算法則和概念的剖析，正向思維會讓數(shù)學(xué)問題變得更抽象.因此，首先要利用逆向思維來講解，讓學(xué)生對概念和公式有更深刻的理解.

1.3 增進(jìn)雙向思維的全面化培養(yǎng)

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時一直使用正向思維，導(dǎo)致許多學(xué)生在求解問題時產(chǎn)生了較強(qiáng)的思維慣性，不僅解題方式死板，解題效率也低.逆向思維的應(yīng)用，可以有效調(diào)整解題方案，幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題，同時還能使學(xué)生深入地研究數(shù)學(xué)問題.

2 初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用逆向思維的策略

2.1 逆向判斷數(shù)學(xué)理論定理

逆向判斷數(shù)學(xué)理論定理是初中數(shù)學(xué)中最常見，也是學(xué)生最容易接觸到的基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)反推思維模式.由于數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種抽象的概念，許多的數(shù)學(xué)問題都不能用直觀的方式來說明，因此，發(fā)展逆向思維可以幫助同學(xué)們更好地解決問題.同學(xué)們能從逆向的觀點(diǎn)來了解公式，并且可以避開那些難以應(yīng)用的困難.打破傳統(tǒng)的思考方式，轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思考水平.

例如 初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊第五章“相交線與平行線”章節(jié)教學(xué)中，本章節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是相交線、平行線及其判定、平行線的性質(zhì)和平移等.其中的難點(diǎn)是區(qū)分判定定理與性質(zhì)定理.在教學(xué)過程中，首先要對平行線性質(zhì)和判定定理進(jìn)行理解和分析，掌握其中所表達(dá)的含義.對于平行線的性質(zhì)常規(guī)思路：已知兩條線平行得知兩個夾角的關(guān)系.簡單地說就是由線定角的方式判定平行線.比如：如圖1，下列條件：（1）∠1=∠3；（2）∠2=∠4；（3）∠6=∠8；（4）其中能判定a平行于b的有幾個？

本題主要考查學(xué)生對平行線判定方法的掌握，同時也是鍛煉學(xué)生的逆向思維，與平行線性質(zhì)完全相反.在本道題目講解中，應(yīng)用逆向思維講解平行線的性質(zhì)和判定差異后，學(xué)生就能完全掌握平行線的性質(zhì)和判定.

2.2 逆向求解數(shù)學(xué)錯題難題

如果正向思維解題過于繁瑣，可以用逆向方法來解.逆向思維就是用一個未知數(shù)去解一個已知數(shù)，確認(rèn)未知數(shù)與已知數(shù)是否一致，等問題被解決了，再把逆向思維變成正向思維求解.

例如 在初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊第三章“一元一次方程”教學(xué)中，為學(xué)生出一道題目；小明今年8歲，祖父今年62歲，年后，祖父的年齡是小明年齡的4倍.本題主要考查學(xué)生對一元一次方程知識的掌握，解題的關(guān)鍵是對題目的理解，常規(guī)解題思路是設(shè)x年后，祖父的年齡是小明年齡的4倍，所以小明的年齡為8+x，祖父的年齡是62+x，然后針對這兩個等式進(jìn)行求解，最后得出10年后，祖父的年齡是小明年齡的4倍.本題的求解容易出錯，在這種情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將最后的答案帶入題目中，確認(rèn)10+8=18，62+10=72，再確認(rèn)72÷18是否等于4？這種逆向思維應(yīng)用能夠在一定程度上避免學(xué)生計算出錯，還能幫助學(xué)生創(chuàng)新解題方法.

逆向思維可以使學(xué)生在最后的解題答案中判定解題是否正確，幫助學(xué)生及時發(fā)現(xiàn)問題.學(xué)生們都有從因到果的角度來解決問題，如果錯誤，那么本道題解題錯誤，所以果是否正確，需要學(xué)生在解題過程中謹(jǐn)慎求解.所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生學(xué)會從果到因去驗證解題是否正確.通過這種方法，可以極大地減少學(xué)生的錯題率，并提高學(xué)生的逆向思維能力.通過反向思考，可以把注意力從解決問題的角度轉(zhuǎn)移到對數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練上，從而激發(fā)出對數(shù)學(xué)問題的好奇心和探索心，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

2.3 逆向解決數(shù)學(xué)證明誤區(qū)

在解決證明問題時，有些學(xué)生會使用數(shù)學(xué)公式，以為自己的論證是對的，實際上證明過程中有許多錯誤.因此，教師可以讓學(xué)生在做證明題時充分發(fā)揮逆向思維的作用，采用“反證法”.

例如 如圖2，點(diǎn)D在△ABC外，∠BAC=90°，AB=AC，射線BD與△ABC的邊AC交于點(diǎn)H，AE⊥BD，垂足為E，∠ABD=∠ACD，

（1）若∠ABD=30°，CH=4，求DH的長；

（2）求證：BE=DC+DE.

在本題解答過程中，一定要找到可證明的點(diǎn)，不然則會出現(xiàn)意念證明，所謂的意念證明，就是默認(rèn)為某個條件是正確的.因此，在對學(xué)生訓(xùn)練過程中，必須要注重在證明過程中每個條件都是有理有據(jù)，有因有果.

解 （1）因為∠ABD=∠ACD=30°，∠AHB=∠DHC，

所以∠BAH=∠D，∠BAH=90°，∠D=90°，

所以△CDH是直角三角形，

因為∠ACD=30°，所以DH=12CH=12×4=2；

從已知條件證明出△CDH是直角三角形.

在整個證明過程中，雖然過程比較簡單，但是簡單并不能代表可以省略，特別是某個條件的省略.對于初中學(xué)生而言，證明題是一種思維上的挑戰(zhàn)，在證明過程中，必須要做到思維上縝密，不可忽略任何一個已知條件，同時還要積極挖掘出題目所提供的已知條件.即使再簡單的證明題，題目中所出現(xiàn)的條件，都會在接下來的證明過程中使用到，沒有一句話是形同虛設(shè)的，都有設(shè)題者的意圖.

在（2）的證明中，需要作輔助線，如圖3，作AF⊥CD，證明△ABE≌△ACF，再證明四邊形AEDF是正方形，因為DE=DF，所以BE=CF=DC+DF=DC+DE.

從上述實例可以看出，反證法是一種特殊的運(yùn)算方法，它可以幫助同學(xué)們通過逆向思維來求解問題，使學(xué)生更好地填補(bǔ)他們的分析上的缺陷，增強(qiáng)學(xué)生思路的清晰性和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.4 逆向運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算法則

初中數(shù)學(xué)中的許多公式和計算規(guī)則是可以雙向的，也就是可以逆轉(zhuǎn)的.所以在教學(xué)中，教師不但要教授他們?nèi)绾问褂眠@些公式和計算規(guī)則，還要讓他們記住這些公式和計算規(guī)則.在遇到問題時，可以用正反兩種方法來求解.教師要擅長在數(shù)學(xué)應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)一些有代表性的實例，使他們能夠應(yīng)用逆向思維思考.

2.5 逆向運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算法則

在解決問題時，要積極思考，通過逆向思維來調(diào)整問題的位置，使學(xué)生更好地對知識進(jìn)行二次學(xué)習(xí)和記憶.

例如 在初中數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章“平行四邊形”教學(xué)中，首先要了解和掌握平行四邊形性質(zhì)及判定方法，平行四邊形分為一般和特殊兩種，比如正方形是一種特殊的平行四邊形，正方形不僅是四條邊相等且平行，還具有矩形和菱形的全部特征.無論是在日常測驗中，還是在中考中，都少不了考查學(xué)生對正方形性質(zhì)的了解.對于正方形知識點(diǎn)中存在的錯誤，要學(xué)會分門別類，不能一概而論.“正方形”這一小節(jié)知識點(diǎn)有很多，比如對正方形性質(zhì)的理解，根據(jù)正方形性質(zhì)求角度、線段長、求面積以及根據(jù)正方形性質(zhì)與判定求角度、線段長、求面積等等.學(xué)生可以根據(jù)題意按照不同的知識點(diǎn)進(jìn)行劃分，然后按照對應(yīng)的知識點(diǎn)進(jìn)行對比分析，從而總結(jié)出符合自己的解題技巧.

3 結(jié)語

總之，逆向思維是一種很好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方法.數(shù)學(xué)的問題看似變化多端，其實都是一樣的，都可以追溯到教科書上的知識.在解決問題的過程中，概念可以幫助學(xué)生更好地了解和掌握知識.因此，在復(fù)習(xí)的時候，可以通過復(fù)習(xí)課本的內(nèi)容來鞏固自己的知識，從而增強(qiáng)自己的記憶力.

逆向思維是新課標(biāo)教學(xué)思想的一種有效的教學(xué)實踐，它在教學(xué)過程中的作用體現(xiàn)在現(xiàn)代教學(xué)效果的反饋上，因此，在教學(xué)方式和過程上，要進(jìn)行持續(xù)的革新.針對學(xué)生反饋和課堂教學(xué)后的表現(xiàn)，適時作出相應(yīng)的改變.把逆向思維這個概念融入到教師的課堂里，讓學(xué)生慢慢地學(xué)會用逆向思維來解決問題，提升學(xué)生的邏輯性和創(chuàng)造力，從而使其數(shù)學(xué)知識更上一層樓.

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