掌握圖形圖像表征策略,提升解決真實情境復(fù)雜問題的能力

黎國勝 羅 恒

(四川省雙流中學(xué))

本文結(jié)合典型例題介紹利用圖形圖像表征的兩種策略,可以幫助學(xué)生打通思維堵點,快速高效地解決復(fù)雜問題。

1.利用點線等幾何圖形表征物體的運(yùn)動過程

1.1 原題呈現(xiàn)

將圖1(a)中的蹦床簡化為圖1(b)所示的彈簧,當(dāng)質(zhì)量50 kg的運(yùn)動員站在蹦床上靜止時,彈簧的上端由O點壓縮到A點。現(xiàn)將比賽過程分為兩段,過程1：運(yùn)動員從A點開始,通過多次起跳,在空中完成動作,且越跳越高,直至重心達(dá)到距O點高為6 m的最高點(此時運(yùn)動員的速度為零);過程2：運(yùn)動員在最高點結(jié)束表演,此后不做任何動作,多次往返,最后靜止在蹦床上,彈回過程中重心與O點最大高度差為4.1 m。若整個過程中運(yùn)動員所受空氣阻力大小恒為重力的0.2,重力加速度大小為10 m/s2。則 ( )

圖1

A.過程1中運(yùn)動員能夠越跳越高,是因為彈簧對運(yùn)動員不斷做正功

B.在過程2的每一次單向向上運(yùn)動過程中,運(yùn)動員的速度最大時彈簧的上端都處于A點下方

C.過程2中從開始下落到彈至重心距O點高4.1 m處,運(yùn)動員克服空氣阻力做的功為1 010 J

D.過程2中,彈簧的最大彈性勢能為2 280 J

1.2 試題疑難分析

(1)對蹦床模型的認(rèn)識與理解,即對運(yùn)動員在蹦床上的大致運(yùn)動階段以及各階段臨界狀態(tài)模糊不清;

(2)各選項所涉及問題無法與所學(xué)知識有效聯(lián)系,即問題表征與解題策略的選擇,比如A選項彈力做功正負(fù)情況的判斷,B選項運(yùn)動員速度最大時彈簧的上端位置以及CD選項中力所做的功和最大彈性勢能與所學(xué)的什么知識有聯(lián)系等;

(3)對題目中運(yùn)動員的“重心”的理解,尤其是與“重心”相關(guān)的幾個位置,比如,運(yùn)動員腳底的位置、在蹦床上靜止時的平衡位置、彈簧原長的位置以及運(yùn)動員重心的位置與變化(尤其是重心的最高與最低位置及其變化)等,對于學(xué)生是否能正確、有效表征問題有重要影響。但解決此題并非所有條件都是必要的,因此,學(xué)生還應(yīng)具備從眾多信息中抓住“主要矛盾”,忽略“次要因素”的能力。

圖2為利用圖形表征該問題的步驟。分析運(yùn)動員的運(yùn)動過程時,首先要明確運(yùn)動員不能看成質(zhì)點,因為運(yùn)動員有身高,而且題目中明確了重心的變化。在畫運(yùn)動過程示意圖時,我們重點關(guān)注幾個關(guān)鍵位置：重心的最高位置和最低位置(用幾何點表征),彈簧原長位置(O點)及彈簧的最低位置(用點表示),運(yùn)動員靜止時的位置(A點)。本題的難點在于,初始時刻運(yùn)動員的重心位置在彈簧原長的上方還是下方,無法判斷,可以假設(shè)。

圖2 利用圖形的問題表征過程及解題方法的選擇

A選項：“運(yùn)動員能夠越跳越高”,對應(yīng)的過程不止一次地上下運(yùn)動,而應(yīng)是多次落下來再彈上去。下落過程從接觸彈簧到速度減為零,彈簧對運(yùn)動員做負(fù)功,運(yùn)動員的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢能。反彈上升的過程,彈簧對運(yùn)動員做等量的正功,彈簧的勢能又全部轉(zhuǎn)化為運(yùn)動員的機(jī)械能。因此,運(yùn)動員越跳越高的原因肯定不是彈簧做正功的結(jié)果,從能量轉(zhuǎn)化的角度看只能是運(yùn)動員內(nèi)力做功的結(jié)果,消耗了運(yùn)動員的生物能。一些學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為上升過程,彈簧對運(yùn)動員做了正功,所以運(yùn)動員越跳越高,說明這些學(xué)生能量轉(zhuǎn)化的物理觀念還沒有真正建立起來,也缺乏應(yīng)用能量轉(zhuǎn)化的觀念去分析生活現(xiàn)象的能力。

B選項：運(yùn)動員靜止時,重力與彈力等大反向,二力平衡。運(yùn)動員向上運(yùn)動的過程中,速度最大時受重力、彈簧的彈力、豎直向下的空氣阻力,三力平衡,畫出受力如圖3所示,易知彈簧彈力變大了,彈簧壓縮量更大,此位置應(yīng)該在A點的下方,B正確。

圖3 運(yùn)動員向上運(yùn)動的受力示意圖

1.3 利用圖形表征求解CD選項

根據(jù)題意,將蹦床簡化為彈簧,運(yùn)動員站在蹦床上靜止時,彈簧的上端由O點壓縮到A點,示意圖如圖4所示,其中W表示運(yùn)動員重心的位置,由于現(xiàn)在尚不清楚重心的位置,暫假設(shè)靜止時運(yùn)動員的重心位于O點上方。再將題目中所描述的運(yùn)動員比賽過程1與過程2簡化為如圖5所示的運(yùn)動過程示意圖,其中B點為重心距O點的最高點,H=6 m,C點為彈回過程中重心距O點的最高點,h=4.1 m。

圖4 構(gòu)建蹦床的彈簧模型

圖5 點線等表征運(yùn)動員的運(yùn)動過程

對于C選項,在過程2中,根據(jù)圖5,運(yùn)動員從B到C過程,由動能定理有mg(H-h)-Wf=0,代入數(shù)據(jù)可得運(yùn)動員克服空氣阻力做的功Wf=950 J,C錯誤。

對于D選項,由于運(yùn)動員從B處下落至壓縮彈簧到最低點處時,運(yùn)動員重心位置暫不能確定,可假設(shè)運(yùn)動員從B處至重心與O點齊平后,重心繼續(xù)下落至D點且O、D兩點高度差為Δh,并將從B到C的運(yùn)動示意圖簡化為如圖6所示。運(yùn)動員從B到D,根據(jù)功能關(guān)系有mg(H+Δh)-f(H+Δh)=Ep彈。運(yùn)動員從B到C,根據(jù)動能定理有mg(H-h)-f(H+h+2Δh)=0,代入數(shù)據(jù),可解得Ep彈=2 280 J,D正確。值得注意的是Δh=-0.3 m,其中負(fù)號表示運(yùn)動員運(yùn)動到最低點時,其重心位置位于彈簧原長位置O點上方,因此,運(yùn)動員靜止時重心W也位于O點上方。

圖6 運(yùn)動員從最高點下落至彈回最高點的圖形表征

2.用速度—時間圖像表征物體的運(yùn)動規(guī)律

2.1 原題呈現(xiàn)

如圖7,用水平傳送帶向右運(yùn)送貨物,傳送帶左、右端點A、B間距為L=24.5 m,木箱質(zhì)量M=1 kg、長度d=1.5 m?，F(xiàn)將質(zhì)量m=2 kg的貨物放入靜止的木箱,木箱左側(cè)位于A端,貨物恰與木箱左側(cè)壁接觸。放入貨物后,傳送帶由靜止開始依次做勻加速運(yùn)動、勻速運(yùn)動和勻減速運(yùn)動直到靜止,木箱在傳送帶勻速運(yùn)動中的某時刻與傳送帶共速,且停止運(yùn)動時其右側(cè)剛好在B端,該過程中,傳送帶減速段、加速段的加速度大小均為a0=4 m/s2,最大速度v0=4 m/s。已知木箱與貨物間的動摩擦因數(shù)μ1=0.1,木箱與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ2=0.2,重力加速度大小g=10 m/s2。貨物可視為質(zhì)點,貨物與木箱間的碰撞為時間不計的完全非彈性碰撞,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。求：

圖7

(1)傳送帶加速運(yùn)動過程中,貨物對木箱側(cè)壁的壓力大小;

(2)傳送帶減速運(yùn)動過程中,系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量;

(3)傳送帶勻速運(yùn)動的時間。

2.2 試題疑難分析

(1)貨物、木箱和傳送帶運(yùn)動狀態(tài)以及各個運(yùn)動階段分界點的判斷;

(2)貨物、木箱以及傳送帶各自對地位移與相對位移(或相對路程)的計算。

上述疑難點均可通過利用圖形、圖像進(jìn)行表征,使問題更加清晰與明確。

圖8為利用圖形表征該問題的步驟。解決該問題時,首先應(yīng)該明確研究對象,即傳送帶(以傳送帶上A端的點為研究對象)、木箱與貨物。其中傳送帶由電動機(jī)帶動,其運(yùn)動狀態(tài)分為勻加速、勻速與勻減速三個階段。對于木箱與貨物的運(yùn)動狀態(tài)必須結(jié)合受力分析進(jìn)行判斷,而受力分析時應(yīng)靈活選用整體法與隔離法對運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行確定。

圖8 圖形、圖像表征過程

對于第(1)小問,根據(jù)受力分析示意圖,利用牛頓運(yùn)動定律即可順利解決。第(2)小問將研究過程聚焦于傳送帶勻減速階段,而對貨物與木箱的運(yùn)動情況的分析是解題的突破口,由于題設(shè)條件尚無法明確判斷二者的運(yùn)動情況,故而采用了假設(shè)法,這是一種常用且有效的方法。對于第(3)小問,在解決(1)(2)小問的基礎(chǔ)上,利用題設(shè)已知條件,作出全過程、各階段,貨物、木箱以及傳送帶的位形圖,傳送帶勻速運(yùn)動的位移由幾何關(guān)系可快速得到,問題便迎刃而解。

2.3 利用圖形、圖像表征的具體解題過程

(1)解法一

Ⅰ.傳動帶勻加速運(yùn)動階段

傳送帶啟動后向右做勻加速運(yùn)動,貨物和木箱一起相對于傳送帶向左滑動,對于貨物和木箱,分別采用整體法與隔離法對貨物和木箱整體以及貨物進(jìn)行受力分析,其受力分析示意圖如圖9所示。對于貨物和木箱整體,由牛頓第二定律有μ2(M+m)g=(M+m)a,代入數(shù)據(jù)解得a=2 m/s2。對于貨物,因μ1=0.1,僅靠靜摩擦力提供的最大加速度為μ1g=1 m/s2,所以木箱對貨物的靜摩擦力不僅達(dá)到最大值,且左側(cè)壁對貨物還施加有壓力F。對于貨物,由牛頓第二定律有μ1mg+F=ma,根據(jù)牛頓第三定律,貨物對木箱側(cè)壁的壓力大小為F′=F=2 N。

木箱與貨物整體受力分析示意圖

貨物受力分析示意圖

圖10 傳送帶與木箱和貨物均加速結(jié)束時位置示意圖

Ⅱ.傳動帶勻減速運(yùn)動階段

欲求解此過程中,系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量,必須清楚貨物、木箱以及傳送帶之間的相對運(yùn)動情況。在此過程中,可知貨物一定相對于木箱向右滑動,而木箱是否相對傳送帶滑動需進(jìn)行判斷,不妨假設(shè)木箱會相對傳送帶滑動,分別對木箱以及傳送帶進(jìn)行受力分析,示意圖如圖11所示。根據(jù)牛頓第二定律,對木箱、貨物分別有μ2(M+m)g-μ1mg=Ma2,μ1mg=ma1代入數(shù)據(jù)解得a1=1 m/s2,a2=a0=4 m/s2,故而木箱相對傳送帶靜止且一起做減速運(yùn)動。

木箱受力分析示意圖

圖12 傳送帶靜止時位形圖

Ⅲ.傳動帶勻速運(yùn)動階段

(2)解法二：利用v-t圖像

通過受力分析與運(yùn)動分析,在同一坐標(biāo)軸上分別做出傳送帶、木箱、貨物以及木箱與貨物的v-t圖像,如圖14所示。其中OA段表示傳送帶勻加速運(yùn)動階段,OB段表示木箱與貨物一起勻加速運(yùn)動階段,BC段表示三者共速且勻速運(yùn)動階段,CD段表示木箱與傳送帶一起勻減速運(yùn)動階段,CE段表示貨物減速運(yùn)動階段,EF段表示貨物與木箱完全非彈性碰撞瞬間,FG段表示貨物與木箱一起勻減速運(yùn)動階段,G點所對應(yīng)時刻木箱右側(cè)恰好位于傳送帶右端B點處。根據(jù)v-t圖像與橫坐標(biāo)所圍成的面積可得傳送帶、木箱及貨物各個過程運(yùn)動位移,其余步驟同解法一。

圖14 全過程v-t圖像